學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)必修4教師用書(shū)：第2章2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義2。4平面向量的數(shù)量積2。4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。了解平面向量數(shù)量積的物理背景.2。掌握平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，理解其幾何意義。(重點(diǎn))3。會(huì)用兩個(gè)向量的數(shù)量積求兩個(gè)向量的夾角以及判斷兩個(gè)向量是否垂直．（難點(diǎn)）4。向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)的乘法的區(qū)別．（易混點(diǎn)）1。通過(guò)學(xué)習(xí)平面向量數(shù)量積的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。2.通過(guò)數(shù)量積的應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。1．平面向量數(shù)量積的定義非零向量a,b的夾角為θ，數(shù)量|a｜｜b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a｜｜b|cosθ。特別地，零向量與任一向量的數(shù)量積等于0。思考:向量的數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同?[提示］數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù),線性運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量．2．向量的數(shù)量積的幾何意義（1)投影的概念：①b在a的方向上的投影為|b|cosθ;②a在b的方向上的投影為｜a｜c(diǎn)osθ。（2）數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．思考：投影一定是正數(shù)嗎?［提示］投影可正、可負(fù)也可以為零．3．向量數(shù)量積的性質(zhì)垂直向量a·b＝0平行向量同向a·b＝|a｜|b｜反向a·b＝－|a｜|b｜向量的模a·a＝|a｜2或｜a｜＝eq\r（a·a)求夾角cosθ＝eq\f（a·b,｜a||b｜）不等關(guān)系a·b≤|a||b|4。向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1）a·b＝b·a(交換律）．(2）(λa)·b＝λ(a·b）＝a·(λb）（結(jié)合律）．(3)(a＋b）·c＝a·c＋b·c(分配律）．思考：a·(b·c)＝（a·b）·c成立嗎？[提示](a·b）·c≠a·(b·c），因?yàn)閍·b，b·c是數(shù)量積,是實(shí)數(shù)，不是向量,所以（a·b)·c與向量c共線，a·（b·c）與向量a共線．因此，(a·b）·c＝a·(b·c)在一般情況下不成立．1．已知單位向量a，b,夾角為60°，則a·b＝(）A。eq\f（1，2) B。eq\f(\r(，3）,2）C．1 D．－eq\f(1，2)A［a·b＝1×1×cos60°＝eq\f(1，2)。］2．已知向量a,b滿足|a｜＝1，|b|＝4,且a·b＝2，則a與b的夾角θ為(）A。eq\f(π，6) B。eq\f(π,4）C.eq\f(π，3） D。eq\f(π,2)C［由條件可知，cosθ＝eq\f（a·b,|a｜｜b|)＝eq\f(2，1×4）＝eq\f(1,2)，又∵0≤θ≤π，∴θ＝eq\f（π，3）。］3．已知單位向量a,b夾角為eq\f（π,3），則|a－b｜＝________。1[單位向量a，b夾角為eq\f（π，3)，則｜a－b｜＝eq\r(a2－2a·b＋b2）＝eq\r(1－2×1×1×\f（1，2）＋1）＝1。]4．己知|a｜＝1,（a＋b)⊥a，則a·b＝________.－1[｜a｜＝1,（a＋b)⊥a，可得：a2＋a·b＝0，∴a·b＝－1。］向量數(shù)量積的計(jì)算及其幾何意義【例1】(1)已知單位向量e1，e2的夾角為eq\f(π,3），a＝2e1－e2,則a在e1上的投影是________．(2)已知向量a與b滿足｜a|＝10，｜b|＝3，且向量a與b的夾角為120°。求:①（a－b)·(a－b);②（2a＋b）·(a－b）．思路點(diǎn)撥：根據(jù)數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律及投影的定義解答．(1)eq\f（3,2）［設(shè)a與e1的夾角為θ，則a在e1上的投影為｜a|cosθ＝eq\f(a·e1,|e1|)＝a·e1＝(2e1－e2）·e1＝2eeq\o\al（2,1)－e1·e2＝2－1×1×coseq\f(π,3)＝eq\f(3，2）。］（2)［解］①(a－b)·（a－b)＝a2－b2＝｜a｜2－｜b|2＝100－9＝91。②因?yàn)椋黙｜＝10，｜b|＝3，且向量a與b的夾角為120°,所以a·b＝10×3×cos120°＝－15，所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝200＋15－9＝206.求平面向量數(shù)量積的步驟1求a與b的夾角θ，θ∈[0,π]；2分別求|a|和｜b|；3求數(shù)量積，即a·b＝｜a|｜b｜c(diǎn)osθ，要特別注意書(shū)寫(xiě)時(shí)a與b之間用實(shí)心圓點(diǎn)“·"連接,而不能用“×”連接,也不能省去。求投影的兩種方法：1b在a方向上的投影為｜b|cosθθ為a，b的夾角，a在b方向上的投影為|a｜c(diǎn)osθ.2b在a方向上的投影為,a在b方向上的投影為eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．（1)已知|a｜＝2，｜b｜＝3,a與b的夾角θ為60°，求：①a·b；②（2a－b）·(a＋3b)．(2)設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為eq\r(，2），eq\o（AB，\s\up6(→)）＝c，eq\o（BC,\s\up6(→)）＝a，eq\o（CA,\s\up6（→）)＝b，求a·b＋b·c＋c·a.［解］(1)①a·b＝｜a|｜b|cosθ＝2×3×cos60°＝3。②(2a－b）·(a＋3b）＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3｜b|2＝2×22＋5×3－3×32＝－4。(2)∵|a｜＝｜b|＝｜c(diǎn)｜＝eq\r(,2）,且a與b，b與c，c與a的夾角均為120°,∴a·b＋b·c＋c·a＝eq\r(,2)×eq\r（,2)×cos120°×3＝－3。與向量模有關(guān)的問(wèn)題【例2】(1）已知向量a，b的夾角為60°，|a｜＝2，｜b｜＝1，則|a＋2b|＝________。（2)已知向量a與b夾角為45°，且|a｜＝1，｜2a＋b|＝eq\r(10），求｜b｜。思路點(diǎn)撥:靈活應(yīng)用a2＝|a|2求向量的模．(1)2eq\r(3）[｜a＋2b｜2＝（a＋2b)2＝|a|2＋2·｜a｜·|2b|·cos60°＋(2｜b｜）2＝22＋2×2×2×eq\f(1,2)＋22＝4＋4＋4＝12，所以|a＋2b|＝eq\r(12)＝2eq\r（3).](2）［解］因?yàn)椋?a＋b|＝eq\r（10），所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10.又因?yàn)橄蛄縜與b的夾角為45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b｜×eq\f（\r（2）,2)＋｜b|2＝10，整理得|b｜2＋2eq\r(2)｜b|－6＝0，解得｜b｜＝eq\r(2）或｜b｜＝－3eq\r（2)（舍去)．求向量的模的常見(jiàn)思路及方1求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開(kāi)方.2a·a＝a2＝｜a｜2或｜a｜＝，此性質(zhì)可用來(lái)求向量的模，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化.3一些常見(jiàn)的等式應(yīng)熟記，如a±b2＝a2±2a·b＋b2,a＋b·a－b＝a2－b2等。eq\o(［跟進(jìn)訓(xùn)練])2．已知｜a|＝｜b｜＝5，向量a與b的夾角θ為eq\f（π,3），求｜a＋b|，|a－b｜。［解]∵|a｜＝｜b|＝5且?jiàn)A角θ為eq\f（π，3),∴|a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝52＋2×5×5×coseq\f（π，3）＋52＝75，|a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝52－2×5×5×coseq\f(π，3)＋52＝25,∴｜a＋b｜＝5eq\r(,3），｜a－b|＝5.與向量垂直、夾角有關(guān)的問(wèn)題［探究問(wèn)題]1．設(shè)a與b都是非零向量,若a⊥b，則a·b等于多少？反之成立嗎？提示：a⊥b?a·b＝0。2．｜a·b｜與|a|｜b|的大小關(guān)系如何？為什么？對(duì)于向量a，b，如何求它們的夾角θ？提示：|a·b|≤｜a||b｜，設(shè)a與b的夾角為θ，則a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ。兩邊取絕對(duì)值得：|a·b|＝|a||b||cosθ｜≤｜a|｜b|。當(dāng)且僅當(dāng)|cosθ｜＝1，即cosθ＝±1，θ＝0°或π時(shí)，取“＝”，所以｜a·b｜≤｜a|｜b|，cosθ＝eq\f（a·b，｜a|｜b｜).【例3】(1)已知e1與e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量,若向量e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角，則k的取值范圍為_(kāi)_______．（2）已知非零向量a，b滿足a＋3b與7a－5b互相垂直，a－4b與7a－2b互相垂直，求a與b的夾角．思路點(diǎn)撥：（1）兩個(gè)向量夾角為銳角等價(jià)于這兩個(gè)向量數(shù)量積大于0且方向不相同．（2）由互相垂直的兩個(gè)向量的數(shù)量積為0列方程，推出|a|與｜b｜的關(guān)系，再求a與b的夾角．（1）(0,1）∪(1，＋∞)［∵e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角,∴（e1＋ke2)·（ke1＋e2)＝keeq\o\al(2，1）＋keeq\o\al(2，2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.當(dāng)k＝1時(shí)，e1＋ke2＝ke1＋e2，它們的夾角為0°，不符合題意,舍去．綜上，k的取值范圍為k＞0且k≠1。］（2)［解］由已知條件得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＋3b·7a－5b＝0，,a－4b·7a－2b＝0，）)即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（7a2＋16a·b－15b2＝0，①,7a2－30a·b＋8b2＝0，②））②－①得23b2－46a·b＝0,∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝｜b｜，∴cosθ＝eq\f(a·b,｜a||b|）＝eq\f(\f（1,2）b2，|b｜2)＝eq\f(1,2)?！擀取蔥0，π］，∴θ＝eq\f(π，3).1．將本例(1)中的條件“銳角”改為“鈍角”，其他條件不變,求k的取值范圍．[解]∵e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為鈍角，∴(e1＋ke2）·(ke1＋e2）＝keeq\o\al（2，1)＋keeq\o\al（2，2)＋(k2＋1）e1·e2＝2k＜0，∴k＜0。當(dāng)k＝－1時(shí)，e1＋ke2與ke1＋e2方向相反，它們的夾角為π,不符合題意，舍去．綜上，k的取值范圍是k＜0且k≠－1.2．將本例(1)中的條件“銳角”改為“eq\f(π，3）”，求k的值．[解]由已知得|e1＋ke2|＝eq\r（e\o\al（2,1)＋2ke1·e2＋k2e\o\al(2,2））＝eq\r（1＋k2）,|ke1＋e2|＝eq\r（k2e\o\al（2,1）＋2ke1·e2＋e\o\al（2，2)）＝eq\r(k2＋1），(e1＋ke2）·(ke1＋e2)＝keeq\o\al（2,1)＋keeq\o\al(2,2）＋（k2＋1）e1·e2＝2k，則coseq\f（π，3)＝eq\f(e1＋ke2ke1＋e2，｜e1＋ke2｜|ke1＋e2|）＝eq\f(2k,1＋k2)，即eq\f(2k,1＋k2）＝eq\f(1，2），整理得k2－4k＋1＝0，解得k＝eq\f（4±\r(12),2）＝2±eq\r（3).1．求向量夾角的方法（1）求出a·b，|a｜,｜b|，代入公式cosθ＝eq\f（a·b，|a|｜b|）求解．(2）用同一個(gè)量表示a·b，｜a|，｜b|，代入公式求解．(3）借助向量運(yùn)算的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求夾角．2．要注意夾角θ的范圍θ∈［0，π],當(dāng)cosθ＞0時(shí),θ∈eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2））)；當(dāng)cosθ＜0時(shí)，θ∈eq\b\lc\（\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（π,2），π))，當(dāng)cosθ＝0時(shí)，θ＝eq\f（π,2）。1．兩向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)向量,其值可以為正(當(dāng)a≠0，b≠0，0°≤θ＜90°時(shí)），也可以為負(fù)(當(dāng)a≠0，b≠0，90°＜θ≤180°時(shí))，還可以為0(當(dāng)a＝0或b＝0或θ＝90°時(shí)）．2．兩非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，求向量模時(shí)要靈活運(yùn)用公式|a|＝eq\r(,a2）。3．要注意區(qū)分向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的區(qū)別(1）在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，若ab＝0，則a與b中至少有一個(gè)為0。而在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,不能從a·b＝0推出a＝0或b＝0.實(shí)際上由a·b＝0可推出以下四種結(jié)論：①a＝0,b＝0；②a＝0,b≠0；③a≠0，b＝0;④a≠0，b≠0，但a⊥b.（2）在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，若a，b∈R,則｜ab｜＝｜a|·|b｜,但對(duì)于向量a,b，卻有|a·b|≤｜a|｜b|，當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立．這是因?yàn)椋黙·b|＝|a｜|b｜|cosθ|，而|cosθ|≤1.(3）實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足消去律：若bc＝ca，c≠0,則有b＝a。在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，若a·b＝a·c(a≠0）,則向量c,b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c。(4）實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律，但向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·（b·c），這是由于（a·b）·c表示一個(gè)與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線．1．對(duì)于向量a，b，c和實(shí)數(shù)λ，下列命題中真命題是(）A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0B．若λa＝0,則λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，則b＝cB[A錯(cuò)，當(dāng)a與b夾角為eq\f(π，2)時(shí)，a·b＝0；