2023年高考一輪復(fù)習(xí)精講精練必備

第7講函數(shù)與方程

一、知識梳理

1.函數(shù)的零點(diǎn)

(1)概念：一般地，如果函數(shù)y=/U)在實(shí)數(shù)a處的函數(shù)值等于零，即貝a)=0,則稱竺為函數(shù)

y=/(x)的零點(diǎn).

⑵函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)、對應(yīng)方程的根的關(guān)系：

有零

R--入

陶瑟=/&)而於一

公簪，?實(shí)數(shù)也J

2.函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)y=*x)在區(qū)間[。，切上的圖像是連續(xù)不斷的，并且式。)次公幺)(即在區(qū)間兩個端點(diǎn)處

的函數(shù)值異號)，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,份中至少有一個零點(diǎn)，即mxoG(a,。)，於o)=O.

二、考點(diǎn)和典型例題

1、函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷

【典例1-1](2022?天津紅橋?一模)函數(shù)/(x)=e'+2x-6的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

【答案】C

【詳解】

函數(shù).f(x)=e，+2x-6是R上的連續(xù)增函數(shù),

/(l)=e-4<0,/(2)=e2-2>0.

可得f?！?)<0,

所以函數(shù)/(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2).

故選：C

【典例1-2】(2021?山西?太原五中高三階段練習(xí)(文))利用二分法求方程log3X=3-x的近似解，可以取

的一個區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【詳解】

解：設(shè)/(x)=log3X-3+x,

???當(dāng)連續(xù)函數(shù)/(X)滿足/(a)?/(b)<0時(shí)，"X)在區(qū)間(。,切上有零點(diǎn)，

即方程log,x=3-x在區(qū)間(0向上有解，

又(2)=log32-l<0,f(3)=log,3-3+3=l>0,

故/(2)?/(3)<0,

故方程log,x=3-x在區(qū)間(2,3)上有解，

即利用二分法求方程log3x=3-x的近似解，可以取的一個區(qū)間是(2,3).

故選：C.

【典例1-3](2019?全國?高三專題練習(xí))若〃耳=丁+/-2》-2的一個正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法

逐次計(jì)算，數(shù)據(jù)如下表：

川廣2/(1.5)=0.625

/(1.25)=-0.984/(1.375)=-0.260

/(1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052

那么方程》3+*2-2*-2=0的一個近似根(精確到0.1)為()A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5

【答案】C

【詳解】

根據(jù)二分法，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，

由于/0.438)=0.165>0J(14)65)=-0.052<0

所以方程X3+f-2x-2=0的個近似根所在區(qū)間為(14065,1.438)

所以符合條件的解為L4

故選:C.

【典例1一4】(2022?天津?靜海一中高三階段練習(xí))已知函數(shù)y=/(x)是周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)

時(shí),〃x)=/-l,則函數(shù)尸(x)=/(x)—|lgX的零點(diǎn)個數(shù)是()

A.9B.10C.11D.18

【答案】B

【詳解】

F(x)=/(x)-|lgR零點(diǎn)個數(shù)就是y=/(x),y=|lgX圖象交點(diǎn)個數(shù)，

作出y=/(x),y=|igR圖象，如圖:

由圖可得有10個交點(diǎn)，

故尸(x)=/(x)-|lgH有10個零點(diǎn).

故選：B.

A.0B.2C.4D.6

【答案】B

【詳解】

令〃x)=e--ei---=0,得e*T_e1=—,

v7x-1x-1

g(x)=侖圖象關(guān)于(1,0)對稱，在(3,1),。,y)上遞減.

Zi(x)=ei—,令H(x)=/z(x+l)=e*—e-,，(—x)=e-—ev=—H(x),

所以"(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以〃(力圖象關(guān)于(1,0)對稱，

/i(l)=0,/1(力=。1-3在R上遞增，

所以人(力與g(x)有兩個交點(diǎn)，

兩個交點(diǎn)關(guān)于(1,0)對稱，所以函數(shù)f(x)=ei-ei-3的所有零點(diǎn)之和為2.

故選：B

2、圖像零點(diǎn)個數(shù)的判定

【典例2-1】（2022?北京?模擬預(yù)測）已知函數(shù)f（x）=cos2x+cosx,且xe[0,2?t],則/（x）的零點(diǎn)個數(shù)為

（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【詳解】

由cos2x+cosx=2cos2x+cosx-l=（cosx+l）（2cosx-l）=0

可得cosx=-l或COSX=J,又XE[0,2TI],則尤=兀，或工4,或%=決

233

則/（X）的零點(diǎn)個數(shù)為3

故選：C

【典例2-2】（2022.安徽?巢湖市第一中學(xué)高三期中（文））已知函數(shù)f則函數(shù)

Inx,x>0

g（x）=/[〃x）+2]+2的零點(diǎn)個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【詳解】

令f=/（x）+2,

當(dāng)XV-1時(shí)，/（犬）=工+，￡（-8,-2）且遞增，此時(shí)，￡（-8,0）,

X

當(dāng)-l<x<0時(shí)，/(x)=x+-e(-oo,-2)且遞減，此時(shí)，?(-<?,0),

x

當(dāng)0cxe4時(shí)，f(x)=lnxe(-oo,-2)且遞增，此時(shí)/?(-<?,0),

e"

當(dāng)時(shí)，f(x)=lnxe(—2,+oo)且遞增，止匕時(shí)，e(0,+8),

e-

所以，g(x)的零點(diǎn)等價(jià)于⑺與y=-2交點(diǎn)橫坐標(biāo)f對應(yīng)的X值，如下圖示:

由圖知：/⑺與y=-2有兩個交點(diǎn)，橫坐標(biāo)4=-1、0<r2<i:

當(dāng)§=一1,即〃x)=-3時(shí)，在X€(—T)、(7,0)、(0,J上各有一個解：當(dāng)即

-2</(x)v—1時(shí)，在xe(1,+??)有.個解.

綜上，g(x)的零點(diǎn)共有4個.

故選：B

【典例2-3】(2016?天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高三學(xué)業(yè)考試)函數(shù)/(x)=2〃a+4.若在[-2』內(nèi)恰有一

個零點(diǎn)，則加的取值范圍是()

A.[-1,2]B.C.(―oo,—2]U[L+°°)D.[—2,1]

【答案】C

【詳解】

解：當(dāng)”=0時(shí)，函數(shù)為常函數(shù)，沒有零點(diǎn)，不滿足題意，

所以/(x)=2〃zr+4為一次函數(shù)，

因?yàn)?(%)=2mt+4在[-2,1]內(nèi)恰有一個零點(diǎn)，

所以/(-2)〃1)40,即(5+4)(21+4)40,解得/4-2或小27.

故”?的取值范圍是(9，―2]U[Lk).

故選：C

當(dāng)-[<攵■時(shí)，有4個零點(diǎn).

當(dāng)丁=米+;經(jīng)過點(diǎn)（6,0）時(shí)，k=-f此時(shí)在（T,6）上只有3個零點(diǎn).

318

當(dāng)1時(shí)，有4個零點(diǎn).

1518

函數(shù)（）（）-丘在（，）上有個或個零點(diǎn).

所以當(dāng)無時(shí)，gx=/x-g-1645

\13loJ

故選：D

【典例2-5】（2022?寧夏銀川?一模（理））設(shè)函數(shù)〃x）=sin"+￡|w>0）,己知/（x）在上單

調(diào)遞增，則〃x）在（0,2乃）上的零點(diǎn)最多有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】A

【詳解】

」1c,1n1兀,...,rt2K2k兀11n2kn,?

由---\-2k7vcox-i——W——卜2k兀，kGZ,得-----1-------WxW------1-------,kwZ,

2623。。3。。

Inn

-------W-----

可得-34x4在.若/⑺在上單詞遞增，則3<y6

取&=0,

。。'’

3364-7-i>—n

[3co~4

解得.若％￡（0,2萬），則s+工工,23r+工

設(shè)I=（OXH,貝。1￡一,2,（071H,因?yàn)?（071H---€

6\66）6

所以函數(shù)…皿在信2初r+2）上的零點(diǎn)最多有2個.

所以“X）在（0,2句上的零點(diǎn)最多有2個.

故選：A

3、圖像零點(diǎn)的綜合應(yīng)用

【典例3-1】（2022?安徽?模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)〃x）=[若g（x）=/（x）-a有4個零

-X—2x,xS0

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（0,1]C.[0,1]D.[1,同

【答案】A

【詳解】

解：令g(x)=/(x)-4=0,得〃x)=a,

在同一坐標(biāo)系中作出y=/(x),y=a的圖象，如圖所示:

由圖象知：若g(x)=f(x)-a有4個零點(diǎn),

則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(0,1)，

故選：A

【典例3-2】(2022?黑龍江?哈師大附中三模(文))已知有且只有一個實(shí)數(shù)無滿足/—如7=(),則實(shí)數(shù)〃

的取值范圍是()

A.(-w,2)B.F,――—C.(-oo,2]D.—

【答案】D

【詳解】

x=0顯然不是x3-ov-1=0的根.所以xw0

因此只有一個實(shí)數(shù)x滿足*3-改_1=0等價(jià)于方程。=》2一2只有一個實(shí)數(shù)根.

X

令/(x)=%2F(X)=2X+4,令/(%0)=2工0+[=()="0=-^7,故可知：

xx%o-y/2

當(dāng)8,—-y=]H'J',f'(x)<0,此時(shí)/(x)單調(diào)遞減

當(dāng)xeF=,0時(shí)，/(x)>(),此時(shí)Ax)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，f'(x)>0，此時(shí)，(x)單調(diào)遞增,

且當(dāng)杵100時(shí)，/(x)=K)ooo+上，4100時(shí)，/?=i(xx)0--L,當(dāng)產(chǎn)一工時(shí)，/?=-1—+100,當(dāng)

1UU100]()01CXJOU

戶士時(shí)，f(X尸^^7°°，故/(X)圖像如圖:

1()01()(X)0

【典例3-3】(2022?河南安陽?模擬預(yù)測(理))已知函數(shù)小)=加小工&，>。且的)，若函數(shù)

y=/(『(x))-a的零點(diǎn)有5個，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.a=2B.In2<avl或1<。<2

C.0<〃Wln2或lvav2或。=2D.In24avl或。=2

【答案】D

【詳解】

解：依題意函數(shù)y=/(/(x))-。的零點(diǎn)即為方程/?(〃x))=a的根，

①當(dāng)0<〃<1時(shí)函數(shù)的函數(shù)圖象如下所示:

所以有兩個根々，t2(0<z,<l,f2>l),

④當(dāng)1<。<2時(shí)函數(shù)/(x)的函數(shù)圖象如卜所示:

4#'

-1

-2

所以/(，)=4有三個根％，G，G，(0<4<1,々>1,z3<0),

而4=f(x),芍=/卜)，？3=/(可分別對應(yīng)2、2、0個根，即共四個根，

所以不滿足題意；

綜上可得實(shí)數(shù)。的取值范圍為ln24a<l或a=2：

故選：D

【典例3-4】(2022?福建三明?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(》)=加-axlnx-e'有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍為()

A.(°，()B.(0,e)C.15+8)D.(e,+a>)

【答案】D

【詳解】

函數(shù)/(力=以2一?皿了一/有.兩個零點(diǎn)，即-xlnx)-e*=0有兩根，X.x2-xlnx=x(x-lnx)>0,

故可轉(zhuǎn)換為a=-^旦一有兩根，令g(x)=r~^----則

V-xlnx''x2-x\nx

，/、ex(x2-x\nx-2x+\nx+i}er(x-l)fx-l-lnx),、y-1,、

W=—_7T------3------L='八_令Mx)=x—l-lnx,則/(x)=U,故可力

(尤-xlnx)(x-xlnxjx

在(o,l)上單調(diào)遞減，在(I,”)上單調(diào)遞增，<A(x)>A(l)=J當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號成立，故在(o,l)I-.

g<x)<0,g(x)單調(diào)遞減；在(1,+°0)上g〈x)>0,g(x)單調(diào)遞增，所以gmin(x)=g6=e'又當(dāng)X—0*

與X-+8