PAGEPAGE52022中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題訓(xùn)練(四)三角形、四邊形中的相關(guān)證明及計(jì)算縱觀近5年中考題，三角形常與旋轉(zhuǎn)、折疊、平移等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)考查；四邊形中要特別關(guān)注平行四邊形、矩形、菱形和正方形的性質(zhì)和判定，以及運(yùn)用其性質(zhì)解決有關(guān)計(jì)算的問(wèn)題．類(lèi)型1三角形的有關(guān)計(jì)算及證明【例1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且∠ACF＝∠CBG.求證：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【解析】(1)要證明AF＝CG，可以利用“ASA〞證明△ACF≌△CBG來(lái)得到；(2)要證明CF＝2DE，由(1)得CF＝BG，那么只要證明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再證明DG＝BG即可．【學(xué)生解答】證明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H為AB中點(diǎn)．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H為AB中點(diǎn)，∴G為BD中點(diǎn)，∵E為AC中點(diǎn)，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.針對(duì)練習(xí)1．：如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝10，D為△ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，過(guò)D作DH⊥AB，垂足為H，交AC于E.假設(shè)△ABD是等邊三角形，求DE的長(zhǎng)．解：∵△ABD是等邊三角形，AB＝10，∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝10.∵DH⊥AB，∴AH＝eq\f(1,2)AB＝5.∴DH＝eq\r(AD2－AH2)＝eq\r(102－52)＝5eq\r(3).∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°.∴∠AEH＝45°.∴EH＝AH＝5.∴DE＝DH－EH＝5eq\r(3)－5.2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在邊BC上．假設(shè)DE＝DF，AD＝2，BC＝6，求四邊形AEDF的周長(zhǎng)．解：∵AB＝AC，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴AE＝AF＝eq\f(1,2)AB.又∵DE＝DF，AD＝AD，∴△AED≌△AFD.∴∠EAD＝∠FAD.∴AD⊥BC，且D是BC的中點(diǎn)．在Rt△ABD中，∵E是斜邊AB的中點(diǎn)，∴DE＝AE.同理，DF＝AF.∴四邊形AEDF的周長(zhǎng)是2AB.在Rt△ABD中，AD＝2，BD＝eq\f(1,2)BC＝3，AB＝eq\r(4＋9)＝eq\r(13)，∴四邊形AEDF的周長(zhǎng)為2eq\r(13).3．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，BE與DF，DC分別交于點(diǎn)G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)線段BH與AC相等嗎？假設(shè)相等給予證明，假設(shè)不相等請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)求證：BG2－GE2＝EA2.證明：(1)BH＝AC.∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC.又∵∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH＝∠DCA.∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC；(2)連接GC.那么GC2－GE2＝EC2.∵F為BC中點(diǎn)，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝GC.∴BG2－GE2＝EC2.∵∠ABE＝∠CBE，∠CEB＝∠AEB，BE＝BE，∴△BCE≌△BAE.∴EC＝EA，∴BG2－GE2＝EA2.4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E.在△ABC外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC.(1)求證：BE＝CF；(2)在AB上取一點(diǎn)M，使BM＝2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME.求證：①M(fèi)E⊥BC；②DE＝DN.證明：(1)∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°.∵FC⊥BC，∴∠BCF＝90°.∴∠ACF＝90°－45°＝45°，∴∠B＝∠ACF.∵∠BAC＝90°，F(xiàn)A⊥AE，∴∠BAE＋∠CAE＝90°，∠CAF＋∠CAE＝90°，∴∠BAE＝∠CAF.在△ABE和△ACF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠CAF，,AB＝AC，,∠B＝∠ACF，))∴△ABE≌△ACF(ASA)．∴BE＝CF；(2)①過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，那么△BEH是等腰直角三角形．∴HE＝BH，∠BEH＝45°.∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE＝HE，∴DE＝BH＝HE.∵BM＝2DE，∴HE＝HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH＝45°，∴∠BEM＝45°＋45°＝90°，∴ME⊥BC.②由題意，得∠CAE＝45°＋eq\f(1,2)×45°＝67.5°，∴∠CEA＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠CAE＝∠CEA＝67.5°，∴AC＝CE.在Rt△ACM和Rt△ECM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CM＝CM，,AC＝CE，))∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，∴∠ACM＝∠ECM＝eq\f(1,2)×45°＝22.5°.又∵∠DAE＝eq\f(1,2)×45°＝22.5°，∴∠DAE＝∠ECM.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝CD＝eq\f(1,2)BC.在△ADE和△CDN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAE＝∠ECM，,AD＝CD，,∠ADE＝∠CDN，))∴△ADE≌△CDN(ASA)，∴DE＝DN.類(lèi)型2四邊形的有關(guān)計(jì)算及證明【例2】(2022邵陽(yáng)中考)準(zhǔn)備一張矩形紙片，按如下圖操作：將△ABE沿BE翻折，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的M點(diǎn)；將△CDF沿DF翻折，使點(diǎn)C落在對(duì)角線BD上的N點(diǎn)．(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形；(2)假設(shè)四邊形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面積．【解析】(1)由矩形及翻折的性質(zhì)可證得△EDM≌△FBN，從而證出四邊形BFDE是平行四邊形；(2)由菱形及矩形的性質(zhì)得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用銳角三角函數(shù)可求出AE、BE，進(jìn)而求出AD、DE，即可求出菱形BFDE的面積．【學(xué)生解答】解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.由翻折得：BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°，∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°.∵AD∥BC，∴∠EDM＝∠FBN，∴△EDM≌△FBN(ASA)，∴ED＝BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形；(2)∵四邊形BFDE是菱形，∴∠EBD＝∠FBD.∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝eq\f(1,3)×90°＝30°.在Rt△ABE中，∵AB＝2，∴AE＝eq\f(2,3)eq\r(3)，BE＝eq\f(4,3)eq\r(3)，∴ED＝eq\f(4,3)eq\r(3)，∴S菱形BFDE＝ED·AB＝eq\f(4,3)eq\r(3)·2＝eq\f(8,3)eq\r(3).針對(duì)練習(xí)5．如圖，△ABC.按如下步驟作圖：①以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧；②以C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)D；③連接BD，與AC交于點(diǎn)E，連接AD，CD.(1)求證：△ABC≌△ADC；(2)假設(shè)∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，AC＝4，求BE的長(zhǎng)．解：(1)在△ABC與△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,BC＝CD，,AC＝AC，))∴△ABC≌△ADC(SSS)；(2)設(shè)BE＝x，∵∠BAC＝30°，∴∠ABE＝60°，∴AE＝tan60°·x＝eq\r(3)x，∵∠BCA＝45°，∴CE＝BE＝x，∴eq\r(3)x＋x＝4，∴x＝2eq\r(3)－2，∴BE＝2eq\r(3)－2.6．(2022溫州中考)如圖，E是?ABCD的邊CD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：△ADE≌△FCE.(2)假設(shè)∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的長(zhǎng)．解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，∵E是?ABCD的邊CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAE＝∠F，,∠D＝∠ECF，,DE＝CE，))∴△ADE≌△FCE(AAS)；(2)∵ADE≌△FCE，∴AE＝EF＝3，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠BAF＝90°，在?ABCD中，AD＝BC＝5，∴DE＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\r(52－32)＝4，∴CD＝2DE＝8.7．(2022青島中考)：如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC上的點(diǎn)，且AE＝CF，直線EF分別交BA的延長(zhǎng)線、DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，H，交BD于點(diǎn)O.(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)連接DG，假設(shè)DG＝BG，那么四邊形BEDF是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,∠BAE＝∠DCF，,AE＝CF，))，∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)四邊形BEDF是菱形；理由如下：如下圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴DE＝BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴OB＝OD，∵DG＝BG，∴EF⊥BD，∴四邊形BEDF是菱形．8．(2022濱州中考)如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接ED，DG.(1)請(qǐng)判斷四邊形EBGD的形狀，并說(shuō)明理由；(2)假設(shè)∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2eq\r(10)，點(diǎn)H是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求HG＋HC的最小值．解：(1)四邊形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，∴∠EBD＝∠EDB，∵∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF，在△EFD和△GFB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EDF＝∠GBF，,∠EFD＝∠GFB，,DF＝BF，))∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，∴BE＝ED＝DG＝GB，∴四邊形EBGD是菱形；(2)作EM⊥BC于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，連接EC交BD于點(diǎn)H，此時(shí)HG＋HC最小，在Rt△EBM中，∵∠EMB＝90°，∠EBM＝30°，EB＝ED＝2eq\r(10)，∴EM＝eq\f(1,2)BE＝eq\r(10)，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，