學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義知識(shí)梳理1、向量數(shù)乘運(yùn)算一般地,規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa，其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)｜λa｜＝｜λ|｜a｜；(2）λa（a≠0)的方向eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(當(dāng)λ＞0時(shí)，與a方向相同，,當(dāng)λ＜0時(shí),與a方向相反。））特別地，當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，0a＝0或λ0eq\a\vs4\al(＝）0.2、向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù),則(1)λ(μa)＝(λμ）a；（2)（λ＋μ)a＝λa＋μa；（3)λ(a＋b）＝λa＋λb。特別地，（－λ）a＝－（λa）＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb。3、共線向量定理向量a（a≠0）與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa。4、向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算．對(duì)于任意向量a，b,以及任意實(shí)數(shù)λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b）＝λμ1a±λμ2常考題型題型一、向量的線性運(yùn)算例1、化簡(jiǎn)下列各式:(1)3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b）)；(2）eq\f(1，2)eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1((3a＋2b）－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（a＋\f(1，2）b）)）)－2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f（3，8)b))；(3)2（5a－4b＋c)－3(a－3b＋c）－7a.變式訓(xùn)練化簡(jiǎn)下列各式：（1）2(3a－2b）＋3（a＋5b）－5（4b－a）；(2)eq\f（1，6)eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(2（2a＋8b)－4（4a－2b))).題型二、在幾何圖形中用已知向量表示未知向量例2、如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，已知＝a，＝b，試用a，b分別表示，，.變式訓(xùn)練如圖所示，四邊形OADB是以向量＝a,＝b為鄰邊的平行四邊形．又BM＝eq\f（1，3）BC，CN＝eq\f(1，3）CD，試用a，b表示，，.題型三、共線向量定理的應(yīng)用例3、（1）已知e1,e2是兩個(gè)不共線的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求證：A，B，D三點(diǎn)共線．（2)已知A，B，P三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn)，若＝x＋y,求x＋y的值．用向量共線的條件證明兩條直線平行或重合的思路（1)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線無(wú)公共點(diǎn)，則這兩條直線平行；(2）若b＝λa(a≠0）,且b與a所在的直線有公共點(diǎn)，則這兩條直線重合．例如，若向量＝λ，則，共線，又與有公共點(diǎn)A，從而A，B,C三點(diǎn)共線,這是證明三點(diǎn)共線的重要方法．變式訓(xùn)練如圖所示，已知D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CD到M使DM＝CD，延長(zhǎng)BE至N使BE＝EN，求證：M，A，N三點(diǎn)共線．課堂小測(cè)1、設(shè)a是非零向量,λ是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（)A．a(chǎn)與λa的方向相同B．a(chǎn)與－λa的方向相反C．a(chǎn)與λ2a的方向相同D．|λa｜＝λ|a2、eq\f(1，3)eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）(2a＋8b)－（4a－2b））)等于(）A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a(chǎn)－3．下列向量中a,b共線的有________（填序號(hào))．①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－eq\f(2，5）e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2；④a＝e1＋e2,b＝2e1－2e2.4、已知向量a，b是兩個(gè)不共線的向量，且向量ma－3b與a＋（2－m)b共線，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______．5、如圖所示，已知?ABCD的邊BC,CD的中點(diǎn)分別為K，L，且A＝e1，＝e2，試用e1,e2表示,.同步練習(xí)1、下列運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是（）①；②；③．A． B． C． D．2、已知，，，則等于()A．B．C．D．3、在△中,,，是的中點(diǎn),則等于（)A.B.C。D.4、下面四種說(shuō)法：①對(duì)于實(shí)數(shù)和向量，,恒有；②對(duì)于實(shí)數(shù),和向量，恒有;③對(duì)于實(shí)數(shù)和向量，，若，則；④對(duì)于實(shí)數(shù)，n和向量，若,則．其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是(）A．B．3C．2D．15、如圖,已知，用，表示，則等于(）A．B．C．D.6、設(shè)，下面敘述不正確的是（）A． B．C． D．與的方向相同7、設(shè)與是兩個(gè)不共線向量，，，，若、、三點(diǎn)共線，則的值為（）A． B． C． D．不存在8、如圖，△中,、、分別是、、上的中線，它們交于點(diǎn),則下列各等式中不正確的是(）A。B.C.D。9、化簡(jiǎn)__________．10、已知,是不共線的向量,若，(，），若，，三點(diǎn)共線，則________．11、若點(diǎn)是△的重心,則下列向量中與共線的是．（填寫(xiě)序號(hào))(1）;（2)；（3)；(4）。12、把下列各小題中的向量表示為實(shí)數(shù)與向量的積：(1)，；（2）,；(3）,；(4），．13、兩個(gè)不共線的向量、，若向量，，，問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)、，