雙曲線的幾何性質(zhì)一、教課目的(一)知識(shí)教課點(diǎn)使學(xué)生理解并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并能從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)出這些性質(zhì)，并能詳細(xì)預(yù)計(jì)雙曲線的形狀特點(diǎn)．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)在與橢圓的性質(zhì)的類(lèi)比中獲取雙曲線的性質(zhì)，進(jìn)而培育學(xué)生剖析、概括、推理等能力．(三)學(xué)科浸透點(diǎn)使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系觀點(diǎn)的理解，這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問(wèn)題．二、教材剖析1．要點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用．(解決方法：指引學(xué)生類(lèi)比橢圓的幾何性質(zhì)得出，至于漸近線指引學(xué)生證明．)2．難點(diǎn)：雙曲線的漸近線方程的導(dǎo)出和論證．(解決方法：先指引學(xué)生察看以原點(diǎn)為中心，2a、2b長(zhǎng)為鄰邊的矩形的兩條對(duì)角線，再論證這兩條對(duì)角線即為雙曲線的漸近線．)3．疑點(diǎn)：雙曲線的漸近線的證明．(解決方法：經(jīng)過(guò)詳盡解說(shuō)．)三、活動(dòng)設(shè)計(jì)發(fā)問(wèn)、類(lèi)比、要點(diǎn)解說(shuō)、演板、解說(shuō)并概括、小結(jié)．四、教課過(guò)程(一)復(fù)習(xí)發(fā)問(wèn)引入新課1．橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何商討的？請(qǐng)一起學(xué)回答．應(yīng)為：范圍、對(duì)稱(chēng)性、極點(diǎn)、離心率，是從標(biāo)準(zhǔn)方程商討的．2．雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？再請(qǐng)一起學(xué)回答．應(yīng)為：中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)下邊我們類(lèi)比橢圓的幾何性質(zhì)來(lái)研究它的幾何性質(zhì)．(二)類(lèi)比聯(lián)想得出性質(zhì)(性質(zhì)1～3)指引學(xué)生達(dá)成以下對(duì)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格(讓學(xué)生回答，教師指引、啟迪、校正并板書(shū))．<見(jiàn)下頁(yè)>(三)問(wèn)題之中導(dǎo)出漸近線(性質(zhì)4)在學(xué)習(xí)橢圓時(shí)，以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對(duì)于預(yù)計(jì)仍以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形(板書(shū)圖形)，那么雙曲線和這個(gè)矩形有什么關(guān)系？這個(gè)矩形對(duì)于預(yù)計(jì)和畫(huà)出雙曲線簡(jiǎn)圖(圖2-26)有什么指導(dǎo)意義？這些問(wèn)題不要修業(yè)生回答，只惹起學(xué)生類(lèi)比聯(lián)想．接著再提出問(wèn)題：當(dāng)a、b為已知時(shí)，這個(gè)矩形的兩條對(duì)角線的方程是什么？下邊，我們來(lái)證明它：雙曲線在第一象限的部分可寫(xiě)成：當(dāng)x漸漸增大時(shí)，|MN|漸漸減小，x無(wú)窮增大，|MN|靠近于零，|MQ|也靠近于零，就是說(shuō)，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方漸漸靠近于射線ON．在其余象限內(nèi)也能夠證明近似的狀況．此刻來(lái)看看實(shí)軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是如何的？因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上的雙曲線方程是由焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程，將x、y字母對(duì)換所獲取，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字這樣，我們就圓滿地解決了畫(huà)雙曲線遠(yuǎn)處趨勢(shì)問(wèn)題，進(jìn)而可比較精再描幾個(gè)點(diǎn)，就能夠隨后畫(huà)出比較精準(zhǔn)的雙曲線．(四)自然而然介紹離心率(性質(zhì)5)因?yàn)檎_認(rèn)識(shí)了漸近線的觀點(diǎn)，對(duì)于離心率的直觀意義也就簡(jiǎn)單掌握了，為此，介紹一下雙曲線的離心率以及它對(duì)雙曲線的形狀的影響：變得寬闊，進(jìn)而得出：雙曲線的離心率越大，它的張口就越寬闊．這時(shí)，教師指出：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)能夠近似得出，雙曲線的幾何性質(zhì)與坐標(biāo)系的選擇沒(méi)關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變．(五)練習(xí)與例題1．求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程．請(qǐng)一學(xué)生演板，其余同學(xué)練習(xí)，教師巡視，練習(xí)畢予以校正．由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a=4，虛半軸長(zhǎng)b=3．焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，-5)，(0，5)．此題實(shí)質(zhì)上是雙曲線的第二定義，要要點(diǎn)解說(shuō)并加以概括小結(jié)．解：設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，依據(jù)題意，所求軌跡就是會(huì)合：化簡(jiǎn)得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．由此例不難概括出雙曲線的第二定義．(六)雙曲線的第二定義1．定義(由學(xué)生概括給出)平面內(nèi)點(diǎn)M與必定點(diǎn)的距離和它到一條直線的距離的比是常數(shù)e=叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率．2．說(shuō)明(七)小結(jié)(由學(xué)生課后達(dá)成)將雙曲線的幾何性質(zhì)按兩種標(biāo)準(zhǔn)方程形式列表小結(jié)．五、部署作業(yè)1．已知雙曲線方程以下，求它們的兩個(gè)焦點(diǎn)、離心率e和漸近線方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．2