第七篇立體幾何與空間向量專題7.07利用空間向量求夾角和距離（距離供選用）【考點(diǎn)聚焦突破】考點(diǎn)一用空間向量求異面直線所成的角【例1】（1）（一題多解）（2017?全國II卷）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，匕ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）A也R運(yùn)C國展A.2B.5C?5D.3（2）（一題多解）（2019?河北、山西、河南三省聯(lián)考）在三棱錐P-ABC中，^ABC和^PBC均為等邊三角形，且二面角P-BC-A的大小為120°，則異面直線PB和AC所成角的余弦值為（）5一-85一-87-8C.1-4【規(guī)律方法】利用向量法求異面直線所成角的一般步驟是：（1）選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系；（2）求出兩直線的方向佶1■§-m如.（2）彳￥入式Ipqq（7，7，、I—1—2~aL角犁V，V；（D）I、/、<A>\ICOs\v，v.121210］11°21兩異面直線所成角的范圍是?！辏?，；］，兩向量的夾角a的范圍是［0，n］，當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是該異面直線的夾角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直線的夾角.【訓(xùn)練1】（一題多解）如圖，在正三棱柱ABC~AlB1C1中，AA1^;'2AB,E,F分別為BC,BB｛的中點(diǎn)，M,N分別為AA］，A1C1的中點(diǎn)，則直線MN與EF所成角的余弦值為（）B號C.2B號C.2考點(diǎn)二用空間向量求線面角【例2】(2018-全國II卷)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2\2,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中占I八、、.廠加證明：PO±平面ABC；若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.【規(guī)律方法】利用向量法求線面角的方法：分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角.【訓(xùn)練2】(2019?鄭州測試)在如圖所示的多面體中，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形BDEF是矩形，n一一—團(tuán)5面ABCD,^^BD^6,AB=2AD.A求證：平面BDEF上平面ADE；若ED=BD，求直線AF與平面AEC所成角的正弦值.考點(diǎn)三用空間向量求二面角【例3】（2019-北京海淀區(qū)模擬）如圖1,在高為6的等腰梯形ABCD中，AB^CD,且CD=6,AB=12,將它沿對稱軸OO1折起，使平面ADOpL平面BCO1O，如圖2,點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上（不同于A，B兩點(diǎn)），連接OE并延長至點(diǎn)0使AQJIOB.4Q圖I圖？（1）（一題多解）證明：ODL平面PAQ；（2）若BE=2AE，求二面角C-BQ-A的余弦值.【規(guī)律方法】利用空間向量計(jì)算二面角大小的常用方法：找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.【訓(xùn)練3】(2018-安徽六校第二次聯(lián)考)如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB^CD,AB=BC=CC=2CD,E為線段AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段DD1上的動(dòng)點(diǎn).EH求證：EF〃平面BCC1B1；(一題多解)若ZBCD=ZC1CD=60°,且平面D1C1CD±平面ABCD,求平面BCC1B1與平面DC^所成角(銳角)的余弦值.考點(diǎn)四用空間向量求空間距離（供選用）【例4】如圖，ABCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCDL平面BCD,ABL平面BCD,AB=2后，求點(diǎn)A到平面MBC的距離.【規(guī)律方法】空間中兩點(diǎn)間的距離的求法兩點(diǎn)間的距離就是以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量的模.因此，要求兩點(diǎn)間的距離除了使用距離公式外，還可轉(zhuǎn)化為求向量的模.求點(diǎn)P到平面a的距離的三個(gè)步驟：在平面a內(nèi)取一點(diǎn)A，確定向量函的坐標(biāo)表示；確定平面a的法向量n；二代入公式d=^~^求解.Ini【訓(xùn)練4】正方體ABCD~A1B1ClD1的棱長為2,E,F,G,H分別是棱AB,AD,B1C1，DQ的中點(diǎn)，則平面EFD1B1和平面GHDB的距離是.【反思與感悟】利用空間向量求空間角，避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩，使空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定和計(jì)算程序化、簡單化.主要是建系、設(shè)點(diǎn)、計(jì)算向量的坐標(biāo)、利用數(shù)量積的夾角公式計(jì)算.利用法向量求距離問題的程序思想方法第一步，確定法向量；第二步，選擇參考向量；第三步，確定參考向量到法向量的投影向量；第四步，求投影向量的長度.【易錯(cuò)防范】異面直線所成的角與其方向向量的夾角：當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是該異面直線的夾角；否則向量夾角的補(bǔ)角是異面直線所成的角.利用向量法求二面角大小的注意點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，若垂直關(guān)系不明確，應(yīng)先給出證明；對于某些平面的法向量，要結(jié)合題目條件和圖形多觀察，判斷該法向量是否已經(jīng)隱含著，不用再求注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，可結(jié)合圖形進(jìn)行，以防結(jié)論失誤【分層訓(xùn)練】【基礎(chǔ)鞏固題組】(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.若直線l的方向向量與平面a的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面a所成的角等于()A.120°B.60°C.30°D.60°或30°

2.在正方體A1B1C1D-ABCD中，AC與B1D所成角大小為（兀D.2TOC\o"1-5"\h\z兀兀兀A.6b.4C.3O為球心，AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M.則CD與平面ACM所成角的正弦值為（）A號B冷D*3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PAL平面ABCD,PA=AD=4兀D.2O為球心，AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M.則CD與平面ACM所成角的正弦值為（）A號B冷D*4,在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD夾角的余弦值為（）1232A.2B.3CrrD.3匕00匕5.（2019-日照模擬）設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是（）TOC\o"1-5"\h\zA說R吏C遠(yuǎn)D對3iA.2.2?3?3二、填空題（2019昆明月考）如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C]中，AA」底面ABC,AB=BC=AA1,匕ABC=90°,點(diǎn)E,F分別是棱AB,BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BCj所成的角是‘在正四棱柱ABCD—AjBjCjDj中，AA1=2AB，則直線CD與平面BDC1所成角的正弦值等于‘一題多解）已知點(diǎn)E,F分別在正方體ABCD—AjBjCjDj的棱BB卜CC1上,且BJE=2EB,CF=2FC],則平面AEF與平面ABC所成的銳二面角的正切值為.三、解答題9.（2018-江蘇卷）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,點(diǎn)P,Q分別為A1B1,BC的中點(diǎn).（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.10.（2018-河北五校聯(lián)考）如圖，在斜三棱柱（側(cè)棱不垂直于底面）ABC-A1B1C1中，側(cè)面AAQCL底面ABC,底面^人8。是邊長為2的正三角形，A]A=A]C，A1A±A1C.（1）求證：AlCl±B1C；（2）（一題多解）求二面角B1-A1C-C1的正弦值.【能力提升題組】（建議用時(shí)：20分鐘）11.（2019-長沙雅禮中學(xué)檢測）在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)P在底面的正投影恰好是等邊△ABC的邊AB的中點(diǎn)，且點(diǎn)P到底面ABC的距離等于底面邊長.設(shè)APAC與底面所成的二面角的大小為a,APBC與底面所成的二面角的大小為K，則tan（a+K）的值是（）A.3^/3B.^/3C.-18^3D.-5p312.（2019-濟(jì)南質(zhì)檢）如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA=CC1=2CB,則直線BC1

A.亨與直線AB1夾角的余弦值為（）D-513.如圖所示，二面角的棱上有A,B兩點(diǎn)，直線AC,BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2岳，則該二面角的大小為.A.亨14.如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中，匕BAC=90°,AB=AC=AA1=1.D是棱CC1上的一點(diǎn)，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn)，且PB]〃平面BDA].

4r求證：CD=C1D；求二面角A-A1D-B的平面