空間向量與立體幾何知方法總結(jié)一．知識要點(diǎn)?？臻g向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示 同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不變性空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）。OBOAABab;BAOAOBab;OPa(R)運(yùn)算律：⑴加法交換律：abba⑵加法結(jié)合律：(ab)ca(bc)⑶數(shù)乘分配律：(ab)ab運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，a平行于b，記作a//b。a、b（b≠0），a//b存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λ。（2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量b（3）三點(diǎn)共線：A、B、C三點(diǎn)共線<=>ABAC<=>OCxOAyOB(其中xy1)a（4）與a共線的單位向量為a4.共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。x,y使（2）共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在實(shí)數(shù)pxayb。（3）四點(diǎn)共面：若A、B、C、P四點(diǎn)共面<=>APxAByAC<=>OPxOAyOBzOC(其中xyz1)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使p xa yb zc。若三向量a,b,c不共面，我們把{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。x,y,z，推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)使OP xOA yOB zOC?？臻g向量的直角坐標(biāo)系：（1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系O xyz中，對空間任一點(diǎn)A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使OAxiyizk，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z)，x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。注：①點(diǎn)A（x,y,z）關(guān)于x軸的的對稱點(diǎn)為(x,-y,-z),關(guān)于xoy平面的對稱點(diǎn)為(x,y,-z).即點(diǎn)關(guān)于什么軸/平面對稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。②在 y軸上的點(diǎn)設(shè)為(0,y,0), 在平面yOz中的點(diǎn)設(shè)為(0,y,z)（2）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長為 1，這個(gè)基底叫單位正交基底，用{i,j,k}表示?？臻g中任一向量axiyjzk=（x,y,z）（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：①若a(a1,a2,a3)，b(b,b,b)，則ab(ab,ab,ab)，123112233ab(a1b1,a2b2,a3b3)，a(a1,a2,a3)(R)，aba1b1a2b2a3b3，a//ba1b1,a2b2,a3b3(R)，aba1b1a2b2a3b30。②若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則AB(x2x1,y2y1,z2z1)。一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。③定比分點(diǎn)公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，APPB，則點(diǎn)P坐標(biāo)為(x1x2,y1y2,z1z2)。推導(dǎo)：設(shè)（）則(xxyy,zz)(xx,yy,zz),111Px,y,z1,11222顯然，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，P(x1x2,y12y2,z1z2)22④ABC中，A（x,y,z）,B(x,y,z),C(x,y,z)，三角形重心P坐標(biāo)為111222333P(x1x2x3,y1y2y3,z1z2z3)322⑤ΔABC的五心：內(nèi)心P：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)。AP(ABAC)（單位向量）ABAC外心P：外接圓的圓心，中垂線的交點(diǎn)。 PA PB PC垂心P：高的交點(diǎn)：PAPBPAPCPBPC（移項(xiàng)，內(nèi)積為0，則垂直）重心P：中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)（中位線比）AP1(ABAC)3中心：正三角形的所有心的合一。（4）模長公式：若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，則|a|aaa12a22a32，|b|bbb12b22b32（5）夾角公式：cosababa1b1a2b2a3b3。|a||b|a12a22a32b12b22b32ABC中①ABAC0<=>A為銳角②ABAC0<=>A為鈍角，鈍角（6）兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則|AB|2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2，AB或dA,B(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2空間向量的數(shù)量積。（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)O，作OAa,OBb，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作a,b；且規(guī)定0a,b，顯然有a,bb,a；若a,b2，則稱a與b互相垂直，記作：ab。（2）向量的模：設(shè)OAa，則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作：|a|。（3）向量的數(shù)量積：已知向量a,b，則|a||b|cosa,b叫做a,b的數(shù)量積，記作ab，即ab|a||b|cosa,b。（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：①ae|a|cosa,e。②abab0。③|a|2aa。（5）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：①(a)b(ab)a(b)。②abba（交換律）。a(bc)abac（分配律）。④不滿足乘法結(jié)合率：(ab)c a(bc)二．空間向量與立體幾何(高考答題必考)1．線線平行兩線的方向向量平行1-1線面平行線的方向向量與面的法向量垂直1-2面面平行兩面的法向量平行2線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直2-1線面垂直線與面的法向量平行2-2面面垂直兩面的法向量垂直線線夾角兩條異面直線所成的角：1、定義：設(shè)a、b是兩條異面直線，過空間任一點(diǎn)O作直線a///a,b///b，則a/與b/所夾的銳角或直角叫做a與b所成的角．022、范圍：兩異面直線所成角θ的取值范圍是cos|cosab|3、向量求法：設(shè)直線a、b的方向向量為a、b，其夾角為，則有ab4、注意：兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角來求得，但兩者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角．3-2線面夾角[0O,90O]：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量AP與P面的法向量n的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾

n角.sincosAP,n,0A2Aα3-3面面夾角（二面角）[0O,180O]（）若、CD分別是二面角l的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂:1AB直的異面直線，則二面角的大小就是向量AB與CD的夾角（如圖（）所示）．a(chǎn)（2）設(shè)n1、n2是二面角l的兩個(gè)角α、β的法向量，則向量n1與n2的夾角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角的大小（如圖（b）所示）．若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量 n1,n2的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.cos cos n1,n24點(diǎn)面距離h：如圖（a）所示，BO⊥平面α，垂足為O，則點(diǎn)B到平面α的距離就是線段BO的長度．若AB是平面α的任一條斜線段，BA BOcosABO則在Rt△BOA中， BO BA cos∠ABO=cos ABOBO如果令平面α的法向量為n，考慮到法向量的方向，可以 得到B點(diǎn)到平面α的距離為ABnBOnh=4-1線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4-2面面距離（面面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離應(yīng)用舉例：例1：如右下圖,在長方體ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB=FB=1.求二面角C—DE—C1的正切值;求直線EC1與FD1所成的余弦值.解：（I）以A為原點(diǎn)，AB,AD,AA1分別為x軸，y軸,z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，DE(3,3,0),EC1(1,3,2),FD1(4,2,2)設(shè)法向量n(x,y,2)與平面C1DE垂直，則有nDE3x3y0xy1nEC1x3y2z0n(1,1,2),向量AA1(0,0,2)與平面CDE垂直,n與AA1所成的角為二面角CDEC1的平面角cosnAA110102263|n||AA1|1140042tan2（II）設(shè)EC1與FD1所成角為β，則EC1FD11(4)322221cos123222(4)2222214|EC1||FD1|0例2：如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面