定積分的四種求法定積分是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，其中定積分的計算是重點考査的考點之一，下面例題分析定積分計算的幾種常用方法.一、定義法例1用定義法求J2x3dx的值.0分析：用定義法求積分可分四步：分割，以曲代直，作和，求極限.2解：(1)分割：把區(qū)間［0,2］分成n等分，則△x=n(2八3(2)近似代替：△S二f憶)Ax二2AxiiIn丿(3)求和:工A(3)求和:工ASqii=1i=1］3Ax丄f蘭「3?(2]丿 ?人n丿kn丿2i2(2(4)取極限：S=lim—n*n(2n￥+?—F kn丿? 24? 24「lim—13+23+?—+n3n*n4L=lim]24x1n2(n+1)2]nT8n4 41. 4(n2+2n+1)=lim?：J2x3dx=4?.0評注：本題運用微積分的基本定理法來求非常簡單?一般地，其它方法計算定積分比較困難時，用定義法，應(yīng)注意其四個步驟中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是求和，體現(xiàn)的思想方法是先分后合，以直代曲.二、微積分基本定理法例2求定積分J2(x2+2x+1)dx的值.1分析：可先求出原函數(shù)，再利用微積分基本定理求解.http:〃解:函數(shù)y=x2+2x+1的一個原函數(shù)是X3所以.J解:函數(shù)y=x2+2x+1的一個原函數(shù)是X3所以.J2(X2+2X+1)dx=(一+X2+x)|2=1 3 1(8)11)—-+1+113 丿(319評注：運用微積分基本定理計算定積分的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù).三、幾何意義法例3求定積分J1(\:1-x2)dX的值.-1分析:面積，只要作出圖形就可求出.解:J*1-X2)dx表示圓X2+y2=-1二象限的上半圓的面積.因為=-，又在X軸上方.半圓2所以J1(f1-X2)dx=-1 2評注：利用定積分的幾何意義解題，被積函數(shù)圖形易畫，面積較易求出.四、性質(zhì)法例4求下列定積分:工 冗X2sinx,⑴J4tanxdx；⑵J dx?嚴(yán) -KX2+14分析：對于⑴用微積分的基本定理可以解決，而⑵的原函數(shù)很難找到，幾乎不能解決.若運用奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間的積分性質(zhì)，則能迎刃而解.解：由被積函數(shù)tanx及蘭竺是奇函數(shù)，所以在對稱區(qū)間的積分X2+1值均為零.所以⑴J4tanxdx=0；X-4⑵J.x2sinxdx=o._xX2+1評注：一般地，若f(x)在［-a,a］上連續(xù)，則有性質(zhì)：①當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時，Jaf(x)dx=2Jaf(x)dx；②當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時，Jaf(x)dx=—a 0 ―a0.小結(jié)通過這幾個例題分析，讓我明白并牢固記住了如何求定積分的方法，懂得在什么情況該用何種方法解決問題；它有非常重要的意義，并且應(yīng)用也非常廣泛，因此掌握此四種方法可以為學(xué)好其他比如物理學(xué)應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ)。參考文獻：［1］《數(shù)學(xué)分析》上冊(