2018高考數(shù)學(xué)破命題陷方法總結(jié)三角形中弦定理余弦定理的活應(yīng)用1.三角形的中線問題2.三角形中的角平分線問題3.三角形邊的范圍問題4.三角形中角的范圍問題5.多個(gè)三角形的問題6.三角的實(shí)際應(yīng)用7.三角形中的最值問題8.正余弦的混合及靈活應(yīng)用9.三角形的判斷問題二陷警及練三角形中問（用量阱例1．在△ABC中，角A,B,C的邊分別為a,b,c

，且

3ccosCacosA

。（）A的；（）B=30°BC邊上中線AM=，求△ABC的面積?！敬鸢福?0

）

3【解析）

2bccosCBCcos，aAABcos3sin2sinBcosA因?yàn)?/p>

BA

，即cos

又

A）30（）A30，BC120BC

【陷措】決角中角問時(shí)要據(jù)條選正余定，問轉(zhuǎn)統(tǒng)為的題或的題利三中角差公處，別意角定理運(yùn)，及角面最問時(shí)注均不式利，別角時(shí)，注分角范，才寫角大.練習(xí)1.在ABC中a3，A

．（Ⅰ）求

sin

；（Ⅱ）設(shè)

的中點(diǎn)為

，求中線

的長．【答案】(1)

B

;(2)

AD2

.【解析Ⅰ）cos

知，且

A

．所以

sinA

2

.由正弦定理及題設(shè)得

2．即sinsin22sinB3

．所以

B

．（Ⅱ）因?yàn)閎,所為角.所以

cossinB

.因?yàn)?/p>

，所以cosA)=A

．所以

cos

365333

．

在ACD中D為BC的點(diǎn)所以

CD

3

．由余弦定理及題設(shè)得2ACCDACcos

2

+(

2

3

．所以中線

AD

2

．練習(xí)2.ABC中，角B

的對邊分別為ab,c

,已邊c，sin2sin

.(1)若

sinC,的積；(2)記AB邊中點(diǎn)為M，CM的大值，并說明理.【答案）

3

）

3

.【解析】

c

，故

aB2sinBaAsinsinCsin2ab

，由余弦定理可得

C

a,2ab

.（）于AB邊的點(diǎn)為M，4

，由弦定理知，a2

，于是CM

而4aba

2

2

ab,ab4，CMCM的大值為（且僅當(dāng)

時(shí)取等號）練習(xí)3.已知數(shù)

f3sin

2

x2sincos（Ⅰ）求函數(shù)

f

的單調(diào)遞增區(qū)間及其對稱中心；（Ⅱ）在中，角A，B所的邊分別為，b，c且滿f若，

kZkZ

邊上的中線長為3，求的面積S.【答案）單調(diào)遞增區(qū)間：

6

，對稱中心

k

（）

【解析）

f

1

+2x2xcos2x32x6πππππππ636所以函數(shù)

f

的單調(diào)遞增區(qū)間：

πk6

令2x

ππkπkπx2

，則對稱中心

2

3

三角形的平線題阱例2.如圖在ABC中BCAC等分角平分線，分別交于.

，B，2

，AE,AF是BAC三（）角C的??；（）線段EF

的長.【答案）

;（2）

23

.

【解析）因?yàn)?/p>

BC2，，得，又，則BAC，所以sinBAC2C

.【陷措】平線題注幾方（1利對性（）用平分定（）用角形面練習(xí)1.在

中，

是

上的點(diǎn)，

平分

BAC

，

ABD

是

ADC

面積的2倍(1)求

sinsinC

；(2)若DC

，求BD和AC的．【答案）

sinsinC

）BD2，AC.【解析）∵是ADC面的2倍∴

BDDC由正弦定理可知：

sinsinCBD2（）（），

BD2

2

，∵ABD

是

ADC

面積的2倍

∴

設(shè)，由余弦定理得：

2x，得

.練習(xí)2.已知的內(nèi)角AC

所對應(yīng)的邊分別為b,c

，且滿足

cossinB

.（）斷ABC的形；（），，為C的分線，BCD的面積【答案】(1)直三角形(2)

【解析）由

cossinB

，得coscosBAsinBsin

,AcosAsin

,

.90

,故

ABC

為直角三角.練習(xí)3.如圖在

中，

，且

，

BACAB

.

（）ABC的積；（）知在線段上，且BADCAD，sin的值.【答案）

157）.8（）題,

BAC

b

2

2，2sin2bc8

，即sinDAC

，故

1sinDAC4三角形的圍題阱例3.在ABC中內(nèi)C

的對邊分別是,,

，且

csinsinA

.（）角的??；（）滿足BDBC且線段AD，求3a

的取值范圍【答案】(1)

B

;(2)【解析）∵

csinBa，由正弦定理得sinAsinaa∴

c

，

223c223c即2ac

，又∵a222

，∴cos

∵

B

∴B（）ABD

中由余弦定理知：c2

，∴∵3ac

，∴

，當(dāng)且僅當(dāng)

3a，a

，時(shí)取等號，所

a

的最大值為4三角ABDa2故

a

的范圍是

.【陷措】解三形關(guān)問時(shí)正定、弦理是個(gè)要據(jù)除了直利兩理求和以，等形程，般說,條中時(shí)現(xiàn)

及b

2

、a

2

時(shí)往用弦理而題中果和弦余函交出時(shí)往運(yùn)正定將邊為弦數(shù)結(jié)和差倍的正弦式行答練習(xí)1.已知（）C

、bc分是的內(nèi)角、對的邊，π，的面積為，求；

3

.π（）B，求a的值范.【答案））.【解析】試題分析）首先根三角形面積公式，

SabsinC，求解，根據(jù)余弦定理ABCc

2

2

2

C,求c）據(jù)正弦定理

csinsinsin

，用正弦表示表示

a

，再根據(jù)三角函數(shù)恒等變形為

2a3cos

，最后根據(jù)角

的范圍求解

22試題解析）∵

π，的面積為，b3，∴

3sinC，∴a.222由余弦定理得2abcos33

.∴

c13

.練習(xí)2.在ABC中內(nèi)A,B,

的對邊分別為a,c，且asin

3A

．（）角A的大??；（）

a

，求

的范圍．【答案】(1)A

;(2)范圍

.【解析）由

sinB

3A

及正弦定理可得

sinAB3sin

，∵

B

，∴

則有

sinA3cos

故

A

3

，又∵

，∴A

；

sin222224sin222224（）正弦定理，

a46sinsinBsinC3

，可得RsinB,R

，3∴bsinBsinsin222

3=

132BcosB∵0B

11，∴B

，∴

2sin

，∴

4

，即的范圍為練習(xí)3.在ABC中角、、

．的對邊分別為a,，sin

sin

2sinAsinsin

.（）角

的大?。唬ǎ?/p>

b

2

，且

A,2

，求邊長的取值范圍【答案】(1)

B

;(2)

c

（）

，∴C

，由正弦定理，得

B

2

，∴

2sin

3

，

44∵A

32，∴A，sinA4424

，c∴練習(xí)4.已知數(shù)

f

2sinxcosx

.（Ⅰ）求函數(shù)

f

的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在△

中，角B

的對邊分別為ab

，若

為銳角且

f

，

，求

的取值范圍【答案】(1)

fx23

,單調(diào)增區(qū)間

（）

（）

fsin

2，0A,所以2A33解得A

又

b

在

ABC中a22bc

4

等三角形時(shí)等號成立，所以，因?yàn)槭侨切嗡詀a，所以2,4三角形角范問陷

。例4.已知a,

分別是內(nèi)AC的邊，且A,B,C

依次成等差數(shù)列（Ⅰ）若BsinA,試斷ABC形狀；（Ⅱ）若為角角形，且a，求sin.【答案】(正三角形；Ⅱ)

cA3sincos2

的取值范圍

【解析）正弦定理及sinsinAC

，得ac三內(nèi)角A,B,

成等差數(shù)列，2BAB

，由余弦定理，得ba22accosB

，ac2

，又B

為正三角形，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，ABC中B

.

A1cos13sincosA2222

13sinAsinsinA234AcosA.26由題意，知A

5A6

，3sinA,sinA22所代數(shù)式

c13sincos22

的取值范圍是,

【陷措】于目所的角角或鈍三形要注三角范練習(xí)1.在銳

中，

c2,3ac

.（）

的面積等于

3

，求

；（）ABC的積的取值范.【答案）

{

2

（）

S

ABC

3,【解析】(1)∵

sin

，由正弦定理得

A2sinCsinA

，∵

A

，∴

sinC

13，32

，得

.

ABC2322262262ABC2322262262由2abcosCaba所以由{解得{.ab42

得a2ab

，（）正弦定理得

a

4433

，∴

S

1absinCAsin23

.又

2

，∴

23SsinAA363

.因?yàn)?/p>

為銳角三角形，∴

，∴S

ABC

,

.練習(xí)2.在ABC中ab,c（）A的大小；

分別是角A,C的邊，且sinsin3sinBsinC

.（）

的取值范圍【答案）

（）2（Ⅱ）

B

B

，由得出：B

，所以3sin

，所以

33sin

即

sin

3的取值范圍是,練習(xí)3.在ABC中，，分為內(nèi)角，B，的邊，且，c成比數(shù)列．（）角的取值范圍；（）關(guān)于的不等cos2B

cos22

恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)B

(2)

【解析）∵

，∴

a222ac12ac2

，所以當(dāng)且僅當(dāng)

a時(shí)cosB

，故B3

．練習(xí)4.已知角ABC的三個(gè)內(nèi)B,（）角；

的對邊分別為a,c，

abcosC

．

2323（）

c

3，b

的取值范圍．【答案）C=

π

）

ba

.【解析）由余弦定理，可得2ab

，所以

2cossinC3abC

，所以

，又

ππ，所以C=．（）正弦定理，

BsinC

，所以

a2sinA

A4sin3cosA3sinba23cosA3

，因?yàn)?/p>

是銳角三角形，所以

π，ππ{得π62，2

，ππ5所以A+

，

π3

，即

a

．練習(xí)4.已知

、c分是的內(nèi)角、B、對邊，

3

.（）

π

，的面積為，求；π（）B，a的值范.【答案）c）【解析）∵

，

的面積為，

b3

，∴

3sinC222

，∴

.

22由余弦定理得2abcos33∴c

.多個(gè)三形問例如，在邊長為2的正角形

中，D

為

BC

的中點(diǎn)，E,F

分別在邊

上（）

2，CE的；（）

，問：當(dāng)CDE取何時(shí)，DEF

的面積最?。坎⑶蟪雒娣e的最小值．【答案）

（）

CDE60

時(shí)，DEF

的面積的最小值為

【解析）在中0,CD

，

由余弦定理得，2CD2

，得

CE，得CE

；（）

CDE00

，在CDE中由弦定理，得

sinsin

，所以

DE

03sin

，同理

DF

2sin

，故

1DE248sin2

，因?yàn)?/p>

30

0

0,300150

以

60

時(shí)，DEF的面積取到最小值．即CDE60

時(shí)，DEF

的面積的最小值為

．【防陷阱措施】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難在與三角形有關(guān)的問題時(shí)弦定理弦理是兩個(gè)主要依.除直接利用兩定理求邊和角以外等變形程中,當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)

及b

、

時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解.練如圖所示，△ABC中D為AC的中AB=2，BC=

7,A

.（）求cos∠ABC的值（）求BD的.【答案】(1)

cos

;(2)BD2

.【解析】試題分析）在△ABC利用正弦定理可求，利用大邊對大角可得C為銳角，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解cos∠ABC的值．

（）兩角和差公式得到os

27cossinsin3在△ABC中，22BCABBCABC，AC3在△ABD中，

2

AB

2

2

cos

練的內(nèi)角BC

的對邊分別為b,c

中bbBC

延長線段BC到D，使得

BC

.（Ⅰ）求證：

BAC

是直角；（Ⅱ）求

tan

的值.【答案】(1)詳見解析）【解析】證明：

22（Ⅱ）設(shè)BC

，在

中，因?yàn)锽ACACB30

，所以

，所以

4cos

.ACCD在ABC中，，=2，sinCAD所以

AC

，所以

cos

，即

3sin，整理得3cos

2sin

，所以

，即

ADC

.三角的際用例6.已知漁船在漁港O的偏東60°向，距離漁港約160海的B處現(xiàn)險(xiǎn)情，此時(shí)在漁港的正上方恰好有一架海事巡邏飛機(jī)A接漁船的求救信號，海事巡邏飛機(jī)迅速將情況通知了在C處的漁政船并要求其迅速趕往出事地點(diǎn)施救事巡邏飛機(jī)測得漁船B的俯角為68.20°漁船C的角為63.43°且漁政船位于漁船的北偏東60°向上．（Ⅰ）計(jì)算漁政船C與港O的離；（Ⅱ）若漁政船以每小時(shí)25海的速度直線行駛，能否在3時(shí)內(nèi)趕到出事地點(diǎn)？

（參考數(shù)據(jù)tan68.20°≈2.50shin63.43°tan63.43°≈2.00，，

≈3.61）【答案）

;（）在小時(shí)趕到出地點(diǎn)【解析】試題分析：(1)由AO面

，結(jié)合正切的定義可求得得400海里，

CO200

海里再由余弦定理得

BC401364.40

(2由

2.57得3小時(shí)內(nèi)趕到出地點(diǎn)試題解析：(2)

可3小內(nèi)趕到出事地點(diǎn)【陷措】實(shí)問轉(zhuǎn)為三形題并意向和方角練習(xí)1.如圖AB38，從點(diǎn)A

發(fā)出的光線經(jīng)水平放置于處的平面鏡（大小忽略不計(jì)）反射后過點(diǎn)B，知AC米，米（）光線AC的射角射光線與線CK夾角）的大小；（）點(diǎn)B

相對于平面鏡的垂直距離

與水平距離

CE

的長.【答案）

π

（）相對于平面的垂直距離與平距離的長分別為213米米．【解析題析余弦理解出

ACB

根據(jù)光的反射定律得

得射角

（）在

中，可得

BECBE

，及

CEBCsinCBE

，代入數(shù)值可得結(jié)果試題解析：解）圖，由的反射定律，ABC在中，根據(jù)余弦定理，得

ACKBCK

，

．cos22122

22AB2ACBC．因?yàn)?/p>

，以

ππ，6

．即光線AC的射角小為

π

.

（Ⅱ）據(jù)（Ⅰ

Rt

中，BCK

π

，所以BEBCcosCBE42cos

π

3

（米CEBCCBE

π

21

（米即點(diǎn)B相于平面鏡的垂直距離水平距離CE的分別為213米米．三角形的值題（）長最例7．在ABC中，角C

所對的邊分別為a,c

，已知，

.（）

Asin時(shí)求的積；（）

周長的最大.【答案）

3

）6.【解析）由

A得

Asin得

2sinAAsinBcos

，（）余弦定理及已知條件可得：a

ab

.

2222由

4ab4

得

，故ABC周長的最大值為6，當(dāng)且僅當(dāng)角形為正三角形取.【陷措】答涉到角的弦理余定的用，角的積式三形周等知點(diǎn)綜運(yùn)，題一的合，于檔題解中熟三形正定與弦理合理用解的鍵練習(xí)1.在

ABC

中，角B

的對邊分別為a,,

，且

sinB

bcos

.（）

求ABC面積的最大值；（），ABC周長【答案）

4

）

20

.【解析）由正弦定理得

sinAB

cos

，∵

B

，∴

sinA3cos

，∴

A

3

，∵

0

，∴

A

.∵

4，8

，bc且僅當(dāng)

，即bc

時(shí)取等號）∴

的最大值為

sin603

.（）a

bccos60

，a7,b

，∴c

24

，解得

c

或

c

（舍∴ABC的周長為5

.練習(xí)2.在

中，角A,C

所對的邊分別為b,c

，且

.（）a,

依次成等差數(shù)列，且公差為2

，求

的值；（）

，試用

表示

的周長，并求周長的最大.【答案）c（）3【解析】(1)

,b,

成等差數(shù)列，且公差為2,b

，又221BCAcosC,22c

，恒等變形得c

0，得或，c

.

（）積值例8.已知,b,

分別為角B,

的對邊，它的外接圓的半徑為為數(shù)且足等式R2（）A；

B

成立.（）

ABC

的面積

的最大值【答案）A

（）

S

max

【解析）由

R2

B

，∴

C2

sinB

，由正弦定理得

A，R，cC，入得

2

2

bc

2

，由余弦定理

cos

22，．4（）（），B

，所以

S

Abc2sinC2RB44Rsin2B4

，

42424242當(dāng)且僅當(dāng)B

，Smax

．【陷措】意個(gè)題1面公的選（）與值等的系注均不等求值的件練習(xí)1.已知中角邊分別是,,c，22sinC外接圓半徑為2.（）角C的?。唬ǎ〢BC面的最大.【答案）

）

S

max

3

.【解析）由2sin

得a222a

b2

.又∵

2，∴a22

2

，∴22a21∴cosC.22又∵

60

.（）

1sinC23sinB3sinA12022

3sinAAA2A

33sin2AA3sin2A2

.∴當(dāng)

2A120

，即

A

時(shí)，

.練習(xí)2.在ABC中ab,c（）B的大小

分別是角A,C的邊，且2cos

.（II）若

為

的中點(diǎn)，且

，求

面積最大值

【答案）

）

.試題解析）由

2cosC2coscosC

sinACcosA

，2sincos

，B

，又B

.（II）在

中，由余弦定理得

b2

.在ABD

中，由余弦定理得a

2

2

，二式相加得

a

22

b22cosB22

，整理得24

，a2ac

，所以的積S

4acB2323

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)“

”成立的面積的最大值為.練習(xí)3.在ABC中角A、、C的對邊分別為a、b、c且滿足（）角的大?。?/p>

CCC

．

22（）

，求ABC面積的最大值．【答案）

（）

2（）

中點(diǎn)D

，則

D在中2

（注：也可將

C

C

兩邊平方）即4

ab2

22

，所以，且僅當(dāng)a，b時(shí)取等號此時(shí)

S

3sinC4

，其最大值為

2正余弦混及活用例9.

的內(nèi)角B

所對的邊分別為bc

，已知

asinB3cosA

.（）B；（）

的面積為

a

，求

.【答案）B

（）

{

22（）S

7sinB，得ac

，即

ac

，又2accos

，得

，所以

{

aca7，又{

.【防陷阱措施】解答時(shí)注意正弦定理、余弦定理的選取，一般有平方關(guān)系時(shí)使用余弦定理。練習(xí)1.的內(nèi)角、、（）；

的對邊分別為

a、，知

3c

．（）

c

3，的積最大值．2【答案））.4【解析）由已知及正弦定理得在ABC中，sin，

2sin

3sinsinsinAcosC

，∴

2

CcosC

，∴

1C

，從而

C

，∵

0

，

∴

5

，∴C

2

，∴C

2

；（）法：由1）知C

2

，∴

sin

，∵S

sinC

，∴

S

，∵

C

a222

，∴a

，∵

2

2

2

，∴

（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)等號成立∴

；解法二：由正弦定理可知

csinAsin

，∵

，∴

3sinA

，∴

3sinA

，∴

S

32A6

，∵

A

，∴

5

，∴當(dāng)

A

，即

A

時(shí)，

取最大值

．練習(xí)2.的內(nèi)角AC

的對邊分別為a,c

，且

cosAC

．

6262（）明：,,

成等比數(shù)列；（）角B

的平分線交AC于D，6,S

BAD

2S

，求

．【答案）見解析）【解析】解法一

7

.（）為

cosA

2

，所以

coscosCAsinC

2

，化簡可得A

，由正弦定理得，2ac

，故,,c

成等比數(shù)列（）題意

BAD

S

BCD

，得

BABDBC·sin

，又因?yàn)锽D

是角平分線，所以

，即

sin

，化簡得，

，即

a

.由（1）知，

，解得2,

，再由

BAD

2

得，

CDh

（

h

為

中

AC

邊上的高即

ADCD

，又因?yàn)?/p>

，所以ADCD

.【注】利用角平分線定理得到CD

同樣得分，在

中由余弦定理可得，

cosA

22902724

，在ABD

中由余弦定理可得，BDAD2ADABcos

，即

BD

22

5，求得BD24

.解法二）同解法.

22解法三：（）解法一（）解法二，AD4,

.在ABC中由余弦定理可得，

a25432ac72

，由于cos2sin

B

，從而可得

B222

，在ABC中由余弦定理可得，

C

2

2222

，求得sinC，在

BCD

中由正弦定理可得，

CD·sin，即BDsinsinCBD

.【注】若求得A的后，在解法四：（）解法一.（）解法一，AD4,

中應(yīng)用正弦定理求得

的，請類比得分在BCD中余弦定理得，

22

24

，在

中由余弦定理得，

BD

22BD

28BD

，因?yàn)?/p>

BDC

，所以有

BDC

，故

BDBD2564BDBD

，

整理得，3

2

84即BD7

.三角形判問例10.（1）在銳角ABC中BC，

，求

A

的值及AC的值范圍；（）ABC中已知BC試判斷的狀【答案）

）角三角.【解析）設(shè)

B

，由正弦定理得

ACBCsin2

，∴

AC2coscos

.由銳角ABC得00

，又∴

3

，故

32

.（）題，2sin

2

Asin

2

Bsin

2

C，

2

Asin

2

B

2

C由正弦定理得

，∴

為直角三角.【陷措】關(guān)角中最和值圍題有從的角借基不式求有邊角借輔角式為角數(shù)最和圍求但根題求出的圍再三函值范，判三形狀題一要助弦理余定進(jìn)“轉(zhuǎn)角，出的小關(guān)，斷三角形，借正定和弦理行角邊，出與邊關(guān)，斷三形狀.練習(xí)1.已知的外接半徑

3

，角、BC的對邊分別是abc，且

2sinACcosCsinB

.（）角和長b；（II）求面的最大值及得最大值時(shí)的a、的，并判此時(shí)三角形的形.【答案））邊三角形．【解析】試題分析運(yùn)兩角和的正弦公式將已知等式化簡整理，得2sinAsin

，根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得

從而得出

cos

可B最后由正弦定理3得的b且B

利用余弦定理算出

2

2

再根據(jù)基本不等式算出，

利用三角形的面積公式算出

S

ABC

ac

3，從而得到當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)S有最大值，進(jìn)而得ABC到此時(shí)ABC是等邊三角形試題解析）

AsincosCsincosAcossinsinBC，ABcosCBAcossin

,

2sinBsinA又又

AB

,sinB

,

2cosB，cos……4分

由弦定理有：

sin

R

，于是

Rsin23

（Ⅱ）由余弦定理b

accos得

accos

,a

aca

ac2acac，，且當(dāng)a時(shí)“”S

33933acac，即求面積的最大值為44聯(lián)立

{

2ac

，解得

a又B

∴

為等邊三角.【規(guī)律總結(jié)】本題主要考查利用正弦定理、余弦定理、兩角和的正弦公式及三角形面積公式、斷三角形形狀，屬于中檔.判斷三角形狀的常見方法是通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷(2)用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷根據(jù)余弦定理確定一個(gè)內(nèi)角為鈍角進(jìn)而知其為鈍角三角.三高真演高新課標(biāo)1面四邊形=∠=∠C=75°的值范圍是.【答案6，2）

【考點(diǎn)定位】正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想【名師點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及三角公式，作出四邊形，發(fā)現(xiàn)四個(gè)為定值，四邊形的形狀固，BC定，平移，當(dāng)AD重時(shí)最長當(dāng)CD重時(shí)最短，再利用正弦定理求出兩種極限位置是AB長，即可求出的范圍，作出圖形，分析圖形的特點(diǎn)是找到解題思路關(guān).2016高考新課標(biāo)2理

的內(nèi)角C

的對邊分別為bc

A

5

，b則【答案】【解析】

．試題分析：因?yàn)閏osA

3，A,C為角形內(nèi)角，所以inAC

，sinBsin[

abA)]sin()sinACAsinC，因?yàn)?，Bsin所以sinA

.考點(diǎn)：三角數(shù)和差公式，正定.【名師點(diǎn)睛】在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)理都有可能用到．3【2015高重慶，理】中，=

，=2，A的平分線AD,則AC=_______.

【答案】

6【解析】由正弦定理得

AB3，即sinsinBADBsin120

，解得

sinADB

，ADB而，以C

，cos30

.【考點(diǎn)定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）【名師點(diǎn)晴】解三角形就是根據(jù)正弦定理和余弦定理得出方程進(jìn)行的．當(dāng)已知三角形邊長的比使用正弦定理可以轉(zhuǎn)化為邊的對角的正弦的比值，本例第一題就是在這種思想指導(dǎo)下求解的；當(dāng)已知三形三邊之間的關(guān)系式，特別是邊的二次關(guān)系式時(shí)要考慮根據(jù)余弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的余弦關(guān)系式再考慮問題的下一步解決方法．4.【2015高考天津，理13】在

中，內(nèi)角B

所對的邊分別為ab,c

，已知

ABC

的面積為315

，

則

的值為.【答案】

【解析】因?yàn)?/p>

0

，所以

2

A

，又

S

bcsin15,8

2，解方程組得bc24

，由余弦定理得2A2，以a.4【考點(diǎn)定位】同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形面積公式、余弦定.【名師點(diǎn)睛題主要考查同角角函數(shù)關(guān)系角形面積公式余定.解三角形是實(shí)際應(yīng)用問題之一，先根據(jù)同角三角關(guān)系求角的弦值，再由三角形面積公式求出24解方程組求出bc的，用余弦定理可求邊a有值.體現(xiàn)了合運(yùn)用三角知識余定理的能力與運(yùn)算能力數(shù)學(xué)重要思方法的體.5【2015高湖北，理】圖一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D

在西偏北30的方向上，行駛600m后到達(dá)，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為0，此山的高度CD

m.

【答案】

100【解析】依題意，BAC30

，

，在

ABC

中，由BAC180

，所以

，因?yàn)?/p>

AB

，由正弦定理可得

6004530

，即

300

m，在中，因?yàn)镃BD

，

3002，以30

BC300

，所以

CD1006

m.【考點(diǎn)定位】三角形三內(nèi)角和定理，三角函數(shù)的定義，有關(guān)測量中的的幾個(gè)術(shù)語，正弦定【名師點(diǎn)睛】本題是空間四面體問題，不能把四邊形ABCD看成平面上的四邊.6【2017課1，理17】△ABC的內(nèi)角A，，的對邊分別為a，，已知△的面積為（）sinBsinC;（）6cosBcos=1，=3，求△的長【解析】

a試題分析）由三角形面積公式建立等式

12ac23sinA

，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出sinsinC

的值）由BC

21和B計(jì)出32

，從而求出角

，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出

c

和

的值，從而求出

ABC

的周長為

333

.試題解析）由題設(shè)得

12ac，即B23sinA

.由正弦定理得

AsinsinB3sin

.故

sinB

.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)及其變.【名師點(diǎn)睛】在處理解三角形問題時(shí)，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個(gè)條件，求面積或周長的值”，這類問題通法思路是：全部化為角的關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即.

從求出范圍利用余弦定以及基本不等式求范圍；【2017課標(biāo)II，17】

的內(nèi)角

、

所對的邊分別為a,b

，已知

2

B

，（）

cos

；（）

的積為2

，求?！敬鸢浮?1)

cosB

；(2)b【解析】試題分析：利用三角形內(nèi)角和定理可知

，再利用誘導(dǎo)公式化簡s

，利用降冪公式化簡

sin

2

B1

，結(jié)合

sin2B2B求出；利用1）中結(jié)論B，用勾股定理和面積公式求出

，從而求出b。試題解析：(1)由設(shè)及

，sin8sin

B

，故

sin

。上式兩邊平方，整理得2B0

，解得

(舍去，

cosB

。

△ABC△ABC（）cosB

81得sinB，=ac

。又

△ABC

，則ac

。由余弦定理及

得：b

accos17153612。

所以b=2。【考點(diǎn)】正定理；余弦定理三角形面積公式?！久麕燑c(diǎn)睛】解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形內(nèi)角和定理正余定理三形面積式等知識解題題時(shí)要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意

a,ac,a

2

三者的關(guān)系，這樣的題目小而活，備受老師和學(xué)生的歡迎。2017課標(biāo)317eq\o\ac(△,】)的內(nèi)角A的對邊分別為a已知

sincosA

7

,=2.（）c（）D為BC邊一點(diǎn)，且AC,求△ABD的面.【答案】(1)3(2)【解析】

c

；解得：

c

(舍去，c.(2)由題設(shè)可得

，所以

BADBAC

.

11故△面積與ACD積的比值為

12

AB12

6

.又△的面積為BAC

，所以的面積為.【考點(diǎn)】余定理解三角形；角形的面積公式【名師點(diǎn)睛解決三角問題中，積公式最常用，因?yàn)楣街屑扔羞呌薪?，容和正弦定、余弦定理?lián)系起來正、弦定理在用時(shí)，應(yīng)意靈活性，已知兩角和一邊，該三形是確定，其解是一的；已兩邊和一邊的角，該三形具有不一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界和大邊對角定理進(jìn)判斷.9【2017北，理15】在△中，A=60°c（Ⅰ）求的；（Ⅱ）若=7，求ABC面.

a.【答案）【解析】

）4

.試題解析：解）△中，因?yàn)?0c，所以由正弦定理得sinC

csin333.a214（Ⅱ）因?yàn)閍，以c由余弦定理

bccos得7

，解得或舍.所以△的積bcA3.2【考點(diǎn)】正弦定理；2.三角形面積3.角恒等變.【名師點(diǎn)睛】高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．而三角變換中主要是“變角、變數(shù)名和變

運(yùn)算形式中的核心是“變注角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式10.【天，理15】在△中，內(nèi)角A,,C.sin

所對的邊分別為a,

.已知a，c

，（Ⅰ）求b和sinA的；（Ⅱ）求

π

)

的值.【答案】(1)

b

.(2)

【解析】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系

b

，再根據(jù)余弦定理求出A，進(jìn)而得到

sin

，由

ab

轉(zhuǎn)化為

sinB

，求出

B

，進(jìn)而求出

cosB

，從而求出2

的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié).試題解析）△ABC中，為，由B

，可得B.由知及余弦定理，有b2a2acB

，所以

b

.由正弦定理

sinA

,得

B

.所以，的為13，的值為

.（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得A

，所以sin22sinA

，A2sin

A

.故

ππ2sin(2sinAcosAsin4

.考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師點(diǎn)睛】利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù).利正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解.11.【年考北京理數(shù)小13分在ABC中a

22

2ac

.（）B

的大小；

（）

C

的最大值【答案）

）1

.【解析】試題分析）根據(jù)余弦定理公式求出os的，進(jìn)而根據(jù)B的值范圍求的小；考點(diǎn)：三角恒等變形；2.余弦理【名師點(diǎn)睛】正、余弦定理是應(yīng)用極為廣泛的兩個(gè)定理，它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系，為求與三角形有關(guān)的(如面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑和面積)提供了理論據(jù)，也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù)．其主要方法有：化角法，化邊法，面法，運(yùn)用初等幾何法．注意體會其中蘊(yùn)涵的函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想．12.【高新課標(biāo)1卷】（小題滿分為12分

的內(nèi)角ABC的對分別為,,已知(aB+b).（）C（II）若

c

7,

的面積為

332

,求

ABC

的周長．【答案）

（II）

7【解析】試題分析弦理進(jìn)行邊角代換化簡得得

c

,故32

C

得

．再利用余弦定理得

．再根據(jù)c

可得

的周長為

7

．試題解析）由已知及正弦定理,

cos

sinC

,即

sinC

．故

．可得

,所以．3（II）由已知,

sin2

．又

,所以．由已知及余弦定理得a

．故a

,從而

．所以

的周長為

7

．考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理及三角形面積公式【名師點(diǎn)睛】三角形中的三角變換常用到誘導(dǎo)公,

tan

,就是常用的結(jié),另利用正弦定理或余弦定理處理?xiàng)l件中含有邊或角的等,?？紤]對其實(shí)施“邊化角”或“角化邊”13.【高山東理數(shù)小題滿分12）在△中，角A，，的邊分別為a，，，已知（Ⅰ）證明：a+=2;（Ⅱ）求的小值【答案）解析）

2(tanAtanB)

B.A【解析】試題分析）根據(jù)兩角和的弦公式、正切公式、正弦定理即可證明；（Ⅱ）根據(jù)余弦定理公式表示出cosC由基本不等式求cosC的最小值試題解析：

由題意知

AsinAsinABcoscosBcoscosB

，

化簡得

BsinBcosAsin

，即

2sin

B

.因?yàn)?/p>

,所以

sin

.從而

sinsinB

.由正弦定理得

.考點(diǎn)：和差倍半的三角函數(shù)2.正弦定理、余弦定理3.基本等.【名師點(diǎn)睛】此類題目是解三角形問題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng).解答本題，關(guān)鍵在于能利用角公式化簡三角恒等式，利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，達(dá)到證明目的；三角形中的求角問題，往往要用余弦定理用邊表示角的函數(shù)本覆蓋面較廣，能較好的考查考生的基本運(yùn)算求解能力及復(fù)雜式子的變形力等9.14【2015江蘇高考，15小滿分14分在

中，已知

ABAC3,A60

.（）BC的長；（）sin2的.43【答案）7）7【解析】試題分析）已知兩邊及夾角求第三邊，應(yīng)用余弦定理，可得

BC

的長）用1）的結(jié)果，由余弦定理先求出角C的余弦值，再據(jù)平方關(guān)系及三角形角的范圍求出角C的弦值，最后利用二倍角公式

求出2的.試題解析）由余