山東省威海市2022屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)三模試卷

閱卷人

一、單選題（共8題；共16分）

得分

1.（2分）已知復(fù)數(shù)z與復(fù)平面內(nèi)的點（1,2）對應(yīng)，則言=（）

A.1+iB.1—iC.-1+iD.-1—i

【答案】C

【解析】【解答】由復(fù)數(shù)的幾何意義可知z=1+2E,

則口=曰=（心（帝=丁=-1+L

故答案為：C

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)的除法運算，即可求解.

2.（2分）設(shè)集合/={x\x2-2x-3<0},B={x\2x-a<0}，且AflB={x[-1<x<1},則

a=（）

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】D

【解析】【解答】解：由題意，集合A={x[—1<x<3},B={x\2x-a<0}={x\x<

因為4DB={x|—1<%<1},可得掾=1,解得a=2.

故答案為：D.

【分析】求得集合4={x|-1<%<3}和B=[x\2x-a<0}={x\x<搭},根據(jù)題意，得到號=1,

即可求解.

3.（2分）等差數(shù)列{冊}的前n項和為Sn，若。3=4,59=18,則公差d=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【解析】【解答】由題可知c,9x8,

9a1+—^―-a=18'-a.=-1

故答案為：B.

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式和前n項和公式列出關(guān)于臼和d的方程組求解即可.

4.(2分)已知函數(shù)/(x)=sinxcos(2x+9)(>€[0,兀])為偶函數(shù)，則⑴=()

A.0B.JC.JD.71

【答案】C

【解析】【解答】：f(x)定義域為R,且為偶函數(shù)，

—/g)n-cos(-11+9)=cos(re+<p)=>cos(p=—cos(p=>cos(p=0,

71

,?*p€(0,7T),**,(P=

當(dāng)(P=齊寸，/(x)=-sinxsin(2x)為偶函數(shù)滿足題意.

故答案為：C.

【分析】由f(x)是R上的奇函數(shù)，故可取特值f(—今=&)求(p的值.

5.(2分)甲、乙兩人相約在某健身房鍛煉身體，他們分別在兩個網(wǎng)站查看這家健身房的評價.甲在

網(wǎng)站A查到共有840人參與評價，其中好評率為95%,乙在網(wǎng)站B查到共有1260人參與評價，其

中好評率為85%.綜合考慮這兩個網(wǎng)站的信息，則這家健身房的總好評率為()

A.88%B.89%C.91%D.92%

【答案】B

【解析】【解答】由已知可得這家健身房的總好評率為84°x鬻然><85%=gg%.

8404-1260

故答案為：B.

【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計算可得.

6.(2分)已知單位向量五，石滿足口-瓦=1，則方在坂方向上的投影向量為()

A.B.C.D.-|a

【答案】A

【解析】【解答】叵一獷=有2一2五萬+片=1，因為⑷=|山=i，所以方.方=5

方1

所以五在石方向上的投影向量為繇面=-

2

故答案為：A

【分析】根據(jù)投影向量公式，即可求解.

7.（2分）已知圓柱的高和底面半徑均為4,4B為上底面圓周的直徑，點P是上底面圓周上的一點

且，AP=BP,PC是圓柱的一條母線，則點P到平面ABC的距離為（）

A.4B.2次C.3D.2V2

【答案】D

【解析】【解答】由題可得4B=8,因為4P=BP,所以SMBP=*x8x4=16，

因為PC1平面4BP,且PC=4,所以VCTBP=梟16x4=箏

因為AP=BP=4vL所以AC=BC=4V3，

所以SA/IBC=1x8xV48-16=16VL

設(shè)點P到平面4BC的距離為d,則Up_4BC=gxl6V^d=督，解得d=2夜.

【分析】根據(jù)題意易求三棱錐C-ABP的體積，再求出三角形ABC的面積即可求解.

8.（2分）已知雙曲線C：形一方=l（a>0,。>0）的左、右焦點分別為%以原點0為頂

點，七為焦點的拋物線與雙曲線C在第一象限的交點為P.若4P&F2=45。，則C的離心率為

（）

A.V2B.V2+1C.V3D.V3+1

【答案】B

【解析】【解答】由題知尸K一c,0），尸2（c，0），

則拋物線方程為：y2=4cx,直線P0方程為：y=x+c,

,（y=x+cooj

由|y2_4C%'='"2'—'2'C'"+'c2'=‘°'n'"'='C，P（S^2c）,，。尸？，、軸，**?=2c,\PF1\=

2岳，

雙曲線離心率e=￡=霧=伊耳瑞引=熹:/==&+1?

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題設(shè)條件求出拋物線方程和直線P&方程，聯(lián)立解出P的坐標(biāo)，求出IPF2I=2c、

|PFi|=2岳，根據(jù)雙曲線離心率e=$=先=iU空需7即可計算.

1x'aZu\rri|一\rr71

閱卷入

二、多選題（共4題；共8分）

得分

9.（2分）若a>b>1,0<m<1,則（）

mmah

A.a<bB.m<mC.logma<\ogmbD.logam<10gbM

【答案】B,C

【解析】【解答】對于A,?.?幕函數(shù)y=%m（o（巾<1）在（0,+8）單調(diào)遞增，...根據(jù)a>b>l可知

am>bm,A不符合題意；

對于B,\?指數(shù)函數(shù)y=mX（0<m<l）在R上單調(diào)遞減，，根據(jù)a>b>l可知也。<加\B符合題

T*r.

忌；

對于C,,?,對數(shù)函數(shù)y=logmx（0<m<1）在（0,+8）上單調(diào)遞減，，根據(jù)a>b>1可知log^Q<

logmb，C符合題意;

11

對于D,由C可知logmQVlogmbV0,AjOga>]Og即logatn>log^m，D不符合題意.

故答案為：BC.

【分析】根據(jù)幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別可判斷A、B、C,結(jié)合C和對數(shù)換底公式

即可判斷D.

10.（2分）已知a、/?是兩個不同的平面，m、n是平面a及/?外兩條不同的直線，給出四個論斷：

?m1n,②a||/?,③nII凡④7nla,則正確的是（）

A.②③④=①B.①③④=②C.①②④"③D.①②③=④

【答案】A,C

【解析】【解答】對于A,若a||S，m1a,則m_Lp,XVn||/?,.,.m±n,A符合題意；

對于B,若m_La,mln,5PJn//a,有II夕，.?.a與p平行或相交，B不符合題意；

對于C,若am1a,則m_L|3,又nC（3,.??n〃0,C符合題意；

對于D,若ri||/?,a110,則n〃a,又則m與a平行或相交，D不符合題意.

故答案為：AC.

【分析】利用空間里面線和面的關(guān)系逐項判斷即可.

11.（2分）數(shù)學(xué)中有許多優(yōu)美的曲線，星形曲線就是其中之一，它最早是由古希臘天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)

的，羅默、伯努利、萊布尼茲等數(shù)學(xué)家都研究過其性質(zhì)在工業(yè)生產(chǎn)中，利用星形曲線的特性，能設(shè)

計出一種超輕超硬材料，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的廣泛性和應(yīng)用性.已知星形曲線E：J+y3=1-設(shè)

P（x,y）為E上任意一點，則（）

A.曲線E與坐標(biāo)軸有四個交點B.|X|<1,|y|<1

C.曲線E有且只有兩條對稱軸D.|x|+|y|Wl

【答案】A,B,D

【解析】【解答】；E：J+y3=i.

令％=0,可得y=±1,令y=0,可得％=±1,

???曲線E與坐標(biāo)軸有四個交點，A符合題意；

2222

由E：x3+y3=l可知，<1,y3<1>

?,.|x|<1,|y|<1,B符合題意；

79

因為E:X3+y3=p

將方程中的X換為-X,y不變，則方程不變；將方程中的y換為-y,x不變，則方程不變；可得曲線

關(guān)于x,y軸對稱；

將方程中的％換為-久，方程中的y換為-y,則方程不變，可得曲線關(guān)于原點對稱；將方程中的％換為

y,y換為X,則方程不變，可得曲線關(guān)于y=x對稱；將方程中的x換為-y,y換為-％,則方程不

變，可得曲線關(guān)于y=-x對稱；C不符合題意；

由上可知曲線關(guān)于曲線關(guān)于x,y軸對稱，關(guān)于原點對稱，

22

當(dāng)04X，y<1時，>x,y3>yf

77

所以x++即|%|+|y|41，D符合題意.

故答案為：ABD.

【分析】利用曲線方程令久=0,y=0,可判斷A,利用；Jwi,關(guān)si可判斷B，利用方程可得

曲線關(guān)于關(guān)于x,y軸對稱，關(guān)于y=±久對稱，可判斷C,結(jié)合對稱性可得#Nx,y3>y,進而可

判斷D.

12.(2分)已知函數(shù)/(%)=+a|—a—X,則()

A.當(dāng)Q=1時，函數(shù)/(久)的定義域為[—2,0]

B.當(dāng)a=0時，函數(shù)/(%)的值域為R

C.當(dāng)a=-l時，函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞減

D.當(dāng)a6(0,》時，關(guān)于x的方程/(ax)=。有兩個解

【答案】B,C,D

【解析1【解答】A.當(dāng)a=l時，/(%)=7|x+l|-1-x.由|x+l|-120,解得X20或xW

-2,所以函數(shù)/(x)的定義域為(—8-2]U[0,+00),故錯誤；

B.當(dāng)a=0時，/(x)=7|xi-x,定義域為R，當(dāng)式21時，/(x)<0,當(dāng)％<1時，/(x)>0,所以函

數(shù)/(x)的值域為R，故正確；

C.當(dāng)a=-l時，/(x)-y/\x-1|+1-x,當(dāng)為21時，/(%)=Vx-x=-(Vx-1)2+在[1,+

8)上遞減，當(dāng)無<1時，/(x)=VF7x-x,在(一8,1)上遞減，又/(1)=0,所以函數(shù)/(x)在R上

單調(diào)遞減，故正確；

D.易知f(a%)=J\ax+a|—a—a―/(ax)=a,即為Jjax+a|—a=a+a%,設(shè)Q+QX=￡N0,

則"t—a=t,即Q=—/+t=-([一+,,若方程/(ax)=a有兩個解則Qw(0,上，故正確.

故答案為：BCD

【分析】A.由根式函數(shù)的定義域求法求解；B.由函數(shù)值域的求法求解；C.由f(%)=+

x,分工>1和％<1判斷；D.設(shè)a+ax=t>0,將問題轉(zhuǎn)化為"-a=t,即a=—t2+t=

-(t-1)2+上有兩個解求解判斷.

閱卷入

-----------------￡、填空題(共4題；共5分)

得分

TT

13.(1分)已知Q€(0,力，tana=2,貝ijcosa=.

【答案】絡(luò)

2_sin2a_1

tana==40cos2a=

{sin2a+cos2a=1

因為aE(0，5),所以cosa=0.

乙5

故答案為：9

【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.

14.(1分)圓％2+y2+4%=0與圓％2+y2+4y=0的公共弦長為.

【答案】2V2

【解析】【解答】設(shè)圓Cl：/+y2+4%=0與圓。2：%2+y2+4y=0交于4,B兩點

把兩圓方程相減，化簡得％-y=0

即，力8：x—y=0

圓心的(-2,0)到直線AB的距離日=曾=&，又勺=2

V2

2_______

22

而(嘮1)+d=r2,所以|AB|=2汗-d=2近

故答案為：2企

【分析】】先求兩圓公共弦方程，再利用弦心距，弦長，半徑之間的關(guān)系求解.

15.(2分)設(shè)隨機事件A、B,已知PQ4)=0.4,P(B|4)=0.3,P(B|q)=0.2,則

P(A8)=,P(B)=.

【答案】0.12；0.24

P(AB)

【解析】【解答】P(BA)=~PW=0.3=P(AB)=0.3P(A)=0.3x0.4=0.12,

P(而)

P(BA)=0.2nP(/B)=0.2P(A)=0.2x(1-0.4)

"W=0.12,

P⑻=P(AB)+P(AB)=0.12+0.12=0.24.

故答案為：0.12；0.24.

【分析】根據(jù)條件概率的計算公式求出PG4B)=0.3和P(彳B)=0.2，P(B)=P(AB)+P(AB)=

0.24,即可得到答案.

x2

16.(1分)已知曲線Ci：y=e+x,C2：y=-x+2x+a(a>0),若有且只有一條直線同時與

Ci，C2都相切，則&=.

【答案】1

【解析】【解答】設(shè)，與的相切于PQi，靖1+/)，與C2相切于點Q(%2，-xi+2x2+a),由Ci：y=

ex+x,得丫'=/+1,則與I相切于點P的切線方程為:y—eX1-Xi=(eX1+l)(x—Xj).即丁=

%1X1X1

%(1+e)—xre+e,

由。2：y=—/+2X+Q,y'=—2%+2,則與C2相切于點P的切線方程為：丫+好一2%2-0=

(-2X2+2)(x—汽2)，即y=-2X2X+娉+2x+a,y=x(2-2x2)+a+以，

因為兩切線重合，所以，1+產(chǎn)=2-2外①，e%-久1西=a+君②，由①得

刈=土盧，代入②得，4(1-/)六=4a+l-2e/+e2xi,化簡得，

乙Z

e2xi—6eX1+=—1—4a,明顯可見，=0,a=1時等式成立.

故答案為：1

【分析】設(shè)出直線與兩條曲線的切點坐標(biāo)，分別求出曲線在切點處的切線方程，再利用兩個方程所

表示的直線重合，建立方程組求解.

閱卷人

四、解答題(共6題；共65分)

得分

17.(10分)已知等比數(shù)列｛斯｝的各項均為正值，ci3是4a1、2a2的等差中項，a5=32,記"=

log2a2n-1?

(1)(5分)求數(shù)列｛a4｝和抄n｝的通項公式;

(2)(5分)設(shè)數(shù)列I｛懸R的前n項和為〃，證明：Tn<\.

【答案】(1)解：設(shè)數(shù)列｛每｝的公比為q,則q>0,

.,r(4a4-2aq=2aq2,?

由題意知｛zo喋2a3,可得］xadx=32x,解得f/

5-(q>0”

n*1n2n1

所以，an=2-2-=2，bn=\og22-=2n-l.

11111

（2）證明：因為bnbn+i=（2n—l）（2n+l）=^（石匚彳一而不!），

所以的=京1_/）+&_3+~+（2^1_2^）]=京1_2^）＜去

4%+2a、q=Za1q12

{a]=32解得

V=）即可求得數(shù)列和的通項公式；

3=2

（2）求得益匚=；（焉-焉），利用裂項相消法可證得結(jié)論成立?

18.（10分）如圖所示，在等邊△ABC中，AB=6,M,N分別是力B,AC上的點，且AM=AN=

4,E是BC的中點，4E交MN于點F.以MN為折痕把△AMN折起，使點4到達點P的位置（0＜

乙PFE＜冗）,連接PB,PE,PC.

（1）（5分）證明：MN1PE；

（2）（5分）設(shè)點P在平面4BC內(nèi)的射影為點Q,若二面角P—MN—B的大小為：兀，求直線QC與

平面P8C所成角的正弦值.

【答案】（1）證明：因為△ABC是等邊三角形，E是BC的中點，

所以4E1BC,

因為AM=AN=4,所以MN||BC,所以MN1AE,

可得MN_LPF,MNJ.FE，又PFCFE=F,

所以MN1平面PFE,

又PEu平PFE,

所以MN1PE.

（2）因為MN1PF,MN1FE，

所以二面角P-MN-B的平面角為NPPE,

所以NPFE=冬，可得ZPF4=S，

由第(1)問知，MN_L平面PFE,MNu平面ABC,所以平面ABC_1_平面PFE,

又因為平面PFE0平面ABC=AE,

所以點P在平面ABC內(nèi)的射影Q在4E上，

因為PF=2百，所以QF=g,PQ=3,

過F作直線“IPQ交PE于點K,以F為坐標(biāo)原點,

以前，F(xiàn)E,麗的方向分別為x,y,z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

P(0,-V3,3),C(-3,V3,0).E(0,V3,0),Q(0,一百，0),

QC=(-3,2V3,0)，PC=(-3,2b，-3)，而=(0,2遮，-3),

設(shè)平面PBC的法向量為有=(%,y,z),

則卜?汽■=0,?卜3x+2遮y—3z=0

人不.房=0I2島-3z=0

令z=2,可得元=(0,V3,2),

所以Icos(玩’論=就面昔,

所以直線QC與平面PBC所成角的正弦值為季.

【解析】【分析】(1)折疊前AE1BC,折疊后MN1P凡MN1FE,從而MN_L平面PFE,所以

MN1PE；

(2)由題意得二面角P-MN-B的平面角為4PFE,另一方面平面4BC_L平面PFE,從而可以確定

Q的位置，以麗，F(xiàn)E,就的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系即可求解.

19.(10分)如圖所示，在平面四邊形4BCD中，AB=2,BD=V3，/-ABD=/.ACD=設(shè)

/.CAD=0,0E(0,1).

B

（1）（5分）若。=為求CD的長；

（2）（5分）當(dāng)。為何值時，ABC。的面積取得最大值，并求出該最大值.

【答案】（1）解：在△4B0中，由余弦定理可得，

AD2=AB2+BD2-2AB-BD-cos乙18。=4+3-2X28X亨=1，

?\AD=1,

CDAD

在△ACO中，由正弦定理可得,

sinZ-CAD-sinZ.ACDf

Ixsin5

CD=_=V2;

s哦o

（2）解：由第（1）問知，在△ABD中，AB=2,BD=V3,AD=1，

■JT

：.AB2=AD2+BD2,：.^ADB=彳

DCAD

在△ACO中，由正弦定理可得,

sinZ.CAD-sin乙AC。'

lxsin0

：.DC=2sin0,

si琮

:*S^BCD—'^DC,BD-sinzBDC=V3sin0-sin（亨—0）

V31—cos20

x

乙乙IT2

=1sin20+*cos28-第=亨sin（2。+奇一冬

???ee（o,f）,:.2e+le^,晉,

.?.當(dāng)20+1=今即。共時，sin（20+1）=1,

此時△BCD面積的最大值為第一字=景

【解析】【分析】（1）在4ABD中，根據(jù)余弦定理求出4。=1,在aACD中，利用正弦定理即可求出

CD

解△和△根據(jù)用。表示出△的面積利用三角

(2)ABDACD,BCDSABCD^^DCBD-sinzBDC,

恒等變換和三角函數(shù)性質(zhì)即可求其最大值.

20.(15分)某生物實驗室用小白鼠進行新冠病毒實驗，已知6只小白鼠中有1只感染新冠病毒且無

患病癥狀，將它們分別單獨封閉隔離到6個不同的操作間內(nèi)，由于工作人員的疏忽，沒有記錄感染

新冠病毒的小白鼠所在的操作間，需要通過化驗血液來確定.血液化驗結(jié)果呈陽性即為感染新冠病

毒，呈陰性即沒有感染新冠病毒.下面是兩種化驗方案：方案甲：逐個化驗，直到能確定感染新冠

病毒的小白鼠為止.

方案乙：先任取4只，將它們的血液混在一起化驗.若結(jié)果呈陽性，則表明感染新冠病毒的小白

鼠為這4只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定感染新冠病毒的小白鼠為止；若結(jié)果呈陰性，

則在另外2只中任取1只化驗.

(1)(5分)求采用方案甲所需化驗的次數(shù)為4次的概率；

(2)(5分)用X表示采用方案乙所需化驗的次數(shù)，求X的分布列：

(3)(5分)求采用方案乙所需化驗的次數(shù)少于采用方案甲所需化驗的次數(shù)的概率.

【答案】(1)解：記“采用方案甲所需化驗的次數(shù)為4次”為事件4則

(2)解：X可能的取值為2,3,4,

pv_A_C5,C5_1_O')_CX3X1_1_4、一一

"CX-2)-蘆+-4-j--2＞「p(Xx-3)-54d2-m"X-4)--4-2-

/1

c6C6C4L64t6/i4

所以X的分布列為

X234

111

P

263

(3)解：設(shè)采用方案甲所需化驗的次數(shù)為3,4,5分別為事件713,44,人5,

雇[1Ac

pg)=旨),p(4)=芯pc%)=譚

，6月6

設(shè)采用方案乙所需化驗的次數(shù)為2,3,4分別為事件B2,B3,B4,

由第(2)間可知P(B2)=4，P(B3)=I,P(B4)=I，

設(shè)采用方案乙所需化驗的次數(shù)少于采用方案甲所需化驗的次數(shù)為事件C,

由題意可知％與小，4，4相互獨立，B3與41，45相互獨立，B4與4相互獨立，則

P(C)=P(.A3B2-)+P(.AM+「(4%)+P(4B3)+PU5B3)+PP5B4)

11,11,11,11,11,1119

=6X2+6X2+3X2+6X6+6X3+3X3=36，

所以采用方案乙所需化驗的次數(shù)少于采用方案甲所需化驗的次數(shù)的概率為黑.

【解析】【分析】(1)代古典概型概率計算公式計算即可；

(2)先確定X可能的取值，再求X取每個值時相應(yīng)的概率；

(3)事件“采用方案乙所需化驗的次數(shù)少于采用方案甲所需化驗的次數(shù)”可拆分為方案乙化驗2次方

案甲至少化驗3次，方案乙化驗3次甲方案至少化驗4次和方案乙化驗4次方案甲化驗5次三個互

斥事件，按相應(yīng)公式即可求解

21.(10分)已知橢圓C：出+方=l(a>b>0)的離心率為④，圓Q：%2+72=3與橢|§^有且僅

有兩個交點且都在y軸上.

(1)(5分)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)(5分)已知直線1過橢圓C的左頂點A,且1交圓Ci于M、N兩點，P為橢圓C上一點，

若以PM為直徑的圓過點A,求△「/!1可面積的最大值.

(C1

【答案】(1)解：由題意知，]bl國2,

<a2=B

解得a=2,b=百，...橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為W+^=i；

43

(2)解：由題意知4(—2,0),：以PM為直徑的圓過點A,

由題意可知直線AP的斜率存在且不為0,故設(shè)直線4P的方程為y=k(x+2)(k*0),

則直線1的方程為y=-[(久+2)，

y=k(x+2)

設(shè)P(x。，y。)，由"2得(3+4/￡2)X2+16/￡2%+16卜2-12=0,

(T+v3=1

???點4(-2,0)為4P與C的一個交點,

9

16d一126-8k2

2%，解得%o=

03+加3+4k2

：22121+

'\AP\=Vl+fc|x04-2|=y/l+k\+2|=^^->

3+4/3+4/

直線1的方程變形為％+ky+2=0,設(shè)原點到直線1的距離為d,

」.2,_____3k2一1

一]---2二|MN|=2<3-d2=2=2

qi+k1+k2

方法一:

:.S"MN=f\AP\■\MN\=12扇不=12弘2-1

23+4/J（3+4后）

設(shè)3k2-1=t>0,貝I」/=亨，

:.S&PMN-36----------2=36——,

J（13+4t）/J16t+等+104

：16t+竿+10422Jl6t?罕+104=208（當(dāng)且僅當(dāng)、=苧時，等號成立）,

可得△P例N面積的最大值為喈.

方法二：

??114nl?■?I12J3k-1

,.S&PMN=2\AP\'|MN|=n----'

z3+4fc

設(shè)J3k2_i=t>o,則必=/1，

_36t_36

?'.5c"時'=［耳石=石譯'

...41+弟24后，,5“用匚當(dāng)|3(當(dāng)且僅當(dāng)1=半時，等號成立)，

可得△PMN面積的最大值為爵.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于a、b、c的方程組求出a、b即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)根據(jù)圓的直徑所對的圓周角為直角可知I1AP,設(shè)AP直線4P的方程為、=k(%+2)(k。0),直

線1的方程為y=-*(%+2),聯(lián)立直線AP和橢圓方程，利用韋達定理求出P的橫坐標(biāo)，利用弦長

公式求出|AP|,求出原點O到直線1的距離，根據(jù)圓的弦長公式求出|MN|,根據(jù)SMMN=4|AP|?

|MN|即可表示出△PMN的面積，換元構(gòu)造利用不等式即可求其最大值.

22.(10分)已知函數(shù)/(%)=21nx—x+/.

⑴(5分)當(dāng)a=1時,求-尤)的單調(diào)區(qū)間;

(2)(5分)若/(%)有兩個極值點勺，犯，且久1<%2,從下面兩個結(jié)論中選一個證明.

①’4)?內(nèi))<備_2；

Xo-%]vu

②/(%2)<|?+21rl2—2.

【答案】(1)解：/(X)=,_]—緊一.2；歹a(X>0),

當(dāng)。=反時'/'(%)=--+2%一定=_4%28X+3=_(2x-l)(2x-3).

x24x24x2

令/(%)>0，解得3<%<I；令f(%)<0?解得0V%V或%>I，

所以/(x)的單增區(qū)間為&,|);單減區(qū)間為(0,1),(|,+00).

(2)證明①：由題意知，巧，冷是“2-2%+￡1=0的兩根，則二2

c/i1、，、一叼)

/(x2)-/(x1)_2(%-%)—+,

-^2-xl—x2-xl

將印2=。代入得，轡蕓詈=”|泮一2,

要證明""2)一/(叼)<2_2

%2一%1限

只需證明迎至警2-2<之一2,

%2—%]Vu

ln%2—In%1

即%2一%1

因為0V/V外，所以％2->0，

只需證明】吟<蕓=伊-除,

X1vxlx2\X1yjx2

令后=a則只需證明Indvt—分即21nt—t+：vo(t>l),

令九(t)=2\nt—t4-1,t>1?

,、2

入"、_2q1__(t—1)/n

八Q)=7一1-灑=f2<

所以h(t)在(I,+8)上單調(diào)遞減，可得h(t)<Ml)=o,

所以21nt—t+y<0(t>1),

/(>2)-/(叼)2?

綜上可知,

-X2-X1-

證明②：/(x)=--1-4==/+)-a(X>0)

xL

X乙X

設(shè)g(%)=_/+2x—a,

因為/(X)有兩個極值點,所以「藍.皆0

解得0Va<1,

因為g(2)=—a<0,g⑴=1—a>0,

所以1V%2<2,

/3)—|a=21詐一%2+為一|以

由題意可知—慰+2%2—Q=0，

—

可得a="%2+2冷代入得，/(%2)|?=21nx2+稱塔一學(xué)％2+2,

210

令九(%)=21nx4-x2——YX+2(1<x<2),

上、2,4102(x-l)(2x-3)

似%)=土+/一至=冬~^一--

當(dāng)工€(1,|),九3<0,所以九(X)在(1,1)上單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(|,2),h'(x)>0,所以/i(x)在(|,2)上單調(diào)速增，

因為1<小V2,所以八(%2)Vmax{九(1),九(2)},

由九(1)=h(2)=21n2-2,

可得/i(2)_/i(l)=2(n8：ne2)>o,所以以2)>八(1),

所以八(久2)<似2),

所以/(不)一"<21n2-2.即f(42)<|a+21n2-2.

【解析】【分析】(1)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；

(2)若選①，不等式轉(zhuǎn)化為證明堂嬰1<白=送餐，變形為證明1哈〈號i=

，1^X2X1X1Vxlx2

身通過構(gòu)造函數(shù)h(t)=21nt—t+9,t>l即可證明；

若選②，首先根據(jù)函數(shù)有兩個極值點，證得1＜外＜2,f(x2-)-^a=2\nx2-x2+^--^a,再

D42°

變換為f(X2)—|a=21n%2+|好—學(xué)冷+2,通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，即可證明.

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：94分

客觀題（占比）25.0(26.6%)

分值分布

主觀題（占比）69.0(73.4%)

客觀題（占比）13(59.1%)

題量分布

主觀題（占比）9(40.9%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

填空題4(18.2%)5.0(5.3%)

解答題6(27.3%)65.0(69.1%)

多選題4(18.2%)8.0(8.5%)

單選題8(36.4%)16.0(17.0%)

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號難易度占比

1普通(72.7%)

2容易(18.2%)

3困難(9.1%)

4、試卷知識點分析

序號知識點（認(rèn)知水平）分值（占比）對應(yīng)題號

1空間中直線與平面之間的位置關(guān)系2.0(2.1%)10

2古典概型及其概率計算公式17.0(18.1%)5,20

3等比數(shù)列的通項公式10.0(10.6%)17

4集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題2.0(2.1%)2

5等差數(shù)列的通項公式12.0(12.8%)3,17

6直線與圓錐曲線的綜合問題10.0(10.6%)21

7超幾何分布15.0(16.0%)20

8幕函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用2.0(2.1%)9

9復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性2.0(2.1%)12

10相互