2023屆廣東省五校高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的兩根在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于（????）A．直線對(duì)稱 B．直線對(duì)稱 C．y軸對(duì)稱 D．x軸對(duì)稱【答案】D【分析】求出方程的根，得到對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，據(jù)此求解即可.【詳解】由可得或，兩根在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為和，所以兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故選：D2．已知集合，，則集合的子集個(gè)數(shù)為（????）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由題意可得，，從而可得，寫出的子集即可得答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所以的子集為，?個(gè).故選：B.3．已知，，則的取值范圍為（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的同向可加性，結(jié)合待定系數(shù)法可得，即可得的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，所以，則，又，所以，，由不等式的性質(zhì)得：，則的取值范圍為.故選：D.4．有5人參加某會(huì)議，現(xiàn)將參會(huì)人安排到酒店住宿，要在a、b、c三家酒店選擇一家，且每家酒店至少有一個(gè)參會(huì)人入住，則這樣的安排方法共有（????）A．96種 B．124種 C．150種 D．130種【答案】C【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①把5人分層三組，一種按照1,1,3；另一種按照1,2,2；由組合數(shù)公式可得分組的方法數(shù)目，②將分好的三組對(duì)應(yīng)三家酒店；由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意：分2步進(jìn)行：①5人在a、b、c三家酒店選擇一家，且每家酒店至少有一個(gè)參會(huì)人入住，可以把5人分成三組，一種是按照1,1,3；另一種是按照1,2,2；當(dāng)按照1,1,3來分時(shí)共有種分組方法；當(dāng)按照1,2,2來分時(shí)共有種分組方法；則一共有種分組方法；②將分好的三組對(duì)應(yīng)三家酒店，有種對(duì)應(yīng)方法；則安排方法共有種，故選：.5．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和組成的數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先計(jì)算得，，故可排除A，D；由，得，從而得數(shù)列從第2項(xiàng)起成等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，故可排除A，D；又因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以.故選：C.6．函數(shù)（，）的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓C與的圖象交于M，N兩點(diǎn)，且M在y軸上，則下列說法中正確的是（????）A．函數(shù)的最小正周期是 B．函數(shù)在單調(diào)遞減C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱 D．將函數(shù)的圖象向左平移后得到關(guān)于y軸對(duì)稱【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性確定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可確定函數(shù)的周期，從而求解，再根據(jù)最高點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，求出的大小，進(jìn)而確定函數(shù)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷求解.【詳解】由對(duì)稱性可知的橫坐標(biāo)等于，所以，所以，解得，故A錯(cuò)誤；圖中函數(shù)圖象的最高點(diǎn)為即，所以，即，因?yàn)椋?，所以，令解得，?dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，故B正確；令解得，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，令得，故C錯(cuò)誤；的圖象向左平移個(gè)單位得到不關(guān)于y軸對(duì)稱，故D錯(cuò)誤；故選:B.7．設(shè)，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于M，N兩點(diǎn)，且，（如圖），則該雙曲線的離心率為（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用余弦定理，求出a,c之間的關(guān)系，即可得了雙曲線的離心率.【詳解】解：不妨設(shè)圓與相交，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立，得，又且，所以，所以由余弦定理得：，化簡得，所以，所以.故選：A8．已知函數(shù)，，，有，其中，，則下列說法一定正確的是（????）A．是的一個(gè)周期 B．是奇函數(shù) C．是偶函數(shù) D．【答案】A【分析】利用特殊函數(shù)即可判斷BCD，利用賦值法可證明是的一個(gè)周期，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】取，，則，，因此成立，此時(shí)，，故為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；取，，則，，，因此成立，此時(shí)為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；令，則，令，，則，若，則，又，故，令，則，所以，令，則，令，則，又，故，此時(shí)令，則，故或.若，則，故為偶函數(shù)，故，即，所以為周期函數(shù)且周期為.若，則，故為奇函數(shù)，故，即，故，所以為周期函數(shù)且周期為.若，則，此時(shí)，故或，若，令，則，令，，則，所以，令，則，令，則，故即，故為周期函數(shù)且周期為.若，令，則，令，，則，所以，令，則，令，則，故即，故為周期函數(shù)且周期為．綜上，是的一個(gè)周期，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】抽象函數(shù)的性質(zhì)問題，可以根據(jù)抽象函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)尋找具體的函數(shù)來輔助考慮，此處需要對(duì)基本初等函數(shù)的性質(zhì)非常熟悉.另外，在研究抽象函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，注意通過合理賦值來研究抽象函數(shù)的對(duì)稱性、周期性．二、多選題9．已知數(shù)據(jù)，，，…，的眾數(shù)、平均數(shù)、方差、第80百分位數(shù)分別是，，，，數(shù)據(jù)，，，…，的眾數(shù)、平均數(shù)、方差、第80百分位數(shù)分別是，，，，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（????）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由眾數(shù)的計(jì)算方法可判斷B；根據(jù)平均數(shù)的概念可判斷A；根據(jù)方差的性質(zhì)可判斷C；根據(jù)百分?jǐn)?shù)的計(jì)算可判斷D．【詳解】由題意可知，兩組數(shù)據(jù)滿足，由平均數(shù)計(jì)算公式得，所以，故A正確；由它們的眾數(shù)也滿足，則有，故B錯(cuò)誤；由方差的性質(zhì)得，故C正確；對(duì)于數(shù)據(jù)，，，，，假設(shè)其第80百分位數(shù)為，當(dāng)是整數(shù)時(shí)，，當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，設(shè)其整數(shù)部分為，則，所以對(duì)于數(shù)據(jù)，，，，，假設(shè)其第80百分位數(shù)為，當(dāng)是整數(shù)時(shí)，，當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，設(shè)其整數(shù)部分為，則，所以，故D正確．故選：ACD．10．向量滿足，，，則的值可以是（????）A．3 B．6 C．4 D．【答案】AC【分析】設(shè)，，，由題意可知，，即有,從而得四點(diǎn)共圓，然后結(jié)合正弦定理及余弦定理求解即可.【詳解】解：設(shè)，，，由向量滿足，，，所以，所以.①????當(dāng)時(shí)，，即,即四點(diǎn)共圓，由余弦定理可得：，設(shè)四邊形的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，又點(diǎn)在優(yōu)弧上（不含端點(diǎn)），則，則有，則；②當(dāng)時(shí)，，則在以為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)在優(yōu)弧上（不含端點(diǎn)），則，綜合①②可得，故選：AC.11．已知球O的半徑為4，球心O在大小為的二面角內(nèi)，二面角的兩個(gè)半平面所在的平面分別截球面得兩個(gè)圓，，若兩圓，的公共弦AB的長為4，E為AB的中點(diǎn)，四面體得體積為V，則一定正確的是（????）A．O，E，，四點(diǎn)共圓 B．C． D．V的最大值為【答案】ACD【分析】連結(jié)，判斷出，利用勾股定理求，判斷B，證明,，四點(diǎn)共面，即可判斷四點(diǎn)共圓，判斷A，利用正弦定理求出，由此判斷C；設(shè)，求出的最大值，結(jié)合體積公式判斷D.【詳解】因?yàn)楣蚕褹B在棱l上，連結(jié)，則，則，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槎娼堑膬蓚€(gè)半平面分別截球面得兩個(gè)圓O1，O2，O為球心，所以O(shè)O1⊥,OO2⊥，又平面,，平面，所以,，,，因?yàn)槠矫妫云矫?，同理可證平面，所以四點(diǎn)共面，又，所以，對(duì)角互補(bǔ)的四邊形為圓內(nèi)接四邊形，所以四點(diǎn)共圓，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)镋為弦AB的中點(diǎn),故⊥AB，⊥AB，故為二面角的平面角，所以，由正弦定理得，故選項(xiàng)C正確；設(shè)，在△中,由余弦定理可得，，所以，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)以時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)D正確，故選：ACD12．已知函數(shù)，則過點(diǎn)恰能作曲線的兩條切線的充分條件可以是（????）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，所以問題轉(zhuǎn)化為方程恰有兩個(gè)解，令，然后利用導(dǎo)數(shù)求解其零點(diǎn)即可.【詳解】由，得，設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為，所以有，整理可得：，由題意可知：此方程有且恰有兩個(gè)解，令，，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，所以只要或，即或；②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，所以只要，即，而；③當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以只要或，由可得：，由得；④當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；綜上：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或，所以選項(xiàng)正確，正確，錯(cuò)誤，正確，故選：.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．三、填空題13．若拋物線的準(zhǔn)線與直線間的距離為3，則拋物線的方程為______.【答案】或【分析】先求出拋物線的準(zhǔn)線，再根據(jù)距離列方程求解即可.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，則，解得或，故拋物線的方程為或.故答案為：或.14．若，則______．【答案】【分析】求得展開式的通項(xiàng)公式，令k=1，可得，由題意得，即為的系數(shù)，即可得答案.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為：，令k=1，得，又，則即為的系數(shù)，即為.故答案為：.15．已知a，b都是正數(shù)，則的最小值是______．【答案】2【分析】設(shè)，，解出，，代入化簡得，利用基本不等式即可求出最值.【詳解】因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù)，故設(shè)，，則聯(lián)立解得，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：2.16．如圖正方體的棱長是3，E是上的動(dòng)點(diǎn)，P、F是上、下兩底面上的動(dòng)點(diǎn)，Q是EF中點(diǎn)，，則的最小值是______．【答案】##【分析】以為頂點(diǎn)構(gòu)造棱長為2的正方體，利用對(duì)稱性將轉(zhuǎn)化為，由圖形得到四點(diǎn)共線時(shí)取最小值，進(jìn)而求解.【詳解】以為頂點(diǎn)構(gòu)造棱長為2的正方體，由對(duì)稱得，，因?yàn)槭巧系膭?dòng)點(diǎn)，是下兩底面上的動(dòng)點(diǎn)，則是直角三角形，是中點(diǎn)，且，故，所以取最小值時(shí)，四點(diǎn)共線，則，此時(shí)．故答案為：.【點(diǎn)睛】在平面解析幾何中求直線上一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)（在直線同一側(cè)）的距離之和的最小值時(shí)，通常將其中一定點(diǎn)對(duì)稱到直線的另一邊，利用三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最小，在立體幾何中也有類似的方程，此題中作正方體的目的就是為了找出關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，從而將轉(zhuǎn)化為求最小值.四、解答題17．已知，(1)時(shí)，求的取值范圍；(2)若存在t，使得，求t的取值范圍．【答案】(1)(2)t的取值范圍為【分析】（1）化簡，結(jié)合二倍角公式的逆用轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的解析式，推出范圍即可．（2）存在，使得，令，根據(jù)三角函數(shù)恒等變換確定的范圍，再利用平方公式得，通過當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，解方程，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的值域，即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：時(shí)，，由于，所以所以．（2）解：由題意得，存在，使得，令，因?yàn)?，所以，即，則，所以，當(dāng)時(shí)，方程為，此時(shí)不存在使得方程有解，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，綜上，t的取值范圍為.18．已知數(shù)列，，…，，…滿足，（），數(shù)列A的前n項(xiàng)和記為．(1)寫出的最大值和最小值；(2)是否存在數(shù)列A，使得？如果存在，寫出此時(shí)的值；如果不存在，說明理由．【答案】(1)的最大值為3，最小值為-1(2)不存在，理由見解析【分析】（1）利用與遞推公式求出的可能值，從而求出的可能值，得到最大值與最小值；（2）兩邊平方后，根據(jù)推出，從而求出，結(jié)合為整數(shù)，方程無解，故不存在數(shù)列A，使得.【詳解】（1）因?yàn)椋ǎ?，所以，解得?1，取，則，解得或-2，取，則，解得：，所以或或故最大值為3，最小值為；（2）因?yàn)?，（），所以為整?shù)，兩邊平方得：，故，所以，若存在數(shù)列A，使得，則，又為整數(shù)，所以方程無解，故不存在數(shù)列A，使得.19．已知兩個(gè)四棱錐與的公共底面是邊長為2的正方形，頂點(diǎn)、在底面的同側(cè)，棱錐的高，、分別為AB、CD的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)F．(1)求的長；(2)求這兩個(gè)棱錐的公共部分的體積．【答案】(1)(2)【分析】(1)連接，證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出為的中點(diǎn)，進(jìn)而求解即可；(2)公共部分的體積可以看作四棱錐與四棱錐的體積差，根據(jù)棱錐體積公式求解即可.【詳解】（1）連接，如圖所示：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，所以四邊形是矩形，所以，且，又分別為的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，又對(duì)角線，所以為的中點(diǎn)，由題意可知：在中，，所以.（2）連接，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，由題意知，故，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，故，又，平面，所以平面，即是四棱錐的高，由（1）同理可得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，且，在中，，則，所以，因?yàn)椋?20．某次射擊比賽過關(guān)規(guī)定：每位參賽者最多有兩次射擊機(jī)會(huì)，第一次射擊擊中靶標(biāo)，立即停止射擊，比賽過關(guān)，得4分；第一次未擊中靶標(biāo)，繼續(xù)進(jìn)行第二次射擊，若擊中靶標(biāo)，立即停止射擊，比賽過關(guān)，得3分；若未擊中靶標(biāo)，比賽未能過關(guān)，得2分．現(xiàn)有12人參加該射擊比賽，假設(shè)每人兩次射擊擊中靶標(biāo)的概率分別為m，0.5，每人過關(guān)的概率為p．(1)求p（用m表示）；(2)設(shè)這12人中恰有9人通過射擊比賽過關(guān)的概率為，求取最大時(shí)p和m的值；(3)在（2）的結(jié)果下，求這12人通過射擊比賽過關(guān)所得總分的平均數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)利用對(duì)立事件概率的計(jì)算公式，用相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算公式能求出每位大學(xué)生射擊測(cè)試過關(guān)的概率.(2)求出，通過求導(dǎo)可求得取到最大值時(shí)的的值.(3)利用第二問的結(jié)論，設(shè)一位大學(xué)生射擊測(cè)試過關(guān)所得分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量，的可能取值為，分別求出每一個(gè)隨機(jī)變量的概率，由此可求得12個(gè)人通過射擊過關(guān)所得分?jǐn)?shù)的平均分.【詳解】（1）每位大學(xué)生射擊過關(guān)的概率為：.（2），，令，則或，因?yàn)?，所?令，令，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，解得.所以當(dāng)取最大時(shí)p和m的值分別為，.（3）設(shè)一位大學(xué)生射擊過關(guān)測(cè)試所得分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，則的可能取值為，則，，，所以每位大學(xué)生測(cè)試過關(guān)所得分?jǐn)?shù)的平均分為：.所以這12人通過射擊過關(guān)測(cè)試所得分?jǐn)?shù)的平均分為：.21．已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)過定點(diǎn)的直線l交動(dòng)點(diǎn)P的軌跡于不同的兩點(diǎn)M，N（M在N的上方），點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為，求證直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)直線恒過定點(diǎn).【分析】（1）直接由斜率關(guān)系