指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)——章概覽指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是一對(duì)密切配合的函數(shù)，它們互為反函數(shù)，是最基本、應(yīng)用最廣泛的兩類函數(shù)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．利用代數(shù)運(yùn)算和函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合地研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不僅能使學(xué)生理解這兩個(gè)函數(shù)所蘊(yùn)含的運(yùn)算規(guī)律，掌握通過圖象直觀（定性）和數(shù)學(xué)運(yùn)算（定量）獲得函數(shù)性質(zhì)的方法，而且有助于學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)概念，感受函數(shù)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想和方法．通過利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的訓(xùn)練，可以使學(xué)生進(jìn)一步掌握用函數(shù)刻畫運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的思想方法，理解函數(shù)模型是刻畫客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．在“預(yù)備知識(shí)”主題中，學(xué)生經(jīng)歷了梳理二次函數(shù)知識(shí)，學(xué)習(xí)用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式，建立二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的聯(lián)系，進(jìn)而用二次函數(shù)的性質(zhì)研究一元二次不等式的解的過程，從中感悟了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，認(rèn)識(shí)了函數(shù)的重要性．在“函數(shù)概念與性質(zhì)”一章的學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)歷了分析具體實(shí)例、歸納共同特征、抽象概括函數(shù)的一般概念的過程，知道了函數(shù)不僅可以理解為刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)語言和工具，更一般地，函數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，感悟了數(shù)學(xué)抽象的層次性；在已有的通過圖象直觀研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)了用代數(shù)運(yùn)算揭示函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最大（小）值等主要性質(zhì)的方法；通過“函數(shù)”的學(xué)習(xí)，學(xué)生初步理解了研究一類函數(shù)的內(nèi)容、過程（定義、表示——圖象與性質(zhì)——應(yīng)用）和方法，本章將在這些學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上展開．一、本章內(nèi)容安排1．關(guān)于指數(shù)、對(duì)數(shù)的內(nèi)容安排在數(shù)學(xué)史上，對(duì)數(shù)的發(fā)明早于指數(shù)，引入對(duì)數(shù)主要是為了解決大數(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)化問題，在信息化、智能化高度發(fā)展的今天，計(jì)算工具唾手可得．因此學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的主要目的已不再是簡(jiǎn)化運(yùn)算，而是為了讓學(xué)生在建立對(duì)數(shù)的概念，研究對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及在不同底的對(duì)數(shù)之間相互轉(zhuǎn)換中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，發(fā)展理性思維．從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)看，他們從數(shù)的乘方運(yùn)算中已經(jīng)對(duì)an的含義積累了較豐富的經(jīng)驗(yàn)．首先是在小學(xué)學(xué)習(xí)自然數(shù)及其運(yùn)算中，知道了乘法是一個(gè)數(shù)“自相加的縮寫”，乘方是一個(gè)數(shù)“自相乘”的縮寫．初中階段，在“有理數(shù)”一章中學(xué)習(xí)了乘方概念：“求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，當(dāng)an看作a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可讀作a的n次冪．”再在整式的乘除運(yùn)算中，通過正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和除法運(yùn)算，定義了0指數(shù)冪，在“使正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)在整數(shù)范圍內(nèi)也成立”的原則下，通過定義（其實(shí)是利用正整數(shù)指數(shù)冪定義負(fù)整數(shù)指數(shù)冪），把指數(shù)范圍從自然數(shù)推廣到全體整數(shù)．順理成章地，在本章中我們將先把指數(shù)冪從整數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到有理數(shù)指數(shù)冪，再擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)賽，建立實(shí)數(shù)指數(shù)等的概念，并研究其運(yùn)算性質(zhì)．從而為研究連續(xù)變量的指數(shù)函數(shù)做好準(zhǔn)備，同時(shí)也為從指數(shù)冪中導(dǎo)出對(duì)數(shù)概念（對(duì)于ax=N．已知底數(shù)a和冪N的值，求指數(shù)x），并利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)研究對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)而研究對(duì)數(shù)函數(shù)等做好準(zhǔn)備．因此，本章中指數(shù)、對(duì)數(shù)內(nèi)容的構(gòu)建，一脈相承地以“運(yùn)算”為基本線索，從已學(xué)的整數(shù)指數(shù)冪出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從整數(shù)指數(shù)冪到有理數(shù)指數(shù)冪、再到實(shí)數(shù)指數(shù)冪的拓展過程．在學(xué)習(xí)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)的基礎(chǔ)上，再學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)及其運(yùn)算的性質(zhì)．這樣安排不僅符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，而且也符合數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的內(nèi)在邏輯．2．關(guān)于指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容的安排從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的內(nèi)在邏輯看，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，明確指數(shù)冪含義的基礎(chǔ)上，等式z=xy的三個(gè)量x，y，z中，一個(gè)為常量、一個(gè)為自變量、一個(gè)為因變量，就得到冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)．另外，我們還可以這樣考慮：指數(shù)函數(shù)y=ax在R上是嚴(yán)格單調(diào)的．也就是說，任意兩個(gè)不同實(shí)數(shù)，都有．這就使我們想到可以研究“反過來的函數(shù)”一指數(shù)x作為冪y的函數(shù)，即以a為底的對(duì)數(shù)函數(shù)．不過，純粹地從數(shù)學(xué)內(nèi)部構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的內(nèi)容體系，看上去邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)清明快，但與課程目標(biāo)、數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史及學(xué)生的學(xué)習(xí)心理等都不吻合．我們知道，指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)有著豐富的現(xiàn)實(shí)背景．“指數(shù)爆炸"“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”的現(xiàn)象普遍存在．《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》強(qiáng)調(diào)“函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，在解決實(shí)際問題中發(fā)揮重要作用”．在學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)中，無論是函數(shù)的一般概念還是一類函數(shù)的學(xué)習(xí)，都是從現(xiàn)實(shí)世界中的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象出發(fā)展開的．綜合以上因素，從抽象現(xiàn)實(shí)世界中一類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的規(guī)律出發(fā)得出指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，然后在研究函數(shù)概念與性質(zhì)的一般方法指引下，利用研究一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，展開對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的研究．這樣的內(nèi)容安排方式是切實(shí)可行的根據(jù)以上分析，可以得到本章內(nèi)容的如下基本結(jié)構(gòu)：二、本章核心內(nèi)容的理解與育人價(jià)值的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值蘊(yùn)含于內(nèi)容之中，解析數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)與挖掘內(nèi)容的育人價(jià)值是相輔相成的．本章包含實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，以及二分法與求方程的近似解、函數(shù)與數(shù)學(xué)模型等內(nèi)容．下面我們從內(nèi)容本質(zhì)的分析入手討論這些內(nèi)容的育人價(jià)值．1．實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)在理解指數(shù)冪的本質(zhì)時(shí)，有些基本問題需要我們認(rèn)真思考．例如：對(duì)指數(shù)冪的研究與數(shù)系的擴(kuò)充有怎樣的內(nèi)在一致性？又有怎樣的不同？我們?cè)撊绾卫藐P(guān)于數(shù)及其運(yùn)算的已有知識(shí)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想完善指數(shù)冪的知識(shí)體系？教學(xué)中如何發(fā)揮指數(shù)冪這一內(nèi)容的育人價(jià)值？我們知道，數(shù)系擴(kuò)充，一是擴(kuò)充數(shù)的范圍，二是在新的范圍內(nèi)定義數(shù)的運(yùn)算．對(duì)于指數(shù)ax，從最原始的“自然數(shù)的自相乘”出發(fā)，先是隨著數(shù)從自然數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)、實(shí)數(shù)而把底數(shù)擴(kuò)充到正實(shí)數(shù)，其意義是“實(shí)數(shù)a的自相乘”．然后，我們把指數(shù)從自然數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)再到實(shí)數(shù)．在把指數(shù)x從自然數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)時(shí)，擴(kuò)充的原則仍然是“使冪的算術(shù)運(yùn)算性質(zhì)（指數(shù)律）仍然成立”．初中已經(jīng)把指數(shù)范圍從自然數(shù)推廣到全體整數(shù)，接著要做的是擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)．根據(jù)引進(jìn)分?jǐn)?shù)的經(jīng)驗(yàn)，顯然是要先定義單位分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，即的意義．聯(lián)系到平方根、立方根具有的性質(zhì)，我們首先把根式的概念推廣，即先定義n次根式，把使xn=a成立的x叫做a的n次方根，其中n>1且．當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是負(fù)數(shù)，用符號(hào)表示；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)，寫成（a>0），負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作．上述得到根式意義的過程具有完備性，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的理性思維很有用，特別是在歸納地定義的過程中，可以有效地培養(yǎng)思維的邏輯性．根據(jù)n次方根的意義，可得=a．一脈相承地，我們希望整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪也適用．由．可見，規(guī)定是合理的．進(jìn)而規(guī)定=（a是正數(shù)，m，n，且n>1）也是自然的．于是，在條件a是正數(shù)，m，n，且n>1下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式；與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，可規(guī)定（a是正數(shù)，m，n，且n>1）；與0的整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，可規(guī)定0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．這樣，指數(shù)冪a中指數(shù)x的取值范圍就從整數(shù)拓展到了分?jǐn)?shù)，在上述定義下，容易證明：當(dāng)a>0．b>0時(shí)，對(duì)于任意有理數(shù)m，n，均有：（1）am·an=am+n；（2）；（3）（ab）n=anbn；接下來的任務(wù)是認(rèn)識(shí)無理數(shù)指數(shù)冪的意義，需要解決的問題仍然是：當(dāng)x是無理數(shù)時(shí)，ax的意義是什么？它是否為一個(gè)確定的數(shù)？如果是，它有什么運(yùn)算性質(zhì)？解決的方法是，借鑒初中學(xué)習(xí)中用有理數(shù)逼近無理數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，通過有理數(shù)指數(shù)冪認(rèn)識(shí)無理指數(shù)冪，因?yàn)橹袑W(xué)階段無法徹底解決這個(gè)問題，教科書采取舉例的辦法，引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算工具計(jì)算，的不足近似值和過剩近似值，感受無理數(shù)指數(shù)冪aα（a>0，α為無理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，并指出整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也適用于實(shí)數(shù)指數(shù)冪．總之，數(shù)系的擴(kuò)充，是通過“添加一種新的數(shù)將數(shù)的范圍擴(kuò)充，再在‘使已有的運(yùn)算律保持不變’的思想指導(dǎo)下，在新的范圍內(nèi)定義運(yùn)算”而實(shí)現(xiàn)的；指數(shù)冪的研究，并不涉及數(shù)的范圍的擴(kuò)充，而是要明確指數(shù)冪的意義及其運(yùn)算的性質(zhì)．實(shí)際上指數(shù)冪ax，除x為正整數(shù)外，它的意義不明顯，與對(duì)有理數(shù)、無理數(shù)的研究重點(diǎn)有所不同，對(duì)指數(shù)冪ax，我們不太關(guān)心到底是多少，重點(diǎn)是對(duì)它有什么“與眾不同”的性質(zhì)的考察．a(chǎn)x的最重要的性質(zhì)是ax·ay=ax+y；（a>0，x，yR），再加上；（a>0，m，nR），（ab）n=anbn；（a>0，m，nR）等少數(shù)幾個(gè)性質(zhì)，ax就完全確定了．從更一般的角度看，上述推廣充滿著理性精神，數(shù)學(xué)概念的延伸與拓展中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、數(shù)學(xué)思想方法的前后一致性和數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的邏輯連貫性，可以使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)涵、結(jié)構(gòu)、內(nèi)容和方法的建構(gòu)方式，從而使學(xué)生體悟到“數(shù)學(xué)的方式"，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問題、解決問題的思想方法，這對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的發(fā)生發(fā)展過程，發(fā)展“四基”"四能"進(jìn)而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)等都具有非常積極的意義．2．對(duì)數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)對(duì)數(shù)的發(fā)明與指數(shù)無關(guān)，而是源于數(shù)學(xué)家對(duì)簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算的有效工具的追求，其關(guān)鍵是利用對(duì)應(yīng)關(guān)系；建立起如下對(duì)應(yīng)法則：（1）；（2）；（3）；（4）．利用上述對(duì)應(yīng)法則降低運(yùn)算層級(jí)，達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的．那么，在研究“指數(shù)ax的意義及其運(yùn)算性質(zhì)”的基礎(chǔ)上研究“對(duì)數(shù)的意義及其運(yùn)算性質(zhì)”，其育人價(jià)值如何體現(xiàn)呢？我們認(rèn)為，先借鑒已有經(jīng)驗(yàn)，抽象出“對(duì)數(shù)”這一研究對(duì)象；再?gòu)摹把芯恳粋€(gè)代數(shù)對(duì)象”的“基本套路”出發(fā)，發(fā)現(xiàn)和提出對(duì)數(shù)的研究?jī)?nèi)容，構(gòu)建研究路徑，得出結(jié)論，并用于解決問題．只要讓學(xué)生完整經(jīng)歷“現(xiàn)實(shí)背景——概念（定義、表示）——性質(zhì)——運(yùn)算性質(zhì)——應(yīng)用”過程，鼓勵(lì)學(xué)生采用獨(dú)立思考、自主探究、合作交流等方式展開學(xué)習(xí)，就能充分發(fā)揮對(duì)數(shù)的育人功能，具體而言是：（1）通過數(shù)學(xué)內(nèi)外的問題，抽象出數(shù)學(xué)問題：在ax=N（a>0，且a≠1）中，已知a，N，則x=？（以下默認(rèn)a>0，且a≠1．）這是一個(gè)從具體到抽象的過程，對(duì)培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)都有作用．（2）定義數(shù)學(xué)對(duì)象：就像為了解決“在=a中，已知n，a，x=？”而引入符號(hào)一樣，通過引入符號(hào)表示（a>0，且a≠1）中的x，并把它叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，相應(yīng)的把a(bǔ)叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，從而得到一個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象．如何理解對(duì)數(shù)這個(gè)概念？有人認(rèn)為，“對(duì)數(shù)是對(duì)求冪的逆運(yùn)算”“對(duì)數(shù)是指數(shù)的逆運(yùn)算”，這些說法都不太準(zhǔn)確．事實(shí)上，從運(yùn)算角度看，對(duì)于乘方運(yùn)算xy，設(shè)其結(jié)果是z，即xy=z．如果問題是“已知y，z，求x”，則x=；如果問題是“已知x，z．求y”，則y=．所以，乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算有兩種，一種是開方運(yùn)算，另一種是對(duì)數(shù)運(yùn)算．另外，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，就像方程10x=100存在唯一實(shí)數(shù)解x=2一樣，10x=3也存在唯一實(shí)數(shù)解，我們把它記作lg3，而且可以證明1g3是無理數(shù)．從這個(gè)意義上講，是一個(gè)確定的數(shù)，沒有什么運(yùn)算的含義，就是表示數(shù)的一種方式，與用－1表示1的相反意義的量是類似的．可以想象，“對(duì)數(shù)”這個(gè)詞與前述的對(duì)應(yīng)關(guān)系有一定關(guān)系，即是與中的x相對(duì)應(yīng)的那個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)稱為“對(duì)數(shù)”．這樣就給出了理解對(duì)數(shù)概念的三個(gè)角度："乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算”“數(shù)的表示”和“對(duì)應(yīng)”．從上所述可見，引入對(duì)數(shù)概念的過程反映了人類理性思維的力量．（3）研究的性質(zhì)，從對(duì)數(shù)的定義出發(fā)，與相聯(lián)系：由定義可得：又由a0=1和a1=a可知，=0，=1對(duì)任意正數(shù)a都成立，這些是從對(duì)數(shù)的定義推出的最基本性質(zhì)，是從涉及的要素a，N的特殊關(guān)系（N=a）、特殊取值（N=1）入手而發(fā)現(xiàn)的．（4）研究對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，“引入一類新的數(shù)，就要研究它的運(yùn)算性質(zhì)"，這是代數(shù)的基本任務(wù)．這里要聯(lián)系指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，而且只要把它們“反過來”，用對(duì)數(shù)符號(hào)表示就可以了：loga（M·N）=logaM+logaN，logaMb=blogaM，=－logaN．上述性質(zhì)表明，利用對(duì)數(shù)可以把乘法、除法和乘方（含開方）運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為加法、減法和乘法，從而實(shí)現(xiàn)“簡(jiǎn)化運(yùn)算”．（5）研究不同底的對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，得出換底公式．由定義，任意不等于1的正數(shù)都可作為對(duì)數(shù)的底數(shù)，如果要針對(duì)每一個(gè)底數(shù)分別計(jì)算相應(yīng)的對(duì)數(shù)，那么“簡(jiǎn)化運(yùn)算”就是一句空話，于是自然提出，能否把以其他數(shù)為底的對(duì)數(shù)都轉(zhuǎn)化為以某個(gè)數(shù)為底的對(duì)數(shù)？數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)家就是這樣干的：由于數(shù)系是十進(jìn)制，因此以10為底的對(duì)數(shù)（常用對(duì)數(shù)）在數(shù)值計(jì)算上具有優(yōu)越性，于是他們制作了常用對(duì)數(shù)表，利用換底公式就可以求出以實(shí)數(shù)a為底的對(duì)數(shù)了．顯然，這個(gè)過程對(duì)學(xué)生領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸思想、培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力很有好處．至于應(yīng)用，信息技術(shù)的迅速發(fā)展使對(duì)數(shù)計(jì)算尺、對(duì)數(shù)表等體現(xiàn)對(duì)數(shù)應(yīng)用的計(jì)算工具都不再重要，但利用對(duì)數(shù)函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題則具有永久的生命力．3．指數(shù)函數(shù)刻畫了哪類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象我們知道，基本初等函數(shù)都有現(xiàn)實(shí)背景，每一類函數(shù)都對(duì)應(yīng)著現(xiàn)實(shí)世界中一類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，是對(duì)這類現(xiàn)象變化規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)，掌握基本初等函數(shù)的概念與性質(zhì)理解這些函數(shù)中所蘊(yùn)含的運(yùn)算規(guī)律，其目的就是要運(yùn)用這些函數(shù)建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解決各種各樣的實(shí)際問題．在《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中，對(duì)“函數(shù)與數(shù)學(xué)模型”提出了如下"內(nèi)容和要求”：（1）理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具，在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的兩數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律；（2）結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問題，利用計(jì)算工具，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實(shí)含義：（3）收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際或者經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型，體會(huì)人們是如何借助函數(shù)刻畫實(shí)際問題的，感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義．其中，目標(biāo)（1）需要在應(yīng)用函數(shù)建立模型的過程中來實(shí)現(xiàn)，目標(biāo)（3）要通過一定量的數(shù)學(xué)閱讀來實(shí)現(xiàn)．而在面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，能否選擇合適的函數(shù)類型對(duì)其變化規(guī)律加以刻畫，基礎(chǔ)是對(duì)各類函數(shù)的特征有準(zhǔn)確把握，對(duì)每類函數(shù)到底刻畫了哪類現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律有深入了解；同時(shí)，對(duì)各類函數(shù)的增長(zhǎng)差異要做到心中有數(shù)．由此可見，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，一是準(zhǔn)確理解各類基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)以及不同類型函數(shù)刻畫了哪一類現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，準(zhǔn)確把握各類函數(shù)的增長(zhǎng)差異；二是加強(qiáng)用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的實(shí)踐，前一個(gè)是數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，后一個(gè)是數(shù)學(xué)建模實(shí)踐，兩者缺一不可．下面我們討論一下指數(shù)函數(shù)刻畫的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律：現(xiàn)實(shí)中，呈指數(shù)變化的事例很多，函數(shù)表達(dá)式可以一般化地表示為y=．因?yàn)樽宰兞縳往往與次數(shù)或時(shí)間有關(guān)，所以這種表達(dá)是有序的．如果以連續(xù)的時(shí)間變化為序，從一般意義上考察表達(dá)式，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意給定的時(shí)間間隔，．由此可知這一類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象有如下規(guī)律：對(duì)于相同的時(shí)間改變量，其函數(shù)值按確定的比例在增長(zhǎng)（a>1）或就減（0<a<1），這就是指數(shù)函數(shù)所刻畫的變化規(guī)律．特別地，當(dāng)a>1時(shí)，設(shè)a=1+α，則指數(shù)函數(shù)可表示為y=（1+α）x（α>0）；當(dāng)0<a<1時(shí)，設(shè)a=1－α，則指數(shù)函數(shù)可表示為y=（1+α）x（α>0），這樣的表達(dá)是更具實(shí)際意義的，它們表明了指數(shù)函數(shù)所刻畫的事物變化規(guī)律是：按確定的增長(zhǎng)率α=a－1（a>1）呈指數(shù)增長(zhǎng)，或按確定的衰誠(chéng)率α=1－a（0<a<1）呈指數(shù)衰減．總之，指數(shù)函數(shù)刻畫的現(xiàn)實(shí)事物變化規(guī)律的關(guān)鍵詞是“增長(zhǎng)率為常數(shù)"，發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法是作除法運(yùn)算．理解指數(shù)函數(shù)，不僅要知道它的解析式、圖象和性質(zhì)，而且要知道它蘊(yùn)含了一種怎樣的運(yùn)算規(guī)律以及如何發(fā)現(xiàn)這種規(guī)律，只有這樣才能使學(xué)生懂得那些實(shí)際問題可以通過建立指數(shù)函數(shù)模型進(jìn)行解決，這是教學(xué)中需要特別注意和加強(qiáng)的地方．順便說明，指數(shù)函數(shù)所刻畫事物變化規(guī)律的精確描述，需要利用微積分知識(shí)才能解決．指數(shù)函數(shù)刻畫的事物變化規(guī)律是：事物的量在每一時(shí)刻的變化率與此刻的量的數(shù)值成比例．由于同底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，研究清楚指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律，那么對(duì)數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律也就自然就清楚了．三、抽象研究對(duì)象獲得指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)概念將的指數(shù)x的范圍推廣到R，定義了對(duì)數(shù)的概念及其符號(hào)表示，并研究了指數(shù)冪、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，我們就可以定義連續(xù)的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)了．一般而言，定義一類函數(shù)，應(yīng)該明確如下四個(gè)要點(diǎn)：（1）這類函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是什么？它刻畫了哪類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象？（2）決定這類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的要素是什么？（3）要素之間的相互關(guān)系如何？（4）可以用怎樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫？其中，（1）是搞清楚這類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的基本特征，這是明確研究對(duì)象的過程；（2）、（3）是對(duì)這類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的深入分析，從中析出常量、變量及其依賴關(guān)系，這里的依賴關(guān)系常常要借助于運(yùn)算而建立對(duì)應(yīng)關(guān)系；（4）是以依賴關(guān)系為導(dǎo)向，利用代數(shù)、幾何中可以表示這些關(guān)系的數(shù)學(xué)式子、表格、圖形等（中學(xué)階段主要是多項(xiàng)式、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、三角式等）加以明確．1．指數(shù)函數(shù)概念的抽象根據(jù)以上要求，為了使學(xué)生明確指數(shù)函數(shù)反映了現(xiàn)實(shí)世界中哪類事物的變化規(guī)律，我們應(yīng)該精心創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生通過對(duì)具體實(shí)例中包含的各種量（常量、變量）及其關(guān)系的分析，發(fā)現(xiàn)并歸納它們的共性，在此基礎(chǔ)上概括出指數(shù)函數(shù)定義并給出符號(hào)表示．為了使學(xué)生能順利地展開抽象活動(dòng)，我們可以通過設(shè)計(jì)不同類型的變化現(xiàn)象，為指數(shù)函數(shù)提供可類比的對(duì)象，使學(xué)生獲得抽象指數(shù)函數(shù)概念的路徑與方法的啟發(fā)，在比較不同類型函數(shù)變化差異的過程中得出指數(shù)函數(shù)的定義．基于這樣的思考，我們?cè)诮炭茣袆?chuàng)設(shè)了如下問題情境：?jiǎn)栴}1隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式，由于旅游人數(shù)不斷增加，A，B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施，A地提高了景區(qū)門票價(jià)格，而B地則取消了景區(qū)門票．表1是A，B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次的逐年增加量，比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？表1如何發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的變化規(guī)律呢？可以先通過畫散點(diǎn)圖（圖1）感受一下．結(jié)合圖、表可以發(fā)現(xiàn)，A地游客人次近似于直線上升，年增加量基本穩(wěn)定在10萬人次；B地游客人次變化規(guī)律看不出來，怎么辦？我們知道，代數(shù)運(yùn)算是發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含規(guī)律性的基本方法，年增加量的計(jì)算用減法，而用除法則可得游客人次的年增長(zhǎng)率：2002年游客人次÷2001年游客人≈1.11，2003年游客人次÷2002年游客人≈1.11，…2015年游客人次÷2014年游客人≈1.11于是，B地游客人次的年增長(zhǎng)率約為1.11－1=0.11，是一個(gè)常數(shù)．增長(zhǎng)率或衰減率是一個(gè)常數(shù)，它是決定這種變化規(guī)律的要素，稱為指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減．如果設(shè)經(jīng)過x年后的游客人次為2001年的y倍，那么．這是一個(gè)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量．以上過程，通過作減法得到了游客人次的年增加量，通過作除法得到了游客人次的年增長(zhǎng)率．而增加量、增長(zhǎng)率恰是刻畫事物變化規(guī)律的兩個(gè)很重要的量．接著，教科書給出問題：?jiǎn)栴}2當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的衰減比率（簡(jiǎn)稱為衰減率）衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？設(shè)生物死亡年數(shù)為x，死亡生物體內(nèi)碳14含量為y，那么y＝（1－p）x，即（x∈［0，＋∞））．②這也是一個(gè)函數(shù)，指數(shù)x是自變量．死亡生物體內(nèi)碳14含量每年都以1－的衰減率衰減，像這樣衰減率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)衰減，因此，死亡生物體內(nèi)碳14含量呈指數(shù)衰減．歸納①②的共性，并考慮到指數(shù)時(shí)ax（a>0，a≠1）有意義，我們就可以在一般意義上給出刻畫這類現(xiàn)象變化規(guī)律的函數(shù)定義：函數(shù)y＝ax（a>0，且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R．2．對(duì)數(shù)函數(shù)概念的抽象因?yàn)閷W(xué)生在對(duì)數(shù)概念的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)概念的抽象應(yīng)該在此基礎(chǔ)上展開，這是對(duì)數(shù)函數(shù)概念抽象過程的“與眾不同之處．指數(shù)函數(shù)給出了死亡生物體內(nèi)碳14的含量y隨死亡時(shí)間x的變化而衰減的規(guī)律．一個(gè)自然的問題是：已知死亡生物體內(nèi)碳14的含量，如何判斷它的死亡時(shí)間呢？進(jìn)一步地，死亡時(shí)間x是碳14含量y的函數(shù)嗎？根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系可得x＝（0＜y≤1）．根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，對(duì)于任意一個(gè)y∈（0，1］，通過對(duì)應(yīng)關(guān)系x＝，在［0，＋∞）上都有唯一確定的數(shù)x和它對(duì)應(yīng)，所以x也是y的函數(shù)．也就是說，函數(shù)x＝，y∈（0，1］刻畫了時(shí)間x隨碳14含量y的衰減而變化的規(guī)律．一般地，根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，由y＝ax（a＞0，且a≠1）可以得到x＝logay（a＞0，且a≠1），x也是y的函數(shù)．通常，我們用x表示自變量，y表示函數(shù)．為此，將x＝logay（a＞0，且a≠1）中的字母x和y對(duì)調(diào)，寫成y＝logax（a＞0，且a≠1），這樣就得到了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義．值得指出的是，從抽象研究對(duì)象的過程與方法看，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)概念的抽象具有典型性，教師應(yīng)該在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行仔細(xì)揣摩，在發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界中呈指數(shù)增長(zhǎng)或衰減這類現(xiàn)象的變化規(guī)律的過程中，我們綜合使用了表格、圖象（散點(diǎn)圖）、運(yùn)算等數(shù)學(xué)方法，特別是通過運(yùn)算得出精確表達(dá)的函數(shù)解析式．我們知道，函數(shù)的研究對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界中的確定性現(xiàn)象，如果某類確定性現(xiàn)象的變化規(guī)律可以用一個(gè)代數(shù)式來表達(dá)，那么得出這個(gè)表達(dá)式的數(shù)學(xué)方法就是加、減、乘、除、乘方、開方這樣的初等數(shù)學(xué)運(yùn)算，像“均勻變化”“均勻加速”之類的現(xiàn)象，因?yàn)槠湟?guī)律是“增加量保持不變"，所以利用減法運(yùn)算；而指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)之類的現(xiàn)象，其規(guī)律是“增長(zhǎng)率保持不變”，所以利用除法運(yùn)算，另外，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程中，從特殊到一般、從定性（圖象直觀）到定量（用解析式表達(dá)數(shù)量關(guān)系）等也是基本的數(shù)學(xué)思想和方法．從更一般的角度看，函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，本質(zhì)上反映了自變量與函數(shù)值之間的代數(shù)關(guān)聯(lián)，而數(shù)學(xué)運(yùn)算是發(fā)現(xiàn)和建立這種關(guān)聯(lián)的基本手段，對(duì)于基本初等函數(shù)則尤其如此，實(shí)際上，對(duì)應(yīng)于指數(shù)冪的運(yùn)算法則，我們可以形式化地給出如下指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：指數(shù)函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上，且滿足的非常值連續(xù)函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)是定義在正實(shí)數(shù)集上，且滿足的非常值連續(xù)函數(shù)．通過運(yùn)算法則形式化地定義函數(shù)，這是理性思維的結(jié)果，更能說明函數(shù)的本質(zhì)特征．例如，常常看到老師們爭(zhēng)論y=a3x是不是指數(shù)函數(shù)，如果從上述定義出發(fā)，因?yàn)?，滿足定義，所以它是指數(shù)函數(shù)．這表明，采用上述定義就不會(huì)出現(xiàn)任何歧義，不過，形式化定義雖然純粹，但脫離了一切現(xiàn)實(shí)背景，與學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)距離很遠(yuǎn)，學(xué)生很難真正理解其意義，不符合高中學(xué)生的認(rèn)知水平．所以教材采用了從學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)青景出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，讓學(xué)生感梧數(shù)學(xué)運(yùn)算在研究指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)中的作用，并將這種做法貫穿始終四、加強(qiáng)背景和應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，備函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是最基本的、應(yīng)用最廣泛的函數(shù)，在學(xué)習(xí)這些函數(shù)的過程中，加強(qiáng)背景與應(yīng)用，既是為了使學(xué)生了解這些函數(shù)的來源，有效地經(jīng)歷概念的抽象過程，更