PAGEPAGE9章末檢測(五)函數(shù)應用(時間：120分鐘滿分：150分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．利用二分法求方程log3x＝5－x的近似解，可以取一個區(qū)間()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)解析：選D設函數(shù)f(x)＝log3x－(5－x)，因為f(3)＝1－2＝－1<0，f(4)＝log34－1>0，所以f(3)·f(4)<0，由零點存在定理可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，4)上至少存在一個零點，故求方程log3x＝5－x的近似解可取區(qū)間(3，4)．故選D.2．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))－x2＋1的零點個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C令f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))－x2＋1＝0，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x2－1，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)，即y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))與y＝x2－1的交點個數(shù)，如圖所示，由圖可知有兩個交點，故函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))－x2＋1有兩個零點．3．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的部分對應值如下表：x－3－2－101234f(x)6m－4－6－6－4n6不求a，b，c的值，判斷方程ax2＋bx＋c＝0的兩根所在區(qū)間是()A．(－3，－1)和(2，4) B．(－3，－1)和(－1，1)C．(－1，1)和(1，2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)解析：選A因為f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)內(nèi)必有根．又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2，4)內(nèi)必有根．4．已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù)，若方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一個解，則實數(shù)λ的值是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,8)C．－eq\f(7,8) D．－eq\f(3,8)解析：選C∵f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，∴由f(x)為奇函數(shù)得f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，∴由題可知方程2x2＋1＝x－λ有唯一解，即2x2－x＋1＝－λ有唯一解．又2x2－x＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(7,8)，∴可知－λ＝eq\f(7,8)，∴λ＝－eq\f(7,8).5．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x>a，,x2＋5x＋2，x≤a.))若方程f(x)－2x＝0恰有三個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[－1，1) B．[－1，2)C．[－2，2) D．[0，2]解析：選B令g(x)＝f(x)－2x，則由題意可得函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋2，x>a，,x2＋3x＋2，x≤a))恰有三個不同的零點．如圖，結合函數(shù)y＝－x＋2與y＝x2＋3x＋2的圖象可知－1≤a<2.故選B.6．一位設計師在邊長為3的正方形ABCD中設計圖案，他分別以A，B，C，D為圓心，beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<b≤\f(3,2)))為半徑畫圓，形成了如圖所示的圖形，則圖形中實線部分總長度的最小值為()A．π B．2πC．3π D．4π解析：選C由題意知實線部分的總長度l＝4(3－2b)＋2πb＝(2π－8)b＋12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<b≤\f(3,2)))，l是關于b的一次函數(shù)，因為2π－8<0，所以l＝(2π－8)b＋12在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))上單調(diào)遞減，因此當b取eq\f(3,2)時，l取得最小值，所以lmin＝(2π－8)×eq\f(3,2)＋12＝3π.7．已知函數(shù)f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零點，則實數(shù)a的值為()A．1 B．－1C．0 D．－2解析：選B設函數(shù)g(x)＝2|x|＋x2，因為g(－x)＝g(x)，所以函數(shù)g(x)為偶函數(shù)．因為g(x)＝2|x|＋x2在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，0)上單調(diào)遞減，所以g(x)≥g(0)＝1.因為f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零點，所以－a＝1，即a＝－1.8．設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－[x]，x≥0，,f（x＋1），x<0，))其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.若直線y＝kx＋k(k>0)與函數(shù)y＝f(x)的圖象恰有三個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))解析：選D如圖，作出函數(shù)f(x)的圖象和y＝kx＋k的大致圖象，由題意，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋k<1，,3k＋k≥1，))解得eq\f(1,4)≤k<eq\f(1,3).故選D.二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)9．函數(shù)f(x)＝x3＋3x－2的一個正零點所在的區(qū)間不可能是()A．(3，4) B．(2，3)C．(1，2) D．(0，1)解析：選ABC因為f(x)＝x3＋3x－2在R上是增函數(shù)，所以f(x)至多有一個零點．又因為f(0)＝－2<0，f(1)＝2>0，所以f(x)有且僅有一個零點且零點在(0，1)內(nèi)，所以f(x)的正零點不可能在(3，4)，(2，3)，(1，2)內(nèi)．故選A、B、C.10．已知函數(shù)f(x)＝2x－logeq\s\do9(\f(1,2))x，實數(shù)a，b，c滿足a<b<c，且f(a)f(b)f(c)<0，若實數(shù)x0是函數(shù)f(x)的一個零點，則下列結論可能成立的是()A．x0>c B．x0<cC．x0>a D．x0<a解析：選ABC由于函數(shù)f(x)＝2x－logeq\s\do9(\f(1,2))x為區(qū)間(0，＋∞)上的增函數(shù)，且a<b<c，f(a)f(b)f(c)<0，則有如下兩種情況：①f(a)<f(b)<f(c)<0；②f(a)<0<f(b)<f(c)．又x0是函數(shù)f(x)的一個零點，即f(x0)＝0，故當f(a)<f(b)<f(c)<0＝f(x0)時，由單調(diào)性，可得x0>c>b>a，當f(a)<0＝f(x0)<f(b)<f(c)時，可得c>b>x0>a.故選A、B、C.11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2a，x<0，,x2－ax，x≥0.))若關于x的方程f(f(x))＝0有8個不同的實根，則實數(shù)a的值可能為()A．－6 B．8C．9 D．12解析：選CD當a≤0時，f(x)＝0僅有x＝0一根，故f(f(x))＝0有8個不同的實根不可能成立．當a>0時，畫出f(x)的大致圖象如圖所示，當f(f(x))＝0時，f1(x)＝－2a，f2(x)＝0，f3(x)＝a.又f(f(x))＝0有8個不同的實根，故結合圖象可知f1(x)＝－2a有3個不同的實根，f2(x)＝0有3個不同的實根，f3(x)＝a有2個不同的實根．由f1(x)＝－2a有3個不同的實根，且y＝x2－ax＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(a2,4)，可得－2a>－eq\f(a2,4)，解得a>8.由f3(x)＝a有2個不同的實根，可得a<2a，解得a>0.綜上可知，a>8.故選C、D.12．若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f(x－1)＝f(x＋1)，且當x∈[0，1]時，f(x)＝2x－1，若函數(shù)g(x)＝f(x)－loga(x＋2)(a>1)在區(qū)間(－1，3)恰有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值可以是()A．1 B．3C．4 D．5解析：選CD由題意，函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x∈[0，1]時，f(x)＝2x－1，則當x∈[－1，0]時，－x∈[0，1]，函數(shù)f(x)＝f(－x)＝2－x－1，又對任意x∈R，都有f(x－1)＝f(x＋1)，則f(x)＝f(x＋2)，又函數(shù)g(x)＝f(x)－loga(x＋2)(a>1)在區(qū)間(－1，3)恰有3個不同的零點，即函數(shù)y＝f(x)與y＝loga(x＋2)的圖象在區(qū)間(－1，3)上有3個不同的交點，又由f(1)＝f(3)＝1，則滿足loga(1＋2)<1，且loga(3＋2)≥1，解得3<a≤5，即實數(shù)a的取值可以是4，5.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知函數(shù)f(x)＝e－x－2x－5的零點位于區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)，則整數(shù)m的值為________．解析：因為f(x)＝e－x－2x－5為減函數(shù)，f(－2)＝e2－1>0，f(－1)＝e－3<0，所以f(x)＝e－x－2x－5存在唯一的零點x0，且x0∈(－2，－1)，所以m＝－2.答案：－214．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，0≤x≤1，,2x2－8x＋7，x>1，))則函數(shù)y＝3[f(x)]2－f(x)的零點個數(shù)為________．解析：函數(shù)y＝3[f(x)]2－f(x)的零點即方程3[f(x)]2－f(x)＝0的根，即f(x)＝0或f(x)＝eq\f(1,3)的根．畫出函數(shù)f(x)的圖象和直線y＝eq\f(1,3)，如圖所示，由圖象可知方程f(x)＝0有5個根，方程f(x)＝eq\f(1,3)也有5個根，所以函數(shù)y＝3[f(x)]2－f(x)的零點有10個．答案：1015．若關于x的方程eq\f(|x|,x－2)＝kx有三個不等實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是________．解析：由題意可知k≠0，∵eq\f(|x|,x－2)＝kx，∴kx2－2kx＝|x|.當x≥0時，kx2－2kx＝x，解得x＝0或x＝eq\f(2k＋1,k)，∴eq\f(2k＋1,k)>0，∴k>0或k<－eq\f(1,2)；當x<0時，kx2－2kx＝－x，解得x＝0(舍去)或x＝eq\f(2k－1,k)，∴eq\f(2k－1,k)<0，∴0<k<eq\f(1,2).綜上，可知實數(shù)k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))16．李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%.①當x＝10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為________．解析：(1)當x＝10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付(60＋80)－10＝130(元)．(2)設顧客一次購買水果的促銷前總價為y元，當y<120元時，李明得到的金額為y×80%，符合要求；當y≥120元時，有(y－x)×80%≥y×70%恒成立，即8(y－x)≥7y，x≤eq\f(y,8)，即x≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,8)))eq\s\do7(min)＝15(元)．所以x的最大值為15.答案：①130②15四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－2，x∈[1，＋∞），,x2－2x，x∈（－∞，1），))求函數(shù)g(x)＝f(x)－eq\f(1,4)的零點．解：求函數(shù)g(x)＝f(x)－eq\f(1,4)的零點，即求方程f(x)－eq\f(1,4)＝0的根．當x≥1時，由2x－2－eq\f(1,4)＝0得x＝eq\f(9,8)；當x<1時，由x2－2x－eq\f(1,4)＝0得x＝eq\f(2＋\r(5),2)(舍去)或x＝eq\f(2－\r(5),2).∴函數(shù)g(x)＝f(x)－eq\f(1,4)的零點是eq\f(9,8)和eq\f(2－\r(5),2).18．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝2|x－1|－x＋1.(1)請畫出函數(shù)f(x)的圖象；(2)根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象回答下列問題：①求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；②求函數(shù)f(x)的值域；③求關于x的方程f(x)＝2在區(qū)間[0，2]內(nèi)解的個數(shù)．解：(1)當x－1≥0，即x≥1時，f(x)＝2(x－1)－x＋1＝x－1；當x－1<0，即x<1時，f(x)＝2(1－x)－x＋1＝3－3x.f(x)的圖象如圖所示．(2)①函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，＋∞)；函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1]．②函數(shù)f(x)的值域為[0，＋∞)．③方程f(x)＝2在區(qū)間[0，2]內(nèi)解的個數(shù)為1.19．(本小題滿分12分)某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當銷售利潤不超過10萬元時，按銷售利潤的16%進行獎勵；當銷售利潤超過10萬元時，若超出A萬元，則超出部分按2log5(A＋1)進行獎勵．記獎金為y(單位：萬元)，銷售利潤為x(單位：萬元)．(1)寫出該公司激勵銷售人員的獎勵方案的函數(shù)模型；(2)如果業(yè)務員老張獲得5.6萬元的獎金，那么他的銷售利潤是多少萬元？解：(1)由題意得y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.16x，0＜x≤10，,1.6＋2log5（x－9），x＞10.))(2)由x∈(0，10]時，0.16x≤1.6，而y＝5.6，可知x＞10.∴1.6＋2log5(x－9)＝5.6，解得x＝34(萬元)．∴老張的銷售利潤是34萬元．20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0，證明a＞0，并利用二分法證明方程f(x)＝0在區(qū)間[0，1]內(nèi)有兩個實根．證明：∵f(1)＞0，∴f(1)＝3a＋2b＋c＞0，即3(a＋b＋c)－b－2c＞0.∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，－b－2c＞0，∴－b－c>c，即a>c.∵f(0)＞0，∴f(0)＝c>0，∴a>0.取區(qū)間[0，1]的中點eq\f(1,2)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,4)a＋b＋c＝eq\f(3,4)a＋(－a)＝－eq\f(1,4)a＜0.∵f(0)＞0，f(1)＞0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上各有一個零點．又f(x)為二次函數(shù)，最多有兩個零點，∴f(x)＝0在[0，1]內(nèi)有兩個實根．21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1.(1)當函數(shù)f(x)有兩個零點時，求m的取值范圍；(2)當函數(shù)f(x)有兩個零點，且其中一個大于1，另一個小于1時，求m的取值范圍．解：(1)因為函數(shù)f(x)有兩個零點，所以方程f(x)＝0有兩個不相等的實數(shù)根，所以2(m＋1)≠0，Δ＝16m2－4×2(m＋1)(2m－1)>0，解得m<1且m≠－1.故m的取值范圍為{m|m<1且m≠－1}．(2)當f(x)有兩個零點，且其中一個大于1，另一個小于1時，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（m＋1）>0，,f（1）<0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（m＋1）<0，,f（1）>0，))解得－1<m<－eq\f(1,8)，故m的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<m<－\f(1,8))))).22．(本小題滿分12分)改革開放40年，我國衛(wèi)生事業(yè)取得巨大成就，衛(wèi)生總費用增長了數(shù)十倍．衛(wèi)生總費用