PAGEPAGE1專題18向心加速度與向心力一、圓周運(yùn)動中的動力學(xué)分析1．向心加速度：描述速度方向變化快慢的物理量。公式：。2．向心力：作用效果產(chǎn)生向心加速度，F(xiàn)n＝man。3．向心力的來源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力，因此在受力分析中要防止再另外添加一個向心力。4．向心力確實(shí)定〔1〕確定圓周運(yùn)動的軌道所在的平面，確定圓心的位置?！?〕分析物體的受力情況，找出所有的力沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力。解決圓周運(yùn)動問題的主要步驟〔1〕審清題意，確定研究對象；〔2〕分析物體的運(yùn)動情況，即物體的線速度、角速度、周期、軌道平面、圓心、半徑等；〔3〕分析物體的受力情況，畫出受力示意圖，確定向心力的來源；〔4〕根據(jù)牛頓運(yùn)動定律及向心力公式列方程。二、豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動的繩模型與桿模型問題1．在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動的物體，按運(yùn)動到軌道最高點(diǎn)時的受力情況可分為兩類：一是無支撐〔如球與繩連接、沿內(nèi)軌道運(yùn)動的過山車等〕，稱為“繩〔環(huán)〕約束模型〞，二是有支撐〔如球與桿連接、在彎管內(nèi)的運(yùn)動等〕，稱為“桿〔管道〕約束模型〞。2．繩、桿模型涉及的臨界問題繩模型桿模型常見類型均是沒有支撐的小球均是有支撐的小球過最高點(diǎn)的臨界條件由得：由小球恰能做圓周運(yùn)動得v臨=0討論分析〔1〕過最高點(diǎn)時，，繩、軌道對球產(chǎn)生彈力〔2〕不能過最高點(diǎn)時，，在到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道〔1〕當(dāng)v=0時，F(xiàn)N=mg，F(xiàn)N為支持力，沿半徑背離圓心〔2〕當(dāng)時，，F(xiàn)N背向圓心，隨v的增大而減小〔3〕當(dāng)時，F(xiàn)N=0〔4〕當(dāng)時，，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大3．豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動的求解思路〔1〕定模型：首先判斷是輕繩模型還是輕桿模型，兩種模型過最高點(diǎn)的臨界條件不同。〔2〕確定臨界點(diǎn)：，對輕繩模型來說是能否通過最高點(diǎn)的臨界點(diǎn)，而對輕桿模型來說是FN表現(xiàn)為支持力還是拉力的臨界點(diǎn)?！?〕研究狀態(tài)：通常情況下豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動只涉及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動情況。〔4〕受力分析：對物體在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列出方程，F(xiàn)合=F向?！?〕過程分析：應(yīng)用動能定理或機(jī)械能守恒定律將初、末兩個狀態(tài)聯(lián)系起來列方程。在水平面上小猴拉著小滑塊做勻速圓周運(yùn)動，O點(diǎn)為圓心，能正確表示某時刻小滑塊受到的牽引力F及摩擦力Ff的示意圖是A．B．C．D．【參考答案】A【名師點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是對滑塊受力分析，根據(jù)滑動摩擦力與相對滑動方向相反得出滑動摩擦力的方向，根據(jù)勻速圓周運(yùn)動的合力指向圓心，得出拉力的方向。1．如下圖，一個圓盤在水平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動，盤面上有一個小物體在隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動。分析小物體受到的力，以下說法正確的選項是A．重力和支持力B．重力和靜摩擦力C．重力、支持力和靜摩擦力D．重力、支持力、靜摩擦力和向心力【答案】C【名師點(diǎn)睛】向心力是根據(jù)效果命名的力，只能由其他力的合力或者分力來充當(dāng)，不是真實(shí)存在的力，不能說物體受到向心力。2．質(zhì)量不計的輕質(zhì)彈性桿P插入桌面的小孔中，桿的另一端套有一個質(zhì)量為m的小球，今使小球在水平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動，且角速度為ω，如下圖，那么桿的上端受到球?qū)ζ渥饔昧Φ拇笮锳．B．C．D．不能確定【答案】C【解析】小球所受的合力提供向心力，有：F合=mRω2，根據(jù)平行四邊形定那么得，桿對小球的作用力，故C正確，ABD錯誤。如下圖，輕桿的一端有一個小球，另一端有光滑的固定軸O。使球和桿一起繞軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，不計空氣阻力，以下說法正確的選項是A．只有當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度大于或等于時，小球才能做完整的圓周運(yùn)動B．在最高點(diǎn)當(dāng)小球的速度小于時，桿對小球有向上的支持力C．在最高點(diǎn)當(dāng)小球的速度大于時，桿對小球有向上的支持力D．假設(shè)將輕桿換成輕繩，只要在最高點(diǎn)小球的速度大于0就能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動【參考答案】B【名師點(diǎn)睛】此題關(guān)鍵在于求出桿無彈力的臨界情況，桿對小球可以是拉力，可以是支持力，也可以沒有力，而繩子對球只能是拉力。1．一個半徑為R的豎直固定的光滑圓環(huán)上套有一個質(zhì)量為m的小球，一根輕彈簧上端固定在圓環(huán)的圓心處，下端固定在小球上，在圓環(huán)的最低處給小球水平向右的大小為的初速度，此時圓環(huán)恰好對小球沒有彈力，重力加速度為g，以下說法正確的選項是A．小球在圓環(huán)最低點(diǎn)時，彈簧的彈力大小為mgB．小球在圓環(huán)最高點(diǎn)時圓環(huán)對小球的彈力大小為7mgC．小球在圓環(huán)的最高點(diǎn)時彈簧的彈力比小球在最低點(diǎn)時的小D．小球經(jīng)過圓環(huán)的最高點(diǎn)的速度大小為【答案】D【名師點(diǎn)睛】此題考查了牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律的綜合運(yùn)用，知道最高點(diǎn)和最低點(diǎn)向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解。2．如下圖，半徑為R，內(nèi)徑很小的光滑半圓管道豎直放置，質(zhì)量為m的小球以某一速度進(jìn)入管內(nèi)，小球通過最高點(diǎn)P時，對管壁的壓力為0.5mg。求：〔1〕小球從管口飛出時的速率；〔2〕小球落地點(diǎn)到P點(diǎn)的水平距離?！敬鸢浮俊?〕或〔2〕R或R【解析】〔1〕分兩種情況，當(dāng)小球?qū)芟虏坑袎毫r，那么有mg–0.5mg=，v1=當(dāng)小球?qū)苌喜坑袎毫r，那么有mg+0.5mg=，v2=〔2〕小球從管口飛出做平拋運(yùn)動2R=gt2，t=2x1=v1t=Rx2=v2t=R如下圖，置于圓形水平轉(zhuǎn)臺上的小物塊隨轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動。假設(shè)轉(zhuǎn)臺以角速度ω0=2rad/s。轉(zhuǎn)動時，物塊恰好與平臺發(fā)生相對滑動。現(xiàn)測得小物塊與轉(zhuǎn)軸間的距離l1=0.50m，設(shè)物塊所受的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g取10〔1〕求小物塊與轉(zhuǎn)臺間的摩擦因數(shù)；〔2〕假設(shè)小物塊與轉(zhuǎn)軸間距離變?yōu)閘2=1.0【參考答案】〔1〕0.2〔2〕【詳細(xì)解析】〔1〕恰好發(fā)生相對滑動時由最大靜摩擦力提供圓周運(yùn)動向心力：，解得：學(xué)%〔2〕轉(zhuǎn)動半徑變?yōu)閘2時有：，解得：?！久麕燑c(diǎn)睛】1．如下圖，長為L的細(xì)輕繩一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的小球。給小球一個適宜的初速度，小球便可在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，這樣就構(gòu)成了一個圓錐擺。不計空氣阻力，關(guān)于小球受力，以下說法中正確的選項是A．小球只受重力和向心力作用B．小球只受重力、繩的拉力和向心力作用C．小球只受重力和繩的拉力作用D．小球只受重力、繩的拉力和離心力作用【答案】C【解析】對小球進(jìn)行受力分析，受到重力、繩的拉力，二者的合力提供向心力，向心力是效果力，不能分析物體受到的向心力。小球只受重力和繩的拉力作用，二者的合力提供向心力，C正確。2．如下圖，在光滑水平桌面上有一光滑小孔O，一根輕繩穿過小孔，一端連接質(zhì)量為m=1kg的小球A，另一端連接質(zhì)量為M=4kg的重物B，g=〔1〕當(dāng)A球沿半徑r=0.1m的圓周做勻速圓周運(yùn)動，其角速度ω1為多大時，〔2〕當(dāng)小球A的角速度為ω2=10rad/s時，物體B對地面的壓力為多大？【答案】〔1〕〔2〕B對地面的壓力為30N，方向豎直向下〔2〕對小球A來說，小球受到的重力和支持力平衡。因此繩子的拉力提供向心力，那么：FT=mrω2=1×0.1×102N=10N對物體B來說，物體受到三個力的作用：重力Mg、繩子的拉力FT、地面的支持力FN，由力的平衡條件可得：FT+FN=Mg，故FN=Mg–FT將FT=10N代入可得：FN=(4×10–10)N=30N由牛頓第三定律可知，B對地面的壓力為30N，方向豎直向下。1．如下圖，長為L的輕桿一端固定一質(zhì)量為m的小球，另一端安裝有固定轉(zhuǎn)動軸O，桿可在豎直平面內(nèi)繞O無摩擦轉(zhuǎn)動。假設(shè)在最低點(diǎn)P處給小球一沿切線方向的初速度，不計空氣阻力，那么以下說法正確的選項是A．小球不可能到達(dá)圓周軌道的最高點(diǎn)QB．小球能到達(dá)圓周軌道的最高點(diǎn)Q，且在Q點(diǎn)受到輕桿向上的支持力C．小球能到達(dá)圓周軌道的最高點(diǎn)Q，且在Q點(diǎn)受到輕桿向下的拉力D．小球能到達(dá)圓周軌道的最高點(diǎn)Q，且在Q點(diǎn)恰好不受輕桿的彈力2．如下圖，水平光滑桌面上有一個小球在細(xì)繩的作用下，繞桌面上的固定點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動。以下說法正確的有A．小球處于平衡狀態(tài)B．小球所受的合外力不為零C．如果剪斷細(xì)繩，小球仍做勻速圓周運(yùn)動D．小球受到細(xì)繩拉力的方向與速度方向垂直3．如圖，汽車通過拱形橋時可以看作圓周運(yùn)動，那么以一定速度通過最高點(diǎn)時A．豎直方向汽車受到三個力：重力、橋面的支持力和向心力B．汽車對橋面的壓力小于橋面對汽車的支持力C．汽車對橋面的壓力小于汽車的重力D．汽車對橋面的壓力大于汽車的重力4．地鐵可以有效緩解城市擁堵，方便市民出行。在地鐵軌道的轉(zhuǎn)彎處，外側(cè)軌道要略高于內(nèi)側(cè)軌道，如下圖。轉(zhuǎn)彎處軌道平面傾角為θ，列車的轉(zhuǎn)彎半徑為R，那么質(zhì)量為m的列車以的速度轉(zhuǎn)彎時A．內(nèi)側(cè)車輪對內(nèi)側(cè)軌道有擠壓B．外側(cè)車輪對外側(cè)軌道有擠壓C．鐵軌對列車的支持力等于D．鐵軌對列車的支持力小于5．如下圖，兩個可視為質(zhì)點(diǎn)的相同小球分別在兩豎直光滑圓錐的內(nèi)側(cè)面上以相同的角速度做勻速圓周運(yùn)動。兩圓錐面與水平面的夾角分別為為30°和45°，重力加速度為g，那么A．兩球的向心加速度大小相等B．兩球離地面的高度不相等C．兩球的線速度大小不相等D．兩球所需的向心力大小相等6．物體m用線通過光滑的水平板間小孔與砝碼M相連，并且正在做勻速圓周運(yùn)動，如下圖，如果減少M(fèi)的重量，那么物體m的軌道半徑r，角速度ω，線速度v的大小變化情況應(yīng)是A．r增大，ω變大B．r增大，v變小C．r減小，v不變D．r減小，ω不變7．振動電機(jī)實(shí)際上是一個偏心輪，簡化模型如圖甲所示，一輕桿一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一小球，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動。小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時，桿與小球間彈力的大小為N，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，N–v2圖象如圖乙所示。以下說法正確的選項是A．小球的質(zhì)量為B．當(dāng)時，球?qū)U有向下的壓力C．當(dāng)時，球?qū)U有向上的拉力D．假設(shè)，那么此時桿對小球的彈力大小為2a8．兩繩都拉直時與軸夾角分別為30°和45°，那么小球隨軸轉(zhuǎn)動的角速度ω滿足什么條件時，兩繩始終被拉直?！瞘取10m/s2，結(jié)果保存兩位有效數(shù)字〕9．某游樂場過山車模型簡化為如下圖，光滑的過山車軌道位于豎直平面內(nèi)，該軌道由一段斜軌道和與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R，可視為質(zhì)點(diǎn)的過山車從斜軌道上某點(diǎn)由靜止開始下滑，然后沿圓形軌道運(yùn)動?！?〕假設(shè)要求過山車能通過圓形軌道最高點(diǎn)，那么過山車初始位置相對圓形軌道底部的高度h至少要多少？〔2〕考慮到游客的平安，要求全過程游客受到的支持力不超過自身重力的7倍，過山車初始位置相對于圓形軌道底部的高度h不得超過多少？10．〔2022江蘇卷〕如下圖，一小物塊被夾子夾緊，夾子通過輕繩懸掛在小環(huán)上，小環(huán)套在水平光滑細(xì)桿上，物塊質(zhì)量為M，到小環(huán)的距離為L，其兩側(cè)面與夾子間的最大靜摩擦力均為F。小環(huán)和物塊以速度v向右勻速運(yùn)動，小環(huán)碰到桿上的釘子P后立刻停止，物塊向上擺動。整個過程中，物塊在夾子中沒有滑動。小環(huán)和夾子的質(zhì)量均不計，重力加速度為g。以下說法正確的選項是A．物塊向右勻速運(yùn)動時，繩中的張力等于2B．小環(huán)碰到釘子P時，繩中的張力大于2C．物塊上升的最大高度為D．速度v不能超過11．〔2022新課標(biāo)全國Ⅲ卷〕如圖，一固定容器的內(nèi)壁是半徑為R的半球面；在半球面水平直徑的一端有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P。它在容器內(nèi)壁由靜止下滑到最低點(diǎn)的過程中，克服摩擦力做的功為W。重力加速度大小為g。設(shè)質(zhì)點(diǎn)P在最低點(diǎn)時，向心加速度的大小為a，容器對它的支持力大小為N，那么A． B． C．D．12．〔2022安徽卷〕如下圖，一傾斜的勻質(zhì)圓盤垂直于盤面的固定對稱軸以恒定的角速度ω轉(zhuǎn)動，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止，物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力〕，盤面與水平面間的夾角為30°，g取10m/s2A．rad/sB．rad/sC．1.0rad/sD．0.5rad/s13．〔2022新課標(biāo)全國Ⅲ卷〕如圖，在豎直平面內(nèi)有由圓弧AB和圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點(diǎn)B平滑連接。AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為。一小球在A點(diǎn)正上方與A相距處由靜止開始自由下落，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道運(yùn)動?！?〕求小球在B、A兩點(diǎn)的動能之比；〔2〕通過計算判斷小球能否沿軌道運(yùn)動到C點(diǎn)。1．B【解析】根據(jù)動能定理得：，把帶入解得：，那么小球能夠到達(dá)最高點(diǎn)Q，且在最高點(diǎn)合力為零，即在Q點(diǎn)受到輕桿向上的支持力，故B正確，ACD錯誤?！久麕燑c(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵知道圓周運(yùn)動徑向的合力提供向心力，以及知道桿的作用力可以表現(xiàn)為支持力，也可以表現(xiàn)為拉力。3．C【解析】汽車通過凸圓弧形橋頂部時，由汽車的重力和橋面的支持力提供汽車的向心力，故A錯誤；汽車對橋面的壓力等于橋面對汽車的支持力，為作用力和反作用力，故B錯誤；根據(jù)牛頓第二定律可知，解得，即FN<mg，故C正確，D錯誤。4．C【解析】如下圖，當(dāng)列車對內(nèi)外軌均無壓力時，根據(jù)得，，故AB錯誤；根據(jù)平行四邊形定那么知，鐵軌對列車的支持力為，C正確，D錯誤。5．BC【解析】對任意一球研究，斜面的傾角為θ，受力分析，如下圖。由圖可知F合=mgtanθ=ma，a=gtanθ，那么θ不同，a不等；根據(jù)向心力公式有

mgtanθ=mω2R=，解得，v=ωR；球離地的高度為h=Rtanθ=，θ不等，R不等，h不等，由v=ωR，知R不等，那么v不等。由F=mgtanθ，知向心力不等，故AD錯誤，BC正確。【名師點(diǎn)睛】小球在砝碼的重力作用下，在光滑水平面上做勻速圓周運(yùn)動。顯然砝碼的重力等于物體的向心力，當(dāng)砝碼的重量變化，此時向心力與砝碼的重力不等，從而做離心運(yùn)動，導(dǎo)致半徑變化，向心力再次與砝碼的重力相等時，又做勻速圓周運(yùn)動，因此由半徑的變化可得出角速度、線速度的變化7．A【解析】在最高點(diǎn)，假設(shè)，那么，假設(shè)，那么，解得，A正確；從圖中可知當(dāng)時，即時，桿對小球的彈力為零，故當(dāng)時，桿對小球彈力方向向上，表現(xiàn)為支持力，故BC錯誤；假設(shè)，那么，解得，D錯誤。8．2.4rad/s≤ω≤3.2rad/s【解析】ω由0逐漸增大時，將出現(xiàn)兩個臨界值，當(dāng)繩BC恰好被拉直但無拉力時，小球受重力mg、繩AC的拉力F1設(shè)此時的角速度為ω1，由牛頓第二定律得mgtan30°=mlsin30°代入數(shù)據(jù)解得ω1=2.4rad/s當(dāng)繩AC恰好被拉直但無拉力時，小球受重力mg、繩BC的拉力F2，設(shè)此時的角速度為ω2。由牛頓第二定律得mgtan45°=mω22lsin30°代入數(shù)據(jù)解得ω2=3.2rad/s可見，要使兩繩始終被拉直，ω必須滿足條件2.4rad/s≤ω≤3.2rad/s運(yùn)動過程機(jī)械能守恒：②由①②式得：，高度h至少要2.5R〔2〕設(shè)從高度h2處開始下滑，過圓周最低點(diǎn)時速度為v2，游客受到的支持力最大是FN=7mg。最低點(diǎn)：③運(yùn)動過程機(jī)械能守恒：④由③④式得：，高度h不得超過3R10．D【解析】由題意知，F(xiàn)為夾子與物塊間的最大靜摩擦力，但在實(shí)際運(yùn)動過程中，夾子與物塊間的靜摩擦力沒有到達(dá)最大，故物塊向右勻速運(yùn)動時，繩中的張力等于Mg，A錯誤；小環(huán)碰到釘子時