學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)必修3教師用書：第3章3.23.2.1古典概型3.2.2（整數(shù)值）隨機數(shù)（randomnumbers）的產(chǎn)生含解析3.2古典概型3。3。學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．了解基本事件的特點，理解古典概型的定義．(重點）2．會判斷古典概型，會用古典概型的概率公式解決問題．（重點、難點)3．理解用模擬方法估計概率的實質(zhì)，會用模擬方法估計概率．（重點)1．通過古典概型的概率計算,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．2．借助隨機模擬估計概率，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。1?；臼录?1)定義：在一次試驗中，所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果中不能再分的最簡單的隨機事件稱為該次試驗的基本事件．(2)特點：①任何兩個基本事件是互斥的;②任何事件（除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型(1)定義：如果某類概率模型具有以下兩個特點：①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．（2)古典概型的概率公式:對于任何事件A，P(A)＝eq\f（A事件包含的基本事件的個數(shù)，基本事件的總數(shù))。3．隨機數(shù)與偽隨機數(shù)(1）隨機數(shù)要產(chǎn)生1～n(n∈N＊）之間的隨機整數(shù)，把n個大小形狀相同的小球分別標(biāo)上1，2，3，…，n，放入一個袋中,把它們充分?jǐn)嚢瑁缓髲闹忻鲆粋€，這個球上的數(shù)就稱為隨機數(shù)．（2)偽隨機數(shù)計算機或計算器產(chǎn)生的隨機數(shù)是依照確定算法產(chǎn)生的數(shù),具有周期性（周期很長)，它們具有類似隨機數(shù)的性質(zhì)．因此，計算機或計算器產(chǎn)生的并不是真正的隨機數(shù)，我們稱它們?yōu)閭坞S機數(shù)．4．整數(shù)值隨機數(shù)的產(chǎn)生及應(yīng)用（1)產(chǎn)生整數(shù)值隨機數(shù)的方法用計算器的隨機函數(shù)RANDI(a，b）或計算機的隨機函數(shù)RANDBET_WEEN(a,b）可以產(chǎn)生從整數(shù)a到整數(shù)b的取整數(shù)值的隨機數(shù)；也可用計算機中的Excel軟件產(chǎn)生隨機數(shù)．用計算機或計算器模擬試驗的方法稱為隨機模擬方法．（2)整數(shù)值的隨機數(shù)的應(yīng)用利用計算器或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)來做模擬試驗，通過模擬試驗得到的頻率來估計概率，這種用計算器或計算機模擬試驗的方法稱為隨機模擬方法或蒙特卡羅方法．思考：“在區(qū)間［0，10］上任取一個數(shù)，這個數(shù)恰為2的概率是多少？”這個概率模型屬于古典概型嗎?[提示]不是，因為在區(qū)間［0，10］上任取一個數(shù)，其試驗結(jié)果有無限個,故其基本事件有無限個,所以不是古典概型．1．下列試驗中,屬于古典概型的是（)A．種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽B．從規(guī)格直徑為250mm±0.6mm的一批合格產(chǎn)品中任意抽一根,測量其直徑dC．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面D．某人射擊中靶或不中靶C［依據(jù)古典概型的特點，只有C項滿足有限性與等可能性．］2．某校高一年級要組建數(shù)學(xué)、計算機、航空模型三個興趣小組,某學(xué)生只選報其中的2個，則基本事件共有（)A．1個 B．2個C．3個 D．4個C[基本事件有(數(shù)學(xué)、計算機),(數(shù)學(xué)、航空模型），(計算機、航空模型）共3個．］3．甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排,乙站中間的概率是（)A。eq\f（1，6） B.eq\f(1，2）C.eq\f(1，3) D。eq\f（2，3）C［所有基本事件有：（甲乙丙），（甲丙乙），(乙甲丙）（乙丙甲）,(丙甲乙）,(丙乙甲）共6個，乙站中間包含(甲乙丙）,（丙乙甲）共2個，所以P＝eq\f（2，6）＝eq\f（1,3)。］4．已知拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,正面朝上的概率為0.5。現(xiàn)采用隨機模擬試驗的方法估計拋擲這枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率：先由計算器產(chǎn)生隨機數(shù)0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三個隨機數(shù)作為一組，代表這三次投擲的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬試驗產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù):101111010101010100100011111110000011010001111011100000101101據(jù)此估計，拋擲這枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率為________．0.35[拋擲這枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的有010,010，100，100，010，001,100共7組，則拋擲這枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率可以為eq\f（7,20)＝0。35.]基本事件及其計數(shù)問題【例1】連續(xù)擲3枚硬幣，觀察落地后3枚硬幣是正面向上還是反面向上．(1）寫出這個試驗的所有基本事件；(2)“恰有兩枚正面向上”這一事件包含哪幾個基本事件？[解](1)由樹形圖表示如下：試驗的所有基本事件為（正，正，正),(正，正，反），（正,反，正），(正，反，反)，(反，正,正），（反，正，反)，(反，反，正），（反，反,反)．(2）“恰有兩枚正面朝上”包含以下3個基本事件：(正，正，反），(正，反，正)，(反,正，正)．基本事件的三種列舉方法（1)直接列舉法：把試驗的全部結(jié)果一一列舉出來．此方法適合于較為簡單的試驗問題．(2）列表法：將基本事件用表格的方式表示出來，通過表格可以弄清基本事件的總數(shù)，以及要求的事件所包含的基本事件數(shù)．列表法適用于較簡單的試驗的題目，基本事件較多的試驗不適合用列表法．（3)樹狀圖法：樹狀圖法是使用樹狀的圖形把基本事件列舉出來的一種方法，樹狀圖法便于分析基本事件間的結(jié)構(gòu)關(guān)系,對于較復(fù)雜的問題，可以作為一種分析問題的主要手段，樹狀圖法適用于較復(fù)雜的試驗的題目．eq\o（［跟進訓(xùn)練］）1．拋擲一枚骰子，下列不是基本事件的是（）A．向上的點數(shù)是奇數(shù) B．向上的點數(shù)是3C．向上的點數(shù)是4 D．向上的點數(shù)是6A[向上的點數(shù)是奇數(shù)包含三個基本事件：向上的點數(shù)是1，向上的點數(shù)是3，向上的點數(shù)是5，則A項不是基本事件，B，C，D項均是基本事件．]古典概型的判斷與計算［探究問題]1．任何兩個基本事件具有什么特征？[提示]互斥．2．若一次試驗的結(jié)果所包含的基本事件的個數(shù)是有限個，則該試驗是古典概型嗎？［提示］不是，若是古典概型，還必須滿足每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．3．使用古典概型概率公式應(yīng)注意哪些問題？［提示］（1)確定是否為古典概型．(2)所求事件是什么,它包含哪些基本事件．【例2】袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號分別為1，2,3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號分別為1，2；現(xiàn)從袋中任取兩張卡片．(1）若把所取卡片的所有不同情況作為基本事件，則共有多少個基本事件？是古典概型嗎？(2)若把所取出卡片的標(biāo)號之和作為基本事件，則共有多少個基本事件？是古典概型嗎?（3）求所取卡片標(biāo)號之和小于4的概率．思路點撥:先列舉出基本事件,緊扣古典概型的特點加以判斷,再用古典概型概率公式求相應(yīng)概率．［解］(1)基本事件為（紅1,紅2),(紅1，紅3)，（紅1,藍(lán)1)，(紅1，藍(lán)2)，(紅2，紅3），（紅2，藍(lán)1），(紅2，藍(lán)2)，(紅3，藍(lán)1)，（紅3，藍(lán)2)，(藍(lán)1，藍(lán)2)共10種，由于基本事件個數(shù)有限，且每個基本事件發(fā)生的可能性相同，所以是古典概型．（2)由(1)知，基本事件為2，3，4,5共4種，且他們出現(xiàn)的頻數(shù)依次為1，4，3，2;故每個基本事件發(fā)生的可能性不同，不是古典概型．（3)設(shè)A＝{所取兩張卡片標(biāo)號之和小于4｝，由(1)知,A事件包含（紅1，紅2）,(紅1，藍(lán)1），(紅1，藍(lán)2)，（紅2，藍(lán)1），(藍(lán)1,藍(lán)2)共5種，由古典概型概率公式得：P（A)＝eq\f(5，10）＝eq\f(1,2）。1．(變結(jié)論）本題條件不變，求所取兩張卡片標(biāo)號之和不大于4且顏色相同的概率．［解］所有基本事件為（紅1，紅2),(紅1，紅3)，（紅1，藍(lán)1)，(紅1,藍(lán)2）,（紅2,紅3)，（紅2,藍(lán)1）,（紅2，藍(lán)2），（紅3,藍(lán)1),(紅3，藍(lán)2），(藍(lán)1，藍(lán)2)共10種．設(shè)A＝｛所取兩張卡片標(biāo)號之和不大于4且顏色相同｝,則A事件包含(紅1,紅2)，(紅1，紅3），（藍(lán)1,藍(lán)2）共3種,由古典概型概率公式得：P（A)＝eq\f（3,10)。2．(變條件)在本題原條件不變的情況之下，現(xiàn)往袋中再放一張標(biāo)號為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率．［解]加入一張標(biāo)號為0的綠色卡片后，從六張卡片中任取兩張，所有可能情況如下表所示：綠藍(lán)紅012123綠012123藍(lán)132342345紅134253由表格可知，從六張卡片中任取兩張的所有可能情況有15種．其中兩張卡片的顏色不同且標(biāo)號之和小于4的有｛綠0，藍(lán)1}，{綠0,藍(lán)2},{綠0，紅1｝,｛綠0，紅2｝，{綠0,紅3}，{藍(lán)1，紅1}，｛藍(lán)1，紅2}，｛藍(lán)2，紅1｝，共8種情況．由古典概型的概率計算公式可得，所求事件的概率P＝eq\f（8,15）.求解古典概型的概率“四步"法整數(shù)隨機模擬及應(yīng)用【例3】盒中有大小、形狀相同的5個白球和2個黑球，用隨機模擬方法求下列事件的概率：(1)任取一球,得到白球；（2)任取三球，恰有兩個白球；(3）任取三球(分三次，每次放回再?。∮?個白球．[解]用計算器或計算機產(chǎn)生1到7之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，用1，2，3,4,5表示白球，6，7表示黑球.(1）統(tǒng)計隨機數(shù)個數(shù)N及小于6的個數(shù)N1，則eq\f(N1，N）即為任取一球，得到白球的概率的近似值．（2)三個數(shù)一組（每組內(nèi)不重復(fù))，統(tǒng)計總組數(shù)M及恰好有兩個數(shù)小于6的組數(shù)M1，則eq\f（M1，M）即為任取三個球，恰有兩個白球的概率的近似值.（3)三個數(shù)一組（每組內(nèi)可重復(fù)），統(tǒng)計總組數(shù)K及三個數(shù)都小于6的組數(shù)K1，則eq\f（K1，K)即為任取三球(分三次，每次放回再取),恰有3個白球的概率的近似值．利用隨機模擬估計概率應(yīng)關(guān)注三點用整數(shù)隨機數(shù)模擬試驗估計概率時，首先要確定隨機數(shù)的范圍和用哪些數(shù)代表不同的試驗結(jié)果.我們可以從以下三方面考慮：1當(dāng)試驗的基本事件等可能時,基本事件總數(shù)即為產(chǎn)生隨機數(shù)的范圍，每個隨機數(shù)代表一個基本事件；2研究等可能事件的概率時,用按比例分配的方法確定表示各個結(jié)果的數(shù)字個數(shù)及總個數(shù)；3當(dāng)每次試驗結(jié)果需要n個隨機數(shù)表示時，要把n個隨機數(shù)作為一組來處理，此時一定要注意每組中的隨機數(shù)字能否重復(fù)。eq\o（［跟進訓(xùn)練]）2．種植某種樹苗，成活率是0。9.若種植該種樹苗5棵，用隨機模擬方法估計恰好4棵成活的概率．［解］利用計算器或計算機產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),我們用0代表不成活,1至9的數(shù)字代表成活，這樣可以體現(xiàn)成活率是0。9。因為種植5棵,所以每5個隨機數(shù)作為一組，可產(chǎn)生30組隨機數(shù)，如下所示：698016609777124229617423531516297472494557558652587413023224374454434433315271202178258555610174524144134922017036283005949765617334783166243034401117這就相當(dāng)于做了30次試驗，在這些數(shù)組中，如果恰有一個0,則表示恰有4棵成活,共有9組這樣的數(shù),于是我們得到種植5棵這樣的樹苗恰有4棵成活的概率近似為eq\f(9，30)＝0.3。古典概型的綜合問題【例4】如圖所示莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)在某次數(shù)學(xué)測驗中的成績(單位：分)．甲組記錄中有一個數(shù)字模糊，無法確認(rèn)，在圖中以x表示．(1）如果甲組同學(xué)與乙組同學(xué)的平均成績一樣,求x；(2）如果x＝7,分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機選取一名，求這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績均不低于90分的概率．思路點撥：（1）先求乙組同學(xué)成績的平均值，再求x.(2)列出從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機選一名的所有結(jié)果,由古典概型求解．[解](1）eq\x\to(x）乙＝eq\f（1，4)×(87＋90＋90＋93）＝90，eq\x\to(x）甲＝eq\f（1,4)×（80＋x＋86＋91＋94）＝90，解得x＝9。（2)當(dāng)x＝7時，甲組的成績?yōu)?6分，87分，91分,94分，乙組的成績?yōu)?7分，90分,90分,93分，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機選取一名的可能結(jié)果有（86，87)，（86,90）,（86,90)，(86，93）,(87,87），（87，90），（87,90），(87，93)，（91,87）,(91,90）,（91,90），（91，93），(94，87）,（94，90)，(94，90),(94，93），共有16種，其中這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績均不低于90分有（91，90），（91,90)，（91,93),（94,90)，（94,90)，（94,93)，共6種，故這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績均不低于90分的概率P＝eq\f（6，16)＝eq\f(3，8)。古典概型常與統(tǒng)計問題相結(jié)合，解題時要對所給圖表認(rèn)真分析，把圖表信息及古典概型公式有機地結(jié)合起來.eq\o([跟進訓(xùn)練]）3．國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：輕型汽車的氮氧化物排放量不得超過80mg/kg.根據(jù)這個標(biāo)準(zhǔn),檢測單位從某出租車公司運營的A,B兩種型號的出租車中分別抽取5輛，對其氮氧化物的排放量（單位：mg/kg)進行檢測，檢測結(jié)果記錄如表：A8580856090B70x95y75由于表格被污損，導(dǎo)致數(shù)據(jù)x,y看不清，統(tǒng)計員只記得A，B兩種出租車的氮氧化物排放量的平均值相等,方差也相等．(1)求表格中x與y的值;(2)從被檢測的5輛B種型號的出租車中任取2輛，記“氮氧化物排放量超過80mg/kg”的車輛數(shù)為X，求X＝1時的概率．［解](1)由條件知eq\x\to（x)A＝eq\x\to(x）B，seq\o\al(2，A）＝seq\o\al（2，B)，又eq\x\to（x)A＝eq\f（1,5）×（85＋80＋85＋60＋90）＝80,eq\x\to（x）B＝eq\f(1,5)×（70＋x＋95＋y＋75），seq\o\al(2,A）＝eq\f（1,5）×(25＋0＋25＋400＋100）＝110,seq\o\al（2，B）＝eq\f(1,5)×[100＋（x－80）2＋225＋(y－80)2＋25］，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝160，,x－802＋y－802＝200，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝70，，y＝90))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝90，,y＝70。）)（2）被檢測的5輛B種型號的出租車中，氮氧化物排放量不超過80mg/kg的有三輛,記為A1,A2,A3，氮氧化物排放量超過80mg/kg的有兩輛，記為B1，B2，從被檢測的5輛B種型號的出租車中任取2輛的情況有：（A1,A2）,(A1，A3),（A1，B1)，(A1，B2）,(A2，A3），（A2，B1），(A2,B2)，（A3，B1），（A3,B2），(B1，B2）,共10種．其中符合條件的有:（A1，B1），（A1，B2），(A2,B1），(A2,B2），(A3，B1），(A3，B2),共6種．故所求概率P（X＝1）＝eq\f(6,10)＝eq\f（3,5)。1．古典概型是一種最基本的概型，也是學(xué)習(xí)其他概型的基礎(chǔ)，這也是我們在學(xué)習(xí)、生活中經(jīng)常遇到的題型．解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性．在應(yīng)用公式P（A）＝eq\f(m,n)時，關(guān)鍵是正確理解基本事件與事件A的關(guān)系，從而求出m，n.2．求某個隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)常用的方法是列舉法（畫樹狀圖和列表），注意做到不重不漏．3．對于用直接方法難以解決的問題，可以先求其對立事件的概率，進而求得其概率，以降低難度．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√"，錯誤的打“×”）（1）若一次試驗的結(jié)果所包含的基本事件的個數(shù)為有限個,則該試驗符合古典概型。 (）（2）“拋擲兩枚硬幣,至少一枚正面向上”是基本事件． (）(3)從裝有三個大球、一個小球的袋中,取出一球的試驗是古典概型． （）（4)隨機數(shù)的抽取就是簡單隨機抽樣． (）[答案](1)×(2）×（3)×（4）√2．若連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)為m、n，則點P(m，n）在直線x＋y＝4上的概率是(）A。eq\f(1,3） B.eq\f（1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f（1，12)D［由題意（m，n)的取值情況有(1，1）,(1,2),…，（1,6）；(2，1），(2,2)，…，（2,6);…；(6，1），(6,2)，…，（6,6)，共36種,而滿足