第63課等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題等差、等比數(shù)列(C級(jí)要求).高考取可能要點(diǎn)關(guān)注等差、等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an之間的互相轉(zhuǎn)變，以及基本量、性質(zhì)的運(yùn)用.閱讀：必修5第65～68頁(yè).解悟：①畫出本章知識(shí)框圖；②寫出等差、等比數(shù)列的常用性質(zhì)，領(lǐng)會(huì)形式上的聯(lián)系與差別；③領(lǐng)會(huì)課本中整理知識(shí)的方法.踐習(xí)：在教材空白處，達(dá)成第67～68頁(yè)習(xí)題第5、6、9、15題.基礎(chǔ)診療1.已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且a1，a3，a7為等比數(shù)列{bn}中連續(xù)的三項(xiàng)，則數(shù)列{bn}的公比為2.分析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0).由a2＝aa，得(a＋2d)2＝a(a＋6d)，解得a＝2d，故數(shù)3171111a3a1＋2d2a1列{bn}的公比q＝a1＝a1＝a1＝2.2.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和為－24.分析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0).依據(jù)題意得a2＝aa，即(a＋2d)2＝(a＋d)(a＋5d)，解得3261116×56×5d＝0(舍去)或d＝－2，因此數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和為S6＝6a1＋2d＝1×6＋2×(－2)＝－24.3.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝1－.nSn＋1－Sn分析：由題意得S1＝a1＝－1；由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.由于Sn≠0，因此SnSn＋111＝1，即－＝－1，Sn＋1Sn111故數(shù)列Sn是以S1＝－1為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列，因此Sn＝－1－(n－1)＝－n，因此1Sn＝－.n214.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)隨意n∈N*都有S＝a－，若1<S<9(∈N*)，則的值n3n31為4Ｗ.212122分析：由題意Sn＝an－知當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝an－1－，兩式相減，得an＝an－an－1，因此333333an＝－2an－1.又a1＝－1，因此{(lán)an}是以－1為首項(xiàng)，－2為公比的等比數(shù)列，因此an＝－(－2)n－1，（－2）k－1因此S＝.由1<S<9，得4<(－2)<28.又∈N*，因此＝4.3典范導(dǎo)航考向?子數(shù)列問(wèn)題例1已知在等差數(shù)列{an}中，a2＝5，前10項(xiàng)和S10＝120，若從數(shù)列{an}中挨次拿出第2項(xiàng)、第4項(xiàng)、第8項(xiàng)、、第2n項(xiàng)，按原次序構(gòu)成新數(shù)列{bn}，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.分析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，a1＋d＝5，10×9a1＝3，由題意得解得10a1＋d＝120，d＝2，2因此an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，因此bn＝a2n＝2·2n＋1＝2n＋1＋1，2（1－2n）＝2n＋2＋n－4.因此Tn＝2×(21＋22＋＋2n)＋n＝n＋2×1－2在等差數(shù)列{an}中，a10＝30，a20＝50.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；令bn＝2an－10，證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.a1＋9d＝30，分析：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.由a10＝30，a20＝50得a1＋19d＝50，a1＝12，解得d＝2，因此an＝12＋(n－1)×2＝2n＋10.(2)由(1)得bn＝2an－10＝22n＋10－10＝22n＝4n，bn＋14n＋1因此bn＝4n＝4，因此{(lán)bn}是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列.【注】子數(shù)列問(wèn)題需要搞清楚新數(shù)列與原數(shù)列之間的關(guān)系，既能夠利用原數(shù)列的性質(zhì)剖析子數(shù)列，也能夠利用子數(shù)列剖析原數(shù)列的性質(zhì).2考向?數(shù)列與不等式1n12k例2已知數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝4×2＋1，其前n項(xiàng)和為Tn，若不等式4＋n－Tn≥2n－7對(duì)隨意的n∈N*恒建立，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍.1n分析：cn＝4×2＋1，111－n422因此Tn＝4×1＋n＝4＋n－n.21－212k≥2n－7恒建立，得2n－7由不等式4＋n－Tn3≥n恒建立.22n－7dn＋1－dn＝2n－52n－7－2n＋9n≤4時(shí)，dn＋1>dn；當(dāng)n≥5設(shè)dn＝n，則＋1－n＝＋1，因此當(dāng)2222時(shí)，dn＋1<dn.1331又d4＝16，d5＝32，因此d4<d5，因此3≥32，即≥32，1故實(shí)數(shù)的取值范圍是，＋∞.32n已知an＝2n－1，設(shè)Tn＝∑(－1)iai，若對(duì)隨意正整數(shù)n，不等式λTn<[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1i＝1恒建立，務(wù)實(shí)數(shù)λ的取值范圍.分析：①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2，∈N*，則T2＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋＋(a2－a2－1)＝2，代入不等式λTn<[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1，4k得λ·2<4，進(jìn)而λ<2k.4k4k＋14k4k（3k－1）設(shè)f( )＝2k，則f(＋1)－f( )＝2（k＋1）－2k＝2k（k＋1）.由于∈N*，因此f(＋1)－f( )>0，因此函數(shù)f( )單一遞加，因此f( )min＝2，因此λ<2；②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2－1，∈N*，則T2－1＝T2－a2＝2－(4－1)＝1－2，3代入不等式λTn<[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1，得λ(1－2)<(2－1)4，進(jìn)而λ>－4.由于∈N*，因此－4的最大值為－4，因此λ>－4.綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(－4，2).【注】數(shù)列與不等式知知趣聯(lián)合的考察方式主要有三種：一是判斷數(shù)列問(wèn)題中的一些不等關(guān)系；二是以數(shù)列為載體，考察不等式的恒建立問(wèn)題；三是考察與數(shù)列問(wèn)題相關(guān)的不等式的證明.在解決這些問(wèn)題時(shí)，假如是證明題要靈巧選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、剖析法等.假如是解不等式問(wèn)題，要使用不等式的各樣不一樣解法，如數(shù)軸法、因式分解法等.考向?新定義(類“等差”“等比”數(shù)列)問(wèn)題例3若數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)，按必定序次擺列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱{an}為“等比;數(shù)列”.已知數(shù)列{an}知足an＝2n－1＋1.判斷數(shù)列{an}能否為“等比;數(shù)列”，并證明你的結(jié)論.分析：數(shù)列{an}不是“等比;數(shù)列”.用反證法證明以下：假定數(shù)列{an}是“等比;數(shù)列”，則存在三項(xiàng)am，an，a(m＜n＜)按必定序次擺列構(gòu)成等比數(shù)列，由于an＝2n－1＋1，因此am＜an＜a.由題意得a2n＝ama，因此(2n－1＋1)2＝(2m－1＋1)(2－1＋1)，即22n－m－1＋2n－m＋1－2－1－2－m＝1.又m＜n＜，m，n，∈N*，因此2n－m－1≥1，n－m＋1≥1，－1≥1，－m≥1，因此22n－m－1＋2n－m＋1－2－1－2－m為偶數(shù)，與22n－m－1＋2n－m＋1－2－1－2－m＝1矛盾，因此數(shù)列{an}中不存在任何三項(xiàng)，按必定序次擺列構(gòu)成等比數(shù)列.因此數(shù)列a不是“等比數(shù)列”.{n};上例中若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1≠0，an∈(n∈N*).求證：數(shù)列{an}為“等比;數(shù)列”.分析：不如設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≥0.當(dāng)d＝0時(shí)，等差數(shù)列{an}為非零常數(shù)數(shù)列，則數(shù)列{an}為“等比;數(shù)列”；當(dāng)d＞0時(shí)，由于an∈，則d≥1，且d∈，因此數(shù)列{an}中必有一項(xiàng)am＞0.為了使得數(shù)列{an}為“等比;數(shù)列”，只要要數(shù)列{an}中存在第n項(xiàng)，第項(xiàng)(m＜n＜)，使得a2n＝ama建立，即[am＋(n－m)d]2＝am·[am4(－m)d]，即(n－m)[2am＋(n－m)d]＝am(－m)建立，當(dāng)n＝am＋m，＝2am＋amd＋m時(shí)，上式建立，因此數(shù)列{an}中存在am，an，a成等比數(shù)列.因此數(shù)列{an}為“等比;數(shù)列”.【注】新定義問(wèn)題中，需要嚴(yán)格以新定義為核心，借助特別值理解題意，借助等差、等比數(shù)列的研究技巧進(jìn)行變形求解.自測(cè)反應(yīng)a21.若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}知足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則b2＝1.分析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.由題意得－1＋3d＝－q3＝8，解得d＝3，q＝－2，因此a2－1＋3＝－2＝1.b2設(shè)公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若－3a1，－a2，a3成等差數(shù)列，且a1＝1，則S4＝－20Ｗ.分析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，且q≠1.由題意得－2a2＝－3a1＋a3，即－2q＝－3＋q2，解得1－（－3）4q＝－3或q＝1(舍去)，因此S4＝＝－20.1＋33.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，若S3，S9，S6成等差數(shù)列，且a2＋a5＝4，則a8＝2.分析：設(shè){an}的公比為q.由題意得2S9＝S3＋S6，因此q≠1，2×a1（1－q9）a1（1－q3）a1（1－q6）1－q＝＋1－q，因此1－qa1q＋a1q4＝4，112q3＝－，－27322＝2.解得因此a8＝a1q＝a1q×(q)＝8×a1q＝8，已知{an}是首項(xiàng)為2，公差不為0的等差數(shù)列，若a1，a3，a6成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋7n.4分析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.由題意得a3