1/1彈性力學(xué)-第三章-應(yīng)變狀態(tài)分析第三章應(yīng)變狀態(tài)分析知識點

位移與變形

正應(yīng)變

純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動位移

應(yīng)變分量坐標(biāo)轉(zhuǎn)軸公式主應(yīng)變齊次方程組

體積應(yīng)變

變形協(xié)調(diào)方程

變形協(xié)調(diào)方程證明變形與應(yīng)變分量

切應(yīng)變

幾何方程與應(yīng)變張量

位移增量的分解

應(yīng)變張量

應(yīng)變狀態(tài)特征方程

變形協(xié)調(diào)的物理意義

變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義多連域的變形協(xié)調(diào)

一、內(nèi)容介紹

本章討論彈性體的變形，物體的變形是通過應(yīng)變分量確定的。因此，首先確定位移與應(yīng)變分量的基本關(guān)系－幾何方程。由于應(yīng)變分量和剛體轉(zhuǎn)動都是通過位移導(dǎo)數(shù)表達(dá)的，因此必須確定剛體轉(zhuǎn)動位移與純變形位移的關(guān)系，才能完全確定一點的變形。

對于一點的應(yīng)變分量，在不同坐標(biāo)系中是不同的。因此，應(yīng)變狀態(tài)分析主要是討論不同坐標(biāo)軸的應(yīng)變分量變化關(guān)系。這個關(guān)系就是應(yīng)變分量的轉(zhuǎn)軸公式；根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，可以確定一點的主應(yīng)變和應(yīng)變主軸等。當(dāng)然，由于應(yīng)變分量滿足二階張量變化規(guī)律，因此具體求解可以參考應(yīng)力狀態(tài)分析。

應(yīng)該注意的問題是變形協(xié)調(diào)條件，就是位移的單值連續(xù)性質(zhì)。假如位移函數(shù)不是基本未知量，由于彈性力學(xué)是從微分單元體入手討論的，因此變形后的微分單元體也必須滿足連續(xù)性條件。這在數(shù)學(xué)上，就是應(yīng)變分量必須滿足變形協(xié)調(diào)方程。在彈性體的位移邊界，則必須滿足位移邊界條件。

二、重點

1、應(yīng)變狀態(tài)的定義：正應(yīng)變與切應(yīng)變；應(yīng)變分量與應(yīng)變張量；

2、幾

何方程與剛體轉(zhuǎn)動；3、應(yīng)變狀態(tài)分析和應(yīng)變分量轉(zhuǎn)軸公式；4、應(yīng)變

狀態(tài)特征方程和應(yīng)變不變量；主應(yīng)變與應(yīng)變主軸；5、變形協(xié)調(diào)方程

與位移邊界條件。

§3.1位移分量與應(yīng)變分量幾何方程

學(xué)習(xí)思路:

由于載荷的作用或者溫度的變化，物體內(nèi)各點在空間的位置將發(fā)生變化，就是產(chǎn)生位移。這一移動過程，彈性體將同時發(fā)生兩種可能的變化：剛體位移和變形位移。變形位移是與彈性體的應(yīng)力有著直接的關(guān)系。

彈性體的變形通過微分六面體單元描述，微分單元體的變形分為兩個部分，一是微分單元體棱邊的伸長和縮短；二是棱邊之間夾角的變化，分別使用正應(yīng)變和切應(yīng)變表示這兩種變形的。

由于是小變形問題，單元變形可以投影于坐標(biāo)平面分析。根據(jù)正應(yīng)變和切應(yīng)變定義，不難得到應(yīng)變與位移的關(guān)系－幾何方程，或者稱為柯西方程。

幾何方程給出的應(yīng)變通常稱為工程應(yīng)變。幾何方程可以表示為張量形式，應(yīng)該注意的是，正應(yīng)變與對應(yīng)應(yīng)變張量分量相等；而切應(yīng)變等于對應(yīng)的應(yīng)變張量分量的兩倍。

幾何方程給出了位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系。

學(xué)習(xí)要點：

1、位移函數(shù)；

2、變形與應(yīng)變分量；

3、正應(yīng)變表達(dá)式；

4、切應(yīng)

變分量；5、幾何方程與應(yīng)變張量。

1、位移函數(shù)

由于載荷作用或者溫度變化等外界因素等影響，物體內(nèi)各點在空間的位置將發(fā)生變化，即產(chǎn)生位移。這個移動過程，彈性體將可能同時發(fā)生兩種位移變化。

第一種位移是位置的改變，但是物體內(nèi)部各個點仍然保持初始狀態(tài)的相對位置不變，這種位移是物體在空間做剛體運動引起的，因此稱為剛體位移。

第二種位移是彈性體形狀的變化，位移發(fā)生時不僅改變物體的絕對位置，而且改變了物體內(nèi)部各個點的相對位置，這是物體形狀變化引起的位移，稱為變形。

一般來說，剛體位移和變形是同時出現(xiàn)的。當(dāng)然，對于彈性力學(xué)，主要是研究變形，因為變形和彈性體的應(yīng)力有著直接的關(guān)系。

根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，彈性體在變形前和變形后仍保持為連續(xù)體。那么彈性體中某點在變形過程中由M（x，y，z）移動至M'（x'，y'，z'），這一過程也將是連

續(xù)的,如圖所示。在數(shù)學(xué)上，x'，y'，z'必為x，y，z的單值連續(xù)函數(shù)。設(shè)MM'=S為位移矢量，其三個分量u，v，w為位移分量。則

u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z），

v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）

w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）

顯然，位移分量u，v，w也是x，y，z的單值連續(xù)函數(shù)。以后的分析將進(jìn)一步假定位移函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。

2、變形與應(yīng)變分量

為進(jìn)一步研究彈性體的變形情況，假設(shè)從彈性體中分割出一個微分六面體單元，其六個面分別與三個坐標(biāo)軸垂直。

對于微分單元體的變形，將分為兩個部分討論。一是微分單元體棱邊的伸長和縮短；二是棱邊之間夾角的變化。彈性力學(xué)分別使用正應(yīng)變和切應(yīng)變表示這兩種變形的。

對于微分平行六面體單元，設(shè)其變形前與x，y，z坐標(biāo)軸平行的棱邊分別為MA，MB，MC，變形后分別變?yōu)镸'A'，M'B'，M'C'。

假設(shè)分別用εx,εy,εz表示x，y，z軸方向棱邊的相對伸長度，即正應(yīng)變；分別用γxy,γyz,γzx表示x和y，y和z，z和x軸之間的夾角變化，即切應(yīng)變。則

對于小變形問題，為了簡化分析，將微分單元體分別投影到Oxy，Oyz，Ozx平面來討論。

顯然，單元體變形前各棱邊是與坐標(biāo)面平行的，變形后棱邊將有相應(yīng)的轉(zhuǎn)動，但我們討論的是小變形問題，這種轉(zhuǎn)動所帶來的影響較小。特別是物體位移中不影響變形的計算，假設(shè)各點的位移僅為自身的大小和形狀的變化所確定，則這種微分線段的轉(zhuǎn)動的誤差是十分微小的，不會導(dǎo)致微分單元體的變形有明顯的變化。

3、正應(yīng)變表達(dá)式

首先討論Oxy面上投影的變形。

設(shè)ma，mb分別為MA，MB的投影，m'a'，m'b'分別為M'A'，M'B'，即變形后的MA，MB的投影。

微分單元體的棱邊長為dx，dy，dz，M點的坐標(biāo)為（x，y，z），u（x，y，z），v(x,y,z)分別表示M點x，y方向的位移分量。

則A點的位移為u(x+dx，y，z），v(x+dx，y，z）,B點的位移為u(x，y+dy，z），v(x，y+dy，z）。按泰勒級數(shù)將A，B兩點的位移展開，并且略去二階以上的小量，則A，B點的位移分別為

因為

所以

同理可得

由此可以得到彈性體內(nèi)任意一點微分線段的相對伸長度，即正應(yīng)變。

顯然微分線段伸長，則正應(yīng)變εx,εy,εz大于零，反之則小于零。

4、切應(yīng)變分量

以下討論切應(yīng)變表達(dá)關(guān)系。

假設(shè)βyx為與x軸平行的微分線段ma向y軸轉(zhuǎn)過的角度，βxy為與y軸平行的mb向x軸轉(zhuǎn)過的角度。則切應(yīng)變

因為

上式的推導(dǎo)中，利用了小變形條件下位移的導(dǎo)數(shù)是高階小量的結(jié)論。同理可得

βyx和βxy可為正或為負(fù)，其正負(fù)號的幾何意義為：βyx大于零，表示位移v隨坐標(biāo)x而增加，即x方向的微分線段正向向y軸旋轉(zhuǎn)。將上述兩式代入切應(yīng)變表達(dá)式，則

同理可得

切應(yīng)變分量大于零，表示微分線段的夾角縮小，反之則增大。

5、幾何方程與應(yīng)變張量

綜上所述，應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系為

上述公式稱為幾何方程，又稱柯西方程。

柯西方程給出了位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系。如果已知位移，由位移函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)即可求得應(yīng)變；但是如果已知應(yīng)變，由于六個應(yīng)變分量對應(yīng)三個位移分量，則其求解將相對復(fù)雜。這個問題以后作專門討論。

幾何方程給出的應(yīng)變通常稱為工程應(yīng)變。

如果使用張量符號，則幾何方程可以表達(dá)為

上式表明應(yīng)變分量εij將滿足二階張量的坐標(biāo)變換關(guān)系，應(yīng)變張量分量與工程應(yīng)變分量的關(guān)系可表示為

§3.2純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動位移

學(xué)習(xí)思路:

應(yīng)變分量通過位移的偏導(dǎo)數(shù)描述了一點的變形，對微分平行六面體單元棱邊的伸長以及棱邊之間夾角的改變做出定義。但是這還不能完全描述彈性體的變形，原因是沒有考慮微分單元體的剛體轉(zhuǎn)動。

通過分析彈性體內(nèi)無限鄰近兩點的位置變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動位移與純變形位移之間的關(guān)系。剛體轉(zhuǎn)動通過轉(zhuǎn)動分量描述。

剛性轉(zhuǎn)動位移的物理意義：如果彈性體內(nèi)某點沒有變形，則無限鄰近它的任意一點的位移由兩部分組成，平動位移和轉(zhuǎn)動位移。如果發(fā)生變形，位移中還包括純變形位移。

學(xué)習(xí)要點：

1、剛體轉(zhuǎn)動位移；

2、轉(zhuǎn)動位移分量；

3、純變形位移與轉(zhuǎn)動位移；

4、位移的分解。

1、剛體轉(zhuǎn)動位移

應(yīng)變可以描述一點的變形，即對微分平行六面體單元棱邊的伸長以及棱邊之間夾角的改變做出定義。但是這還不足以完全描述彈性體的變形，原因是應(yīng)變分析僅僅討論了棱邊伸長和夾角變化，而沒有考慮微分單元體位置的改變，即單元體的剛體轉(zhuǎn)動。

通過分析彈性體內(nèi)無限鄰近兩點的位置變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動位移與純變形位移之間的關(guān)系。

設(shè)P點無限鄰近O點，P點及其附近區(qū)域繞O作剛性轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)過微小角度。

設(shè)轉(zhuǎn)動矢量為ω，OP之間的距離矢量為，如圖所示。

則

引入拉普拉斯算符矢量

2、轉(zhuǎn)動位移分量

設(shè)P點的位移矢量為U，有

U=ui+uj+uk

由于位移矢量可以表示為U=ω×ρ,

所以

即

其中

ωx,ωy,ωz為轉(zhuǎn)動分量，是坐標(biāo)的函數(shù)，表示了彈性體內(nèi)微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動。

3、純變形位移與轉(zhuǎn)動位移

設(shè)M點的坐標(biāo)為（x，y，z），位移（u，v，w）。與M點鄰近的N點，坐標(biāo)為（x+dx，y+dy，z+dz），位移為（u+du，v+dv，w+dw）。

則MN兩點的相對位移為（du，dv，dw）。因為位移為坐標(biāo)的函數(shù)，所以

同理可得

以上位移增量公式中，前三項為產(chǎn)生變形的純變形位移，后兩項是某點鄰近區(qū)域的材料繞該點像剛體一樣轉(zhuǎn)動的剛性轉(zhuǎn)動位移。

剛性轉(zhuǎn)動位移的物理意義為，如果彈性體中某點及鄰近區(qū)域沒有變形，則與某點無限鄰近這一點的位移，根據(jù)剛體動力學(xué)可知，是由兩部分組成。分別是隨這點的平動位移和繞這點的轉(zhuǎn)動位移。對于彈性體中某一點，一般還要發(fā)生變形，因此位移中還包括純變形位移。

4、位移的分解

總得來講，與M點無限鄰近的N點的位移由三部分組成的：

1、隨同M點作平動位移。

2、繞M點作剛性轉(zhuǎn)動在N點產(chǎn)生的位移。

3、由于M點及其鄰近區(qū)域的變形在N點引起的位移。

轉(zhuǎn)動分量ωx,ωy，ωz對于微分單元體，描述的是剛性轉(zhuǎn)動，但其對于整個彈性體來講，仍屬于變形的一部分。三個轉(zhuǎn)動分量和六個應(yīng)變分量合在一起，不僅確定了微分單元體形狀的變化，而且確定了方位的變化。

位移增量公式如果使用矩陣形式表示，可得

顯然，位移的增量是由兩部分組成的，一部分是轉(zhuǎn)動分量引起的剛體轉(zhuǎn)動位移，另一部分是應(yīng)變分量引起的變形位移增量。

§3.3應(yīng)變的坐標(biāo)變換與應(yīng)變張量

學(xué)習(xí)思路:

與應(yīng)力狀態(tài)分析相同，一點的應(yīng)變分量在不同坐標(biāo)系下的描述是不相同的，因此討論應(yīng)變狀態(tài)，就必須建立坐標(biāo)變換，就是坐標(biāo)轉(zhuǎn)動時的應(yīng)變分量變換關(guān)系。

本節(jié)通過新坐標(biāo)系與舊坐標(biāo)系之間的位移變換關(guān)系式，根據(jù)幾何方程，通過復(fù)合函數(shù)的微分，就可以得到應(yīng)變分量的轉(zhuǎn)軸公式。

轉(zhuǎn)軸公式表明應(yīng)變張量也是二階對稱張量。

根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，一點的六個獨立的應(yīng)變分量一旦確定，則任意坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量均可確定，即應(yīng)變狀態(tài)完全確定。

應(yīng)變狀態(tài)分析表明：坐標(biāo)變換后各個應(yīng)變分量均發(fā)生改變，但是作為一個整體，一點的應(yīng)變