關(guān)于正方形的判定第1頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

你覺(jué)得什么樣的四邊形是正方形呢?(判斷一個(gè)四邊形是正方形有哪些方法？）第2頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四平行四邊形矩形菱形正方形正方形、菱形、矩形、平行四邊形四者之間有什么關(guān)系？第3頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角1、正方形菱形2、一內(nèi)角是直角矩形3、一組鄰邊相等正方形正方形的判定方法：(可從平行四邊形、矩形、菱形為基礎(chǔ)）對(duì)角線(xiàn)相等對(duì)角線(xiàn)互相垂直第4頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5種判定方法三個(gè)角是直角四條邊相等一個(gè)角是直角或?qū)蔷€(xiàn)相等一組鄰邊相等或?qū)蔷€(xiàn)垂直一組鄰邊相等或?qū)蔷€(xiàn)垂直一個(gè)角是直角或?qū)蔷€(xiàn)相等一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié)第5頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四正方形的判定方法1：定義:一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形求證:四邊形ABCD是正方形.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠A=900,又∵AB=BC,∴四邊形ABCD是正方形.已知:四邊形ABCD是平行四邊形,∠A=900.AB=BCABCD∴四邊形ABCD是矩形.第6頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四正方形的判定方法2：有一個(gè)組鄰邊相等的矩形是正方形求證:四邊形ABCD是正方形.證明:∵四邊形ABCD是矩形,又∵AB=BC,∴AB=BC=CD=AD∴四邊形ABCD是正方形.已知:四邊形ABCD是矩形,AB=BC.ABCD∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC,AB=CD.第7頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四正方形的判定方法3有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.求證:四邊形ABCD是正方形.分析:要證明四邊形ABCD是正方形,可轉(zhuǎn)化為證明有一組鄰邊相等的矩形即可.證明:∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.∴∠A=∠B=∠C=900.∴四邊形ABCD是矩形.∵四邊形ABCD是菱形,∠A=900,∵AB=BC,∴四邊形ABCD是正方形.已知:四邊形ABCD是菱形,∠A=900.ABCD第8頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形.求證:四邊形ABCD是正方形.證明:∴∠ABC=900,四邊形ABCD是平行四邊形.∵AC⊥BD,∴四邊形ABCD是菱形.∵∠ABC=900.∵四邊形ABCD是矩形,∴四邊形ABCD是正方形.已知:四邊形ABCD是矩形,且AC⊥BD.ABCDO正方形的判定方法4第9頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是正方形.求證:四邊形ABCD是正方形.證明:∴AB=BC,四邊形ABCD是平行四邊形.∵AC=BD,∴四邊形ABCD是矩形.∵AB=BC,∵四邊形ABCD是菱形,∴四邊形ABCD是正方形.已知:四邊形ABCD是菱形,且對(duì)角線(xiàn)AC=BD.ABCDO正方形的判定方法5第10頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四歸納：正方形的5種判定方法2、有一個(gè)組鄰邊相等的矩形是正方形3、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.4、對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形.5、對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是正方形.1、定義:一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形第11頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四√√√×(1)對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形是正方形（）(2)如果一個(gè)菱形的對(duì)角線(xiàn)相等，那么它一定是正方形（）(3)如果一個(gè)矩形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，那么它一定是正方形（）(4)四條邊相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形（）(5)四個(gè)角都相等的四邊形是正方形()(6)四條邊都相等的四邊形是正方形()練習(xí)1判斷題:××第12頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1、下列命題正確的是（）

A、四個(gè)角都相等的四邊形是正方形

B、四條邊都相等的四邊形是正方形

C、對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是正方形

D、對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形D例1:第13頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四練習(xí)2．四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形一定是（）A、正方形B、菱形C、矩形D、平行四邊形

練習(xí)

3．在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)能判定這個(gè)四邊形是正方形的是：（）

A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD

B．AD∥BC∠A＝∠C

C．AO＝CO

BO＝DO

AB＝BCD．AC＝BD

CA第14頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四練習(xí)4．四個(gè)內(nèi)角都相等，四條邊也都相等的四邊形一定是：（）A．正方形B．菱形C．矩形D．平行四邊形

A第15頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四練習(xí)5、已知四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O。⑴若AB=BC，則四邊形ABCD是（

）⑵若AC=BD，則四邊形ABCD是（）⑶若∠BCD=900，則四邊形ABCD是（）⑷若OA=OB，則四邊形ABCD是（）⑸若AB=BC，且AC=BD，則四邊形ABCD是（）菱形矩形矩形矩形正方形第16頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2、直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥AB。求證：四邊形CEDF是正方形。ABCDEF∴四邊形ABCD是正方形（)∴DE=DF()DE⊥AC，DF⊥BC∵CD平分∠ACB∴四邊形ABCD為矩形()而∠ACB=90°∴∠DEC=90°，∠DFC=90°證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形角平分線(xiàn)的定理有一組鄰邊相等的矩形是正方形第17頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

已知:正方形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH是正方形嗎?為什么?ＡＢＣＤＥＦＧＨ達(dá)標(biāo)檢測(cè)5第18頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四達(dá)標(biāo)檢測(cè)6：已知:正方形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、DA上,且AE=BF=CG=DH,試判斷四邊形EFGH是正方形嗎?為什么?ＡＢＣＤＥＦＧＨ123第19頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例4：已知:正方形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、DA上,且AE=BF=CG=DH,試判斷四邊形EFGH是正方形嗎?為什么?ＡＢＣＤＥＦＧＨ123證明：∵四邊形ABCD是正方形∴∠A=∠

B=∠

C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC又∵AE=BF=CG=DH∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF即BE=AH=DG=CF∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．∴EH=EF=GF=HG∵∠1=∠3．又∠3+∠2=90°∠1+∠2=90°∴∠EFH=90°∴四邊形EFGH是正方形(有一個(gè)角是直角的菱形是正方形）第20頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相等的四部分(不考慮道路的寬度).你有幾種方法？設(shè)計(jì)花壇第21頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第22頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2、已知：如圖(4)在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，CE⊥AF于E，交AD于M，求證：∠MFD＝45°證明：∴DM=DF∴Rt△ADF≌Rt△CDM

(ASA)又∵AD＝CD，∠ADF＝∠MDC=90°∴∠1＝∠2又∵∠CMD＝∠AME（對(duì)頂角）∴∠ADC＝∠AEM＝90°∵CE⊥AF四邊形ABCD是正方形∴∠MFD＝45°第23頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3：如圖，已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A、∠B的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，求證：四邊形AEDF是正方形。DABCEFM第24頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，求PE+PF的值。ABCDEPFO第25頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四思考題：如圖正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，O又是另一個(gè)正方形OEFG的一個(gè)頂點(diǎn)，若正方形OEFG繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中.探究2:若正方形OEFG與正方形ABCD兩邊分別相交于MN，試判斷線(xiàn)段AM于BN之間的關(guān)系.探究1:兩個(gè)正方形重疊部分的面積是否會(huì)發(fā)生變化？探究3:若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則陰影部分面積BMON為多少？第26頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例5、如圖，點(diǎn)M是矩形ABCD邊AD的中點(diǎn)，2AB＝AD，點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥MC，PF⊥MB，垂足分別為E、F，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形PEMF為正方形？第27頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、已知，如圖在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線(xiàn)，CE⊥AN垂足為點(diǎn)E，①求證：四邊形ADCE是矩形。②當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形

ADCE是正方形，說(shuō)明理由。ABCEMND第28頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、如圖B、C、E是同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，四邊形ABCD與CEFG是正方形，連接BG、DE（1）觀察、猜想BG與DE之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由。（2）正方形CEFG在繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BG與DE之間的關(guān)系是否仍然成立。ABCEFDGADB