能帶理論的總結(jié)。關(guān)于這個(gè)理論，不要求大家對(duì)能帶理論的計(jì)算過(guò)程進(jìn)行推導(dǎo)，而只需要記住這樣幾個(gè)重要的問(wèn)題：原子在相互靠近時(shí)，原子的波函數(shù)交疊導(dǎo)致能級(jí)分裂。分裂的能級(jí)數(shù)目和原胞數(shù)目、原胞內(nèi)的原子數(shù)、以及原始能級(jí)的簡(jiǎn)并度有關(guān)。具體為N（原胞數(shù)）×原胞內(nèi)原子數(shù)×能級(jí)簡(jiǎn)并度。近似計(jì)算的結(jié)果表明：晶體中電子的波函數(shù)為一個(gè)類似于自由電子的平面波被一個(gè)和晶格勢(shì)場(chǎng)同周期的函數(shù)所調(diào)幅的布洛赫波函數(shù)。由于周期性的邊界條件。布洛赫波函數(shù)的波矢k只能取分立的值。k是描述半導(dǎo)體晶體電子共有化的波矢。它的物理意義是表示電子波函數(shù)位相的不同。每一個(gè)k對(duì)應(yīng)著一個(gè)本征值（能量E）。而在特定的k值附近由于周期性晶格勢(shì)場(chǎng)的簡(jiǎn)并微擾，使能帶發(fā)生分裂，形成一系列的允帶和禁帶。由于En(k)具有周期性，因而可在同一個(gè)周期內(nèi)表示出E~k曲線。這就是以能帶分裂時(shí)的k值為邊界的布里淵區(qū)。每個(gè)布里淵區(qū)內(nèi)有N個(gè)k值，對(duì)應(yīng)于一個(gè)準(zhǔn)連續(xù)的能帶。將所有的E~k通過(guò)平移操作置于最簡(jiǎn)單的布里淵區(qū)內(nèi)，該布里淵區(qū)稱為簡(jiǎn)約布里淵區(qū)，相應(yīng)的波矢k稱作簡(jiǎn)約波矢。E0kE0簡(jiǎn)約布里淵區(qū)允帶允帶允帶禁帶禁帶§3半導(dǎo)體中電的傳導(dǎo)固體中電流是由于電子的定向移動(dòng)造成的在滿帶中，所有電子狀態(tài)被占據(jù)首先在無(wú)外力情況下。電子也并非靜止的處于某一個(gè)固定的狀態(tài)。在熱擾動(dòng)的情況下，電子可能增加或減少自己的能量，從而在各個(gè)k狀態(tài)中躍遷（指能量改變）。但是由于是滿帶，每有一個(gè)k狀態(tài)的電子改變了能量跑到了k’狀態(tài)，則相應(yīng)的就有一個(gè)電子填補(bǔ)了k狀態(tài)，由于電子的全同性，相當(dāng)于系統(tǒng)的狀態(tài)沒(méi)有任何改變，因而沒(méi)有電流。當(dāng)外力作用于滿帶時(shí)，假設(shè)某個(gè)電子獲得了能量。而跑到另一個(gè)k狀態(tài)中，但由于是滿帶，所有的狀態(tài)都被占據(jù)，因而另一個(gè)k狀態(tài)中的電子就需要填充到原有的這個(gè)k狀態(tài)中，即相當(dāng)于兩個(gè)電子狀態(tài)上的電子進(jìn)行了交換。由于電子是全同粒子，交換后所表達(dá)的狀態(tài)和原先的狀態(tài)是完全一樣的，因而系統(tǒng)的狀態(tài)不發(fā)生變化，自然也沒(méi)有電流的產(chǎn)生。在不滿帶中，部分電子狀態(tài)被占據(jù)。在沒(méi)有外力作用的情況下，半滿帶內(nèi)的電子可以在熱的影響下改變自己的能量而跑到別的k狀態(tài)中。但由于E~k是偶函數(shù)（晶體的對(duì)稱性），處于k狀態(tài)和-k狀態(tài)的幾率相等，即有向一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的電子，平均地就有一個(gè)相應(yīng)的向相反方向運(yùn)動(dòng)的電子。即電子雜亂無(wú)章的熱運(yùn)動(dòng)在各個(gè)方向是等價(jià)而對(duì)稱的，因而沒(méi)有宏觀電流。（k和電子的運(yùn)動(dòng)速度即方向有關(guān)）對(duì)于半滿帶中的電子來(lái)說(shuō)。當(dāng)施加于外力F時(shí)：由于外力的作用電子獲得了能量和靜動(dòng)量，向某一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的電子超過(guò)相反方向（改變了k空間的對(duì)稱分布），因而表現(xiàn)出宏觀電流。由于電子在電場(chǎng)作用下造成的定向運(yùn)動(dòng)造成的漂移電流為：e電子電量，n電子密度，用求和的形式表示，表明電流是電子向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)抵消后的凈運(yùn)動(dòng)造成的。3.2有效質(zhì)量問(wèn)題：什么叫質(zhì)量？如何測(cè)量一個(gè)物體的質(zhì)量？

m=N/g F=ma質(zhì)量（慣性）是和作用力改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)的量。對(duì)于晶格中的某一個(gè)電子來(lái)說(shuō)：Fint非常復(fù)雜，難以確定。因而我們將公式簡(jiǎn)寫為：其中加速度a直接與外力有關(guān)。參數(shù)m*對(duì)外力Fext表現(xiàn)出類似于慣性質(zhì)量的性質(zhì)，叫做有效質(zhì)量。所謂有效是指：“有效”的意義在于“它是有效的，但不是真實(shí)的”有效質(zhì)量與E-k圖的關(guān)系 能量的改變對(duì)應(yīng)于狀態(tài)的改變。在無(wú)外力作用的情況下，晶體中電子的能量是恒定的（平均）。當(dāng)外力作用于晶體電子時(shí)，其能量就要改變（平均），因而我們用能量E和狀態(tài)k之間的變化關(guān)系來(lái)描繪有效質(zhì)量。對(duì)應(yīng)于經(jīng)典理論： 先考慮自由電子： 根據(jù)德布羅意波粒二相性原理： 對(duì)于自由電子，其E-k關(guān)系：

E的二階導(dǎo)數(shù)是一個(gè)常量，電子質(zhì)量是個(gè)常量Ek對(duì)于晶格電子，在能帶極值附近進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開：

一階導(dǎo)數(shù)為0，取至二階（拋物線近似，近自由電子近似）對(duì)于特定的半導(dǎo)體： 應(yīng)當(dāng)為一定值（極值附近），假設(shè)為 ，則可表示為：可以看到，和自由電子相比，m*起著相當(dāng)于質(zhì)量的作用。m*的特殊之處。自由電子靜質(zhì)量m0為常數(shù)，而有效質(zhì)量和E-k關(guān)系有關(guān)。只有在能帶圖上的特定位置，其值才能作為常數(shù)。（可用回旋共振的方法測(cè)出）。m*的大小和E對(duì)k的二階導(dǎo)數(shù)有關(guān)，在帶底處，E-k二階導(dǎo)數(shù)為正（曲率為正），因而有效質(zhì)量為正，而在能帶頂部，E-k二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)（曲率為負(fù)），因而有效質(zhì)量為負(fù)。有效質(zhì)量和半導(dǎo)體電子的平均速度 對(duì)于自由電子：

相應(yīng)地： 并不是晶格中電子的動(dòng)量，但卻有著類似于自由電子動(dòng)量的表達(dá)（ ），因而被稱作準(zhǔn)動(dòng)量。有效質(zhì)量和加速度實(shí)際的半導(dǎo)體器件在一定的電壓下工作，半導(dǎo)體內(nèi)部產(chǎn)生外加電場(chǎng)。電場(chǎng)強(qiáng)度為E時(shí)外力對(duì)電子做功等于能量的改變：將 代入： 這反映了在外力作用下，電子的狀態(tài)隨時(shí)間不斷變化，相應(yīng)地速度不斷變化，則加速度為： 從而 可以看到，借助于有效質(zhì)量的概念，晶體電子在外力的作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以用經(jīng)典的牛頓理論來(lái)描述。有效質(zhì)量是一個(gè)將經(jīng)典理論和量子理論聯(lián)系起來(lái)的概念。有效質(zhì)量的意義在于:它概括了半導(dǎo)體內(nèi)部勢(shì)場(chǎng)的作用，使得在解決半導(dǎo)體中電子在外力作用下的運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，可以不涉及到半導(dǎo)體內(nèi)部勢(shì)場(chǎng)的作用。mn*可以直接由實(shí)驗(yàn)測(cè)定，因而可以很方便地解決電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律有效質(zhì)量與能量函數(shù)對(duì)于k的二次微商成反比，能帶越窄，二次微商越小，有效質(zhì)量越大。內(nèi)層電子的能帶窄，有效質(zhì)量大外層電子的能帶寬，有效質(zhì)量小外層電子，在外力的作用下可以獲得較大的加速度。3.3空穴的概念 硅二維晶格結(jié)構(gòu)在0k時(shí)，所有的外層價(jià)電子都處于共價(jià)鍵中（處于價(jià)帶中，滿帶），因而不能導(dǎo)電。E熱激發(fā)，一個(gè)電子打破共價(jià)鍵而游離，成為準(zhǔn)自由電子在電場(chǎng)作用下，空位的移動(dòng)形成電流。電子躍遷后留下的空位叫空穴設(shè)想價(jià)帶中一個(gè)電子激發(fā)到價(jià)帶，電子電流密度

J＝價(jià)帶（k狀態(tài)空出）電子總電流設(shè)想以一個(gè)電子填充到空的k狀態(tài),k狀態(tài)電子電流=(-q)v(k)填入這個(gè)電子后價(jià)帶又被填滿,總電流應(yīng)為零

J＋（-q）v（k）＝0

因而得到

J＝（＋q）v（k）說(shuō)明：當(dāng)價(jià)帶k狀態(tài)空出時(shí)，價(jià)帶電子的總電流，如同一個(gè)正電荷的粒子以k狀態(tài)電子速度v（k）運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的電流。空穴的主要特征：荷正電：+q；空穴濃度表示為p（電子濃度表示為n）；EP=-En（能量方向相反）mP*=-mn*空穴的意義：可以把價(jià)帶大量電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用很少的空穴的運(yùn)動(dòng)表示出來(lái)。Ek3.4金屬、絕緣體和半導(dǎo)體固體導(dǎo)電性和能帶的關(guān)系允帶和禁帶空帶（無(wú)電子，不導(dǎo)電）；滿帶（無(wú)空狀態(tài)，不導(dǎo)電）；不滿帶（導(dǎo)電，電子，空穴）能帶（energyband）包括允帶和禁帶。允帶（allowedband）：允許電子能量存在的能量范圍。禁帶（forbiddenband）：不允許電子存在的能量范圍。允帶又分為空帶、滿帶、導(dǎo)帶、價(jià)帶。空帶（emptyband）：不被電子占據(jù)的允帶。滿帶（filledband）：允帶中的能量狀態(tài)（能級(jí)）均被電子占據(jù)。導(dǎo)帶（conductionband）：電子未占滿的允帶（有部分電子。）價(jià)帶（valenceband）:被價(jià)電子占據(jù)的允帶（低溫下通常被價(jià)電子占滿）。用能帶理論解釋導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體的導(dǎo)電性：0<Eg<6eVEg>6eV金屬半導(dǎo)體絕緣體金屬中，由于組成金屬的原子中的價(jià)電子占據(jù)的能帶是部分占滿的，所以金屬是良好的導(dǎo)電體半導(dǎo)體和絕緣體的能帶類似，即下面是已被價(jià)電子占滿的滿帶（其下面還有為內(nèi)層電子占滿的若干滿帶），亦稱價(jià)帶，中間為禁帶，上面是空帶。因此，在外電場(chǎng)作用下并不導(dǎo)電，但是這只是絕對(duì)溫度為零時(shí)的情況。絕緣體的禁帶寬度很大，激發(fā)電子需要很大的能量，在通常溫度下，能激發(fā)到導(dǎo)帶中的電子很少，所以導(dǎo)電性很差。半導(dǎo)體禁帶寬度比較小，在通常溫度下已有不少電子被激發(fā)到導(dǎo)帶中去，所以具有一定的導(dǎo)電能力，這是絕緣體和半導(dǎo)體的主要區(qū)別。半導(dǎo)體中導(dǎo)帶的電子和價(jià)帶的空穴參與導(dǎo)電，這是與金屬導(dǎo)體的最大差別。室溫下，金剛石的禁帶寬度為6～7eV，它是絕緣體；硅為1.12eV，鍺為0.67eV，砷化鎵為1.43eV，所以它們都是半導(dǎo)體。有效質(zhì)量概念的補(bǔ)充對(duì)于三維晶體來(lái)說(shuō)，在各個(gè)方向上的E~k曲線不同，且能帶極值可能不在原點(diǎn)。因而在不同方向上的有效質(zhì)量不同。§4狀態(tài)密度在單位空間和單位能量中允許存在的狀態(tài)數(shù)目——狀態(tài)密度熱平衡狀態(tài)下的載流子濃度問(wèn)題什么是熱平衡？不同溫度下的載流子濃度允許的量子態(tài)按能量如何分布電子在允許的量子態(tài)中如何分布熱平衡：一定溫度下，在半導(dǎo)體中存在著這樣的過(guò)程：載流子的產(chǎn)生——價(jià)帶電子（施主雜質(zhì)）躍遷到導(dǎo)帶載流子的復(fù)合——導(dǎo)帶電子躍遷到價(jià)帶并與空穴復(fù)合兩個(gè)過(guò)程動(dòng)態(tài)平衡使得半導(dǎo)體內(nèi)有一定數(shù)量的電子和空穴，這種平衡和溫度有關(guān)EcEv產(chǎn)生復(fù)合ED○●○●在一定溫度T下，載流子的產(chǎn)生過(guò)程與復(fù)合過(guò)程之間處于動(dòng)態(tài)的平衡，這種狀態(tài)就叫熱平衡狀態(tài)。允許的量子態(tài)按能量如何分布（單位能量間隔內(nèi)有多少量子態(tài)）

電子在允許的量子態(tài)中如何分布（在特定的能量位置，狀態(tài)被占據(jù)的幾率）

在能量間隔dE內(nèi)的電子數(shù)為：整個(gè)導(dǎo)帶內(nèi)的電子數(shù)：狀態(tài)密度+狀態(tài)分布函數(shù)載流子密度 當(dāng)溫度不同時(shí)，每層安排的座位數(shù)g(T)為一定值。當(dāng)溫度不同時(shí)，每層的人數(shù)分布為ff(T)。 則當(dāng)某一日溫度為T時(shí)，我們知道總?cè)藬?shù)為:計(jì)算過(guò)程k空間量子態(tài)密度k空間單位能量間隔內(nèi)的量子態(tài)數(shù)單位體積、單位能量間隔內(nèi)的量子態(tài)數(shù)（狀態(tài)密度）k空間量子態(tài)密度量子化效應(yīng)導(dǎo)致k分立一維晶體模型，N+1個(gè)原子組成，晶格常數(shù)為a，晶體的長(zhǎng)為L(zhǎng)，起點(diǎn)在x處在x和x+L

處，電子的波函數(shù)分別為φ(x)和φ(x+L)

φ(x)=φ(x+L)xx+LaL=a×N

該一維晶體k的可能取值為：電子的一個(gè)允許能量狀態(tài)的代表點(diǎn) 在一維空間中k狀態(tài)間隔為2π/L推廣到三維：邊長(zhǎng)為L(zhǎng)=N*a，體積為L(zhǎng)3=V。K空間中的狀態(tài)分布kx????????????????????????????????????????????????????????kzky電子的一個(gè)允許能量狀態(tài)的代表點(diǎn)每一個(gè)k狀態(tài)所占據(jù)的k空間體積為：?jiǎn)挝籯空間允許的狀態(tài)數(shù)為：?jiǎn)挝籯空間體積內(nèi)所含的允許狀態(tài)數(shù)等于晶體體積V/(2)3－－k空間的量子態(tài)（狀態(tài)）密度考慮自旋，k空間的電子態(tài)密度為：2V/(2)3任意k空間體積

中所包含的電子態(tài)數(shù)為：通過(guò)能量E和k的關(guān)系，在k空間中求出單位能量間隔內(nèi)的量子態(tài)數(shù)導(dǎo)帶底的E-k關(guān)系： 球形等能面的半徑k球所占的k

空間的體積為：設(shè)這個(gè)球內(nèi)所包含的電子態(tài)數(shù)為Z(E)：能量由E增加到E+dE，k空間體積增加：電子態(tài)數(shù)變化dZ(E)：因?yàn)橛校捍?，得到：因?yàn)橛?最后，這是體積V中的狀態(tài)密度，除以V，得到單位體積內(nèi)的狀態(tài)密度函數(shù)：根據(jù)空穴的E-k關(guān)系可求得空穴的狀態(tài)密度：狀態(tài)密度的特點(diǎn)：狀態(tài)密度同時(shí)是體積密度和能量密度狀態(tài)密度和能量和有效質(zhì)量有關(guān)實(shí)際半導(dǎo)體中，由于有效質(zhì)量可能有方向性，因而等能面不為球面，則采用平均的有效質(zhì)量來(lái)計(jì)算，稱為狀態(tài)密度有效質(zhì)量對(duì)于價(jià)帶，可能是復(fù)合能帶，為輕重空穴的狀態(tài)密度之和，因而采用價(jià)帶頂空穴狀態(tài)密度的有效質(zhì)量當(dāng)EV<E<EC時(shí)，為禁帶（帶隙），在此能量區(qū)間g(E)=0

導(dǎo)帶中電子的態(tài)密度分布函數(shù)gC(E)和價(jià)帶中空穴的態(tài)密度分布函數(shù)gV(E)隨著能量E的變化關(guān)系如右圖所示，當(dāng)電子的態(tài)密度有效質(zhì)量與空穴的態(tài)密度有效質(zhì)量相等時(shí)，二者則關(guān)于禁帶中心線相對(duì)稱?！?

統(tǒng)計(jì)力學(xué)（分布函數(shù)） 粒子按能量不同進(jìn)行的分布，或者說(shuō)粒子占據(jù)不同能量量子態(tài)的幾率。粒子按能量的分布麥克斯韋－玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)； 不同微觀粒子之間相互可以區(qū)分，每個(gè)能態(tài)上所允許存在的粒子數(shù)量不受限制。主要適用于經(jīng)典粒子的能量分布，例如在一個(gè)低壓密閉容器中的氣體分子就遵循麥克斯韋－玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。玻色－愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)；

不同微觀粒子之間相互無(wú)法區(qū)分，但是每個(gè)量子態(tài)上所允許存在的粒子數(shù)量仍然不受限制。玻色子，不受泡利不相容原理的約束，例如，光子，黑體輻射就遵循玻色－愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。

費(fèi)米－狄拉克統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)；

不同微觀粒子之間相互無(wú)法區(qū)分，并且每個(gè)量子態(tài)上只允許存在的一個(gè)微觀粒子。費(fèi)米子，服從泡利不相容原理，例如，晶體中的電子就遵循費(fèi)米－狄拉克統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。在絕對(duì)溫度T下的物體內(nèi)，電子達(dá)到熱平衡狀態(tài)時(shí)，一個(gè)能量為Ｅ的獨(dú)立量子態(tài)，被一個(gè)電子占據(jù)的幾率f(E)為： 其中，k為波爾茲曼常數(shù)，T為溫度，EF具有能量的量綱，叫做費(fèi)米能級(jí)將半導(dǎo)體中大量電子的集體視為一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)，統(tǒng)計(jì)理論證明，費(fèi)米能級(jí)EF是系統(tǒng)的化學(xué)勢(shì)，即 上式的意義是：當(dāng)系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)，也不對(duì)外界做工的情況下，系統(tǒng)中增加一個(gè)電子所引起系統(tǒng)自由能的變化，等于系統(tǒng)的化學(xué)勢(shì)，也就是等于系統(tǒng)的費(fèi)米能級(jí)。而處于熱平衡狀態(tài)的系統(tǒng)有統(tǒng)一的化學(xué)勢(shì)，所以處于熱平衡狀態(tài)的電子系統(tǒng)有統(tǒng)一的費(fèi)米能級(jí)。T=0K時(shí)的費(fèi)米－狄拉克統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)：

如下圖所示。在T=0K條件下，當(dāng)E<EF時(shí)，fF(E)=1；而當(dāng)E>EF時(shí)，fF(E)=0；

T>0K時(shí)，E>EFfn(E)<1/2;E=EF,fn(E)=1/2;E<EFfn(E)>1/2。

注意：費(fèi)米能級(jí)EF反映的是電子在不同能態(tài)上的填充水平，但并不一定對(duì)應(yīng)于某個(gè)具體的能級(jí)。T=0K時(shí)，13個(gè)電子在不同能級(jí)、不同量子態(tài)上的分布示意圖?？紤]量子態(tài)密度g(E)是能量E的連續(xù)函數(shù)，如左圖中的曲線所示，假設(shè)系統(tǒng)中的電子總數(shù)為N0，在T=0K時(shí)，電子在這些量子態(tài)上的分布情況如圖中虛線所示。電子首先從低能級(jí)開始往上填充，最后使得費(fèi)米能級(jí)EF以下的

能級(jí)全部填滿，而EF以上的能級(jí)全部為空。只要已知g(E)和N0

，則可以很方便地確定費(fèi)米能級(jí)EF。當(dāng)溫度高于絕對(duì)零度時(shí)，部分電子將獲得一定的熱運(yùn)動(dòng)能量，因此13個(gè)電子在不同能級(jí)、不同量子態(tài)上的分布情況將會(huì)有所改變，如下圖所示。兩個(gè)原來(lái)