第1頁〔共27頁〕2023高考理科數(shù)學(xué)模擬試題〔一〕考試時(shí)間：120分鐘考前須知：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第一卷〔選擇題〕一、選擇題(此題共12小題，每題5分，共60分，每題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意)1．集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，那么M∩N=〔〕A．{〔0，1〕} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥0} D．{x|x≥1}2．復(fù)數(shù)z=的共軛復(fù)數(shù)的虛部為〔〕A．﹣i B．﹣ C．i D．3．命題p：存在向量，，使得?=||?||，命題q：對任意的向量，，，假設(shè)?=?，那么=．那么以下判斷正確的選項(xiàng)是〔〕A．命題p∨q是假命題 B．命題p∧q是真命題C．命題p∨〔￢q〕是假命題 D．命題p∧〔￢q〕是真命題4．2023年5月30日是我們的傳統(tǒng)節(jié)日﹣﹣〞端午節(jié)〞，這天小明的媽媽為小明煮了5個(gè)粽子，其中兩個(gè)臘肉餡三個(gè)豆沙餡，小明隨機(jī)取出兩個(gè)，事件A=“取到的兩個(gè)為同一種餡〞，事件B=“取到的兩個(gè)都是豆沙餡〞，那么P〔B|A〕=〔〕A． B． C． D．5．銳角α的終邊上一點(diǎn)P〔sin40°，1+cos40°〕，那么α等于〔〕A．10° B．20° C．70° D．80°6．函數(shù)，假設(shè)，b=f〔π〕，c=f〔5〕，那么〔〕A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b7．閱讀程序框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，那么輸入的實(shí)數(shù)x的取值范圍是〔〕A．〔﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，2] D．[2，+∞〕8．一個(gè)幾何體的三視圖如下圖，那么這個(gè)幾何體的體積為〔〕A． B． C． D．9．在約束條件下，當(dāng)6≤s≤9時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=x﹣y的最大值的變化范圍是〔〕A．[3，8] B．[5，8] C．[3，6] D．[4，7]10．正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=3，那么的最小值為〔〕A．1 B． C． D．211．a(chǎn)∈R，假設(shè)f〔x〕=〔x+〕ex在區(qū)間〔0，1〕上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么a的取值范圍為〔〕A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)≤012．設(shè)橢圓C：+=1〔a＞b＞0〕的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其焦距為2c，點(diǎn)Q〔c，〕在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)P是橢圓C上的動點(diǎn)，且|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，那么橢圓離心率的取值范圍是〔〕A．〔，〕 B．〔，〕 C．〔，〕 D．〔，〕第二卷〔非選擇題，共90分〕二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分)13．，那么二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)是．14．函數(shù)f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕〔A＞0，ω＞0，0＜φ＜π〕的圖象關(guān)于y軸對稱，該函數(shù)的局部圖象如下圖，△PMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形，且，那么f〔1〕的值為．15．在平面直角坐標(biāo)系中，有△ABC，且A〔﹣3，0〕，B〔3，0〕，頂點(diǎn)C到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之差為4，那么頂點(diǎn)C的軌跡方程為．16．一個(gè)長，寬，高分別為1、2、3密封且透明的長方體容器中裝有局部液體，如果任意轉(zhuǎn)動該長方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍是．三、解答題(共6小題，共70分，解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．〔12分〕數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=1﹣，其中n∈N*．〔Ⅰ〕設(shè)bn=，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式an；〔Ⅱ〕設(shè)Cn=，數(shù)列{CnCn+2}的前n項(xiàng)和為Tn，是否存在正整數(shù)m，使得Tn＜對于n∈N*恒成立，假設(shè)存在，求出m的最小值，假設(shè)不存在，請說明理由．18．〔12分〕從某校高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試成績中，隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的成績得到如下圖的頻率分布直方圖：〔1〕根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校高三學(xué)生本次數(shù)學(xué)考試的平均分；〔2〕假設(shè)用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在[30，50〕和[130，150]的學(xué)生中共抽取6人，該6人中成績在[130，150]的有幾人？〔3〕在〔2〕抽取的6人中，隨機(jī)抽取3人，計(jì)分?jǐn)?shù)在[130，150]內(nèi)的人數(shù)為ξ，求期望E〔ξ〕．19．〔12分〕如圖，平面QBC與直線PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．〔Ⅰ〕求證：PA∥平面QBC；〔Ⅱ〕PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．20．〔12分〕橢圓C：+=1〔a＞b＞0〕，圓Q：〔x﹣2〕2+〔y﹣〕2=2的圓心Q在橢圓C上，點(diǎn)P〔0，〕到橢圓C的右焦點(diǎn)的距離為．〔1〕求橢圓C的方程；〔2〕過點(diǎn)P作互相垂直的兩條直線l1，l2，且l1交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，直線l2交圓Q于C，D兩點(diǎn)，且M為CD的中點(diǎn)，求△MAB的面積的取值范圍．21．〔12分〕設(shè)函數(shù)f〔x〕=x2+aln〔x+1〕〔a為常數(shù)〕〔Ⅰ〕假設(shè)函數(shù)y=f〔x〕在區(qū)間[1，+∞〕上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；〔Ⅱ〕假設(shè)函數(shù)y=f〔x〕有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，求證：．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題記分22．〔10分〕直角坐標(biāo)系xOy和極坐標(biāo)系Ox的原點(diǎn)與極點(diǎn)重合，x軸正半軸與極軸重合，單位長度相同，在直角坐標(biāo)系下，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)〕．〔1〕在極坐標(biāo)系下，曲線C與射線和射線分別交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積；〔2〕在直角坐標(biāo)系下，直線l的參數(shù)方程為〔t為參數(shù)〕，求曲線C與直線l的交點(diǎn)坐標(biāo)．23．〔10分〕函數(shù)f〔x〕=|2x+1|﹣|2x﹣3|，g〔x〕=|x+1|+|x﹣a|〔1〕求f〔x〕≥1的解集〔2〕假設(shè)對任意的t∈R，都存在一個(gè)s使得g〔s〕≥f〔t〕．求a的取位范圍．

2023高考理科數(shù)學(xué)模擬試題〔一〕參考答案與試題解析一．選擇題〔共12小題〕1．集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，那么M∩N=〔〕A．{〔0，1〕} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥0} D．{x|x≥1}【分析】求出M中x的范圍確定出M，求出N中y的范圍確定出N，找出兩集合的交集即可．【解答】解：由M中y=x2+1，得到x∈R，即M=R，由N中y=≥0，得到N={x|x≥0}，那么M∩N={x|x≥0}，應(yīng)選：C．【點(diǎn)評】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解此題的關(guān)鍵．2．復(fù)數(shù)z=的共軛復(fù)數(shù)的虛部為〔〕A．﹣i B．﹣ C．i D．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，進(jìn)一步求出得答案．【解答】解：∵z==，∴．∴復(fù)數(shù)z=的共軛復(fù)數(shù)的虛部為．應(yīng)選：D．【點(diǎn)評】此題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的根本概念，是根底題．3．命題p：存在向量，，使得?=||?||，命題q：對任意的向量，，，假設(shè)?=?，那么=．那么以下判斷正確的選項(xiàng)是〔〕A．命題p∨q是假命題 B．命題p∧q是真命題C．命題p∨〔￢q〕是假命題 D．命題p∧〔￢q〕是真命題【分析】命題p：存在同方向向量，，使得?=||?||，即可判斷出真假．命題q：取向量=〔1，0〕，=〔0，1〕，=〔0，2〕，滿足?=?，那么≠，即可判斷出真假．再利用復(fù)合命題真假的判定方法即可得出．【解答】解：命題p：存在同方向向量，，使得?=||?||，真命題．命題q：取向量=〔1，0〕，=〔0，1〕，=〔0，2〕，那么?=?，≠，因此是假命題．那么以下判斷正確的選項(xiàng)是：p∧〔￢q〕是真命題．應(yīng)選：D．【點(diǎn)評】此題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、復(fù)合命題的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于根底題．4．2023年5月30日是我們的傳統(tǒng)節(jié)日﹣﹣〞端午節(jié)〞，這天小明的媽媽為小明煮了5個(gè)粽子，其中兩個(gè)臘肉餡三個(gè)豆沙餡，小明隨機(jī)取出兩個(gè)，事件A=“取到的兩個(gè)為同一種餡〞，事件B=“取到的兩個(gè)都是豆沙餡〞，那么P〔B|A〕=〔〕A． B． C． D．【分析】求出P〔A〕==，P〔AB〕==，利用P〔B|A〕=，可得結(jié)論．【解答】解：由題意，P〔A〕==，P〔AB〕==，∴P〔B|A〕==，應(yīng)選：A．【點(diǎn)評】此題考查條件概率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用公式是關(guān)鍵．5．銳角α的終邊上一點(diǎn)P〔sin40°，1+cos40°〕，那么α等于〔〕A．10° B．20° C．70° D．80°【分析】由題意求出PO的斜率，利用二倍角公式化簡，通過角為銳角求出角的大小即可．【解答】解：由題意可知sin40°＞0，1+cos40°＞0，點(diǎn)P在第一象限，OP的斜率tanα===cot20°=tan70°，由α為銳角，可知α為70°．應(yīng)選C．【點(diǎn)評】此題考查直線的斜率公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡求值，考查計(jì)算能力．6．函數(shù)，假設(shè)，b=f〔π〕，c=f〔5〕，那么〔〕A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b【分析】求出函數(shù)f〔x〕的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而比擬函數(shù)值的大小即可．【解答】解：f〔x〕的定義域是〔0，+∞〕，f′〔x〕=﹣1﹣=﹣＜0，故f〔x〕在〔0，+∞〕遞減，而5＞π＞，∴f〔5〕＜f〔π〕＜f〔〕，即c＜b＜a，應(yīng)選：A．【點(diǎn)評】此題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道根底題．7．閱讀程序框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，那么輸入的實(shí)數(shù)x的取值范圍是〔〕A．〔﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，2] D．[2，+∞〕【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計(jì)算分段函數(shù)f〔x〕=的函數(shù)值．根據(jù)函數(shù)的解析式，結(jié)合輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，即可得到答案．【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計(jì)算分段函數(shù)f〔x〕=的函數(shù)值．又∵輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，∴x∈[﹣2，﹣1]應(yīng)選B【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是選擇結(jié)構(gòu)，其中根據(jù)函數(shù)的流程圖判斷出程序的功能是解答此題的關(guān)鍵．8．一個(gè)幾何體的三視圖如下圖，那么這個(gè)幾何體的體積為〔〕A． B． C． D．【分析】這個(gè)幾何體由半個(gè)圓錐與一個(gè)四棱錐組合而成，從而求兩個(gè)體積之和即可．【解答】解：這個(gè)幾何體由半個(gè)圓錐與一個(gè)四棱錐組合而成，半個(gè)圓錐的體積為××π×1×=；四棱錐的體積為×2×2×=；故這個(gè)幾何體的體積V=；應(yīng)選D．【點(diǎn)評】此題考查了學(xué)生的空間想象力與計(jì)算能力，屬于根底題．9．在約束條件下，當(dāng)6≤s≤9時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=x﹣y的最大值的變化范圍是〔〕A．[3，8] B．[5，8] C．[3，6] D．[4，7]【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，由z=x﹣y得y=x﹣z，利用平移即可得到結(jié)論．【解答】解：約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：〔陰影局部〕．由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直線y=x﹣z，s=6時(shí)由平移可知當(dāng)直線y=x﹣z，經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=x﹣z的截距最小，此時(shí)z取得最大值，x﹣y取得最大值；由，解得A〔5，1〕代入z=x﹣y得z=5﹣1=4，即z=x﹣y的最大值是4，s=9時(shí)由平移可知當(dāng)直線y=x﹣z，經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線y=x﹣z的截距最小，此時(shí)z取得最大值，x﹣y取得最大值；由解得B〔8，1〕代入z=x﹣y得z=8﹣1=7，即z=x﹣y的最大值是7，目標(biāo)函數(shù)z=x﹣y的最大值的變化范圍是：[4，7]．應(yīng)選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的根本方法．10．正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=3，那么的最小值為〔〕A．1 B． C． D．2【分析】由可得，代入，然后利用根本不等式求最值．【解答】解：∵a+b=3，∴====．當(dāng)且僅當(dāng)，即a=，b=時(shí)等號成立．應(yīng)選：C．【點(diǎn)評】此題考查利用根本不等式求最值，關(guān)鍵是掌握該類問題的求解方法，是中檔題．11．a(chǎn)∈R，假設(shè)f〔x〕=〔x+〕ex在區(qū)間〔0，1〕上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么a的取值范圍為〔〕A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)≤0【分析】求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用極值、函數(shù)單調(diào)性，即可確定a的取值范圍．【解答】解：∵f〔x〕=〔x+〕ex，∴f′〔x〕=〔〕ex，設(shè)h〔x〕=x3+x2+ax﹣a，∴h′〔x〕=3x2+2x+a，a＞0，h′〔x〕＞0在〔0，1〕上恒成立，即函數(shù)h〔x〕在〔0，1〕上為增函數(shù)，∵h(yuǎn)〔0〕=﹣a＜0，h〔1〕=2＞0，∴h〔x〕在〔0，1〕上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x0，使得f′〔x0〕=0，且在〔0，x0〕上，f′〔x〕＜0，在〔x0，1〕上，f′〔x〕＞0，∴x0為函數(shù)f〔x〕在〔0，1〕上唯一的極小值點(diǎn)；a=0時(shí)，x∈〔0，1〕，h′〔x〕=3x2+2x＞0成立，函數(shù)h〔x〕在〔0，1〕上為增函數(shù)，此時(shí)h〔0〕=0，∴h〔x〕＞0在〔0，1〕上恒成立，即f′〔x〕＞0，函數(shù)f〔x〕在〔0，1〕上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)f〔x〕在〔0，1〕上無極值；a＜0時(shí)，h〔x〕=x3+x2+a〔x﹣1〕，∵x∈〔0，1〕，∴h〔x〕＞0在〔0，1〕上恒成立，即f′〔x〕＞0，函數(shù)f〔x〕在〔0，1〕上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)f〔x〕在〔0，1〕上無極值．綜上所述，a＞0．應(yīng)選：A．【點(diǎn)評】此題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．12．設(shè)橢圓C：+=1〔a＞b＞0〕的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其焦距為2c，點(diǎn)Q〔c，〕在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)P是橢圓C上的動點(diǎn)，且|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，那么橢圓離心率的取值范圍是〔〕A．〔，〕 B．〔，〕 C．〔，〕 D．〔，〕【分析】點(diǎn)Q〔c，〕在橢圓的內(nèi)部，，|PF1|+|PQ|=2a﹣|PF2|+|PQ|，由﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且|QF2|=，要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c．【解答】解：∵點(diǎn)Q〔c，〕在橢圓的內(nèi)部，∴，?2b2＞a2?a2＞2c2．|PF1|+|PQ|=2a﹣|PF2|+|PQ|又因?yàn)椹亅QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且|QF2|=，要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c，，那么橢圓離心率的取值范圍是〔，〕．應(yīng)選：B【點(diǎn)評】此題考查了橢圓的方程、性質(zhì)，橢圓的離心率，轉(zhuǎn)化思想是解題關(guān)鍵，屬于難題．二．填空題〔共4小題〕13．，那么二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)是240．【分析】利用定積分求出a，寫出展開式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為0，即可得出結(jié)論．【解答】解：=sinx=2，那么二項(xiàng)式=展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C6r令，求得r=4，所以二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)是×24=240．故答案為：240．【點(diǎn)評】此題考查定積分知識的運(yùn)用，考查二項(xiàng)式定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．14．函數(shù)f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕〔A＞0，ω＞0，0＜φ＜π〕的圖象關(guān)于y軸對稱，該函數(shù)的局部圖象如下圖，△PMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形，且，那么f〔1〕的值為0．【分析】由題意，求出結(jié)合函數(shù)的圖象，圖象關(guān)于y軸對稱，φ=，△PMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形，可得|PM|?sin45°=|MN|，且，求解|MN|和A，即得函數(shù)f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕【解答】解：由題意，圖象關(guān)于y軸對稱，φ=，∵△PMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形，可得|PM|?sin45°=|MN|，且，解得：|MN|=2，|PM|=在等腰三角形PMN中，可求的△PMN的高為1，即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)是1，故得A=1，T=2|MN|=4，∴∴函數(shù)f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕=sin〔〕=，當(dāng)x=1時(shí)，即f〔1〕=cos=0．故答案為0．【點(diǎn)評】此題主要考查利用y=Asin〔ωx+φ〕的圖象特征，由函數(shù)y=Asin〔ωx+φ〕的局部圖象求解析式，屬于中檔題．15．在平面直角坐標(biāo)系中，有△ABC，且A〔﹣3，0〕，B〔3，0〕，頂點(diǎn)C到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之差為4，那么頂點(diǎn)C的軌跡方程為=1〔x≥2〕．【分析】利用A〔﹣3，0〕，B〔3，0〕，頂點(diǎn)C到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之差為4，由雙曲線的定義可得點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支，2a=4，c=3，求出b，即可求出點(diǎn)C的軌跡方程．【解答】解：∵A〔﹣3，0〕，B〔3，0〕，頂點(diǎn)C到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之差為4，∴由雙曲線的定義可得點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支，2a=4，c=3，∴a=2，b=，∴點(diǎn)P的軌跡方程為=1〔x≥2〕，故答案為=1〔x≥2〕．【點(diǎn)評】此題考查點(diǎn)C的軌跡方程，考查雙曲線的定義，正確運(yùn)用雙曲線的定義是關(guān)鍵．16．一個(gè)長，寬，高分別為1、2、3密封且透明的長方體容器中裝有局部液體，如果任意轉(zhuǎn)動該長方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍是〔，〕．【分析】畫出長方體，使其一個(gè)頂點(diǎn)放在桌面上，容易觀察出液體體積何時(shí)取得最小值和最大值．【解答】解：長方體ABCD﹣EFGH，假設(shè)要使液面不為三角形，那么液面必須高于平面EHD，且低于平面AFC；而當(dāng)平面EHD平行水平面放置時(shí)，假設(shè)滿足上述條件，那么任意轉(zhuǎn)動該長方體，液面的形狀都不可能是三角形；所以液體體積必須大于三棱柱G﹣EHD的體積，并且小于長方體ABCD﹣EFGH體積﹣三棱柱B﹣AFC體積1﹣=，故答案為：〔，〕．【點(diǎn)評】此題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征以及幾何體的體積求法問題，也考查了空間想象能力，是難題．三．解答題〔共7小題，總分值70分〕17．〔12分〕數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=1﹣，其中n∈N*．〔Ⅰ〕設(shè)bn=，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式an；〔Ⅱ〕設(shè)Cn=，數(shù)列{CnCn+2}的前n項(xiàng)和為Tn，是否存在正整數(shù)m，使得Tn＜對于n∈N*恒成立，假設(shè)存在，求出m的最小值，假設(shè)不存在，請說明理由．【分析】〔Ⅰ〕利用遞推公式即可得出bn+1﹣bn為一個(gè)常數(shù)，從而證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到bn，進(jìn)而得到an；〔Ⅱ〕利用〔Ⅰ〕的結(jié)論，利用“裂項(xiàng)求和〞即可得到Tn，要使得Tn＜對于n∈N*恒成立，只要，即，解出即可．【解答】〔Ⅰ〕證明：∵bn+1﹣bn====2，∴數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列，又=2，∴bn=2+〔n﹣1〕×2=2n．∴2n=，解得．〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕可得，∴cncn+2==，∴數(shù)列{CnCn+2}的前n項(xiàng)和為Tn=…+=2＜3．要使得Tn＜對于n∈N*恒成立，只要，即，解得m≥3或m≤﹣4，而m＞0，故最小值為3．【點(diǎn)評】正確理解遞推公式的含義，熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和〞、等價(jià)轉(zhuǎn)化等方法是解題的關(guān)鍵．18．〔12分〕從某校高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試成績中，隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的成績得到如下圖的頻率分布直方圖：〔1〕根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校高三學(xué)生本次數(shù)學(xué)考試的平均分；〔2〕假設(shè)用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在[30，50〕和[130，150]的學(xué)生中共抽取6人，該6人中成績在[130，150]的有幾人？〔3〕在〔2〕抽取的6人中，隨機(jī)抽取3人，計(jì)分?jǐn)?shù)在[130，150]內(nèi)的人數(shù)為ξ，求期望E〔ξ〕．【分析】〔1〕由頻率分布直方圖計(jì)算數(shù)據(jù)的平均分；〔2〕計(jì)算樣本中分?jǐn)?shù)在[30，50〕和[130，150]的人數(shù)，根據(jù)分層抽樣原理求出抽取的人數(shù)；〔3〕計(jì)算抽取的6人中分?jǐn)?shù)在[130，150]的人數(shù)，求出ξ的所有取值與概率分布，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．【解答】解：〔1〕由頻率分布直方圖，得該校高三學(xué)生本次數(shù)學(xué)考試的平均分為0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92；…〔4分〕〔2〕樣本中分?jǐn)?shù)在[30，50〕和[130，150]的人數(shù)分別為6人和3人，所以抽取的6人中分?jǐn)?shù)在[130，150]的人有〔人〕；…〔8分〕〔3〕由〔2〕知：抽取的6人中分?jǐn)?shù)在[130，150]的人有2人，依題意ξ的所有取值為0、1、2，當(dāng)ξ=0時(shí)，；當(dāng)ξ=1時(shí)，；當(dāng)ξ=2時(shí)，；∴．…〔12分〕【點(diǎn)評】此題主要考查了頻率分布直方圖以及平均數(shù)和概率的計(jì)算問題，也考查了運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識解決簡單實(shí)際問題的能力，是根底題．19．〔12分〕如圖，平面QBC與直線PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．〔Ⅰ〕求證：PA∥平面QBC；〔Ⅱ〕PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．【分析】〔Ⅰ〕利用線面垂直的性質(zhì)定理及線面平行的判定定理即可證明；〔Ⅱ〕方法一：利用三角形的中位線定理及二面角的平面角的定義即可求出．方法二：通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量所成的夾角來求兩平面的二面角的平面角．【解答】解：〔I〕證明：過點(diǎn)Q作QD⊥BC于點(diǎn)D，∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC，又∵PA⊥平面ABC，∴QD∥PA，又∵QD?平面QBC，PA?平面QBC，∴PA∥平面QBC．〔Ⅱ〕方法一：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接AD，那么AD⊥BC，∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四邊形PADQ是矩形．設(shè)PA=2a，∴，PB=2a，∴．過Q作QR⊥PB于點(diǎn)R，∴QR==，==，取PB中點(diǎn)M，連接AM，取PA的中點(diǎn)N，連接RN，∵PR=，，∴MA∥RN．∵PA=AB，∴AM⊥PB，∴RN⊥PB．∴∠QRN為二面角Q﹣PB﹣A的平面角．連接QN，那么QN===．又，∴cos∠QRN===．即二面角Q﹣PB﹣A的余弦值為．〔Ⅱ〕方法二：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連AD，那么AD⊥BC．∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四邊形PADQ是矩形．分別以AC、AB、AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．不妨設(shè)PA=2，那么Q〔1，1，2〕，B〔0，2，0〕，P〔0，0，2〕，設(shè)平面QPB的法向量為．∵=〔1，1，0〕，=〔0，2，﹣2〕．∴令x=1，那么y=z=﹣1．又∵平面PAB的法向量為．設(shè)二面角Q﹣PB﹣A為θ，那么|cosθ|===又∵二面角Q﹣PB﹣A是鈍角∴．【點(diǎn)評】熟練掌握線面垂直的性質(zhì)定理及線面平行的判定定理、二面角的定義及通過建立空間直角坐標(biāo)系并利用平面的法向量所成的夾角來求二面角的平面角是解題的關(guān)鍵．20．〔12分〕橢圓C：+=1〔a＞b＞0〕，圓Q：〔x﹣2〕2+〔y﹣〕2=2的圓心Q在橢圓C上，點(diǎn)P〔0，〕到橢圓C的右焦點(diǎn)的距離為．〔1〕求橢圓C的方程；〔2〕過點(diǎn)P作互相垂直的兩條直線l1，l2，且l1交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，直線l2交圓Q于C，D兩點(diǎn)，且M為CD的中點(diǎn)，求△MAB的面積的取值范圍．【分析】〔1〕求得圓Q的圓心，代入橢圓方程，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，解方程可得a，b的值，進(jìn)而得到橢圓方程；〔2〕討論兩直線的斜率不存在和為0，求得三角形MAB的面積為4；設(shè)直線y=kx+，代入圓Q的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M的坐標(biāo)，求得MP的長，再由直線AB的方程為y=﹣x+，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，由三角形的面積公式，化簡整理，由換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得面積的范圍．【解答】解：〔1〕圓Q：〔x﹣2〕2+〔y﹣〕2=2的圓心為〔2，〕，代入橢圓方程可得+=1，由點(diǎn)P〔0，〕到橢圓C的右焦點(diǎn)的距離為，即有=，解得c=2，即a2﹣b2=4，解得a=2，b=2，即有橢圓的方程為+=1；〔2〕當(dāng)直線l2：y=，代入圓的方程可得x=2±，可得M的坐標(biāo)為〔2，〕，又|AB|=4，可得△MAB的面積為×2×4=4；設(shè)直線y=kx+，代入圓Q的方程可得，〔1+k2〕x2﹣4x+2=0，可得中點(diǎn)M〔，〕，|MP|==，設(shè)直線AB的方程為y=﹣x+，代入橢圓方程，可得：〔2+k2〕x2﹣4kx﹣4k2=0，設(shè)〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，可得x1+x2=，x1x2=，那么|AB|=?=?，可得△MAB的面積為S=???=4，設(shè)t=4+k2〔5＞t＞4〕，可得==＜=1，可得S＜4，且S＞4=綜上可得，△MAB的面積的取值范圍是〔，4]．【點(diǎn)評】此題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足橢圓方程，考查三角形的面積的范圍，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，以及三角形的面積公式，運(yùn)用換元法和函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．21．〔12分〕設(shè)函數(shù)f〔x〕=x2+aln〔x+1〕〔a為常數(shù)〕〔Ⅰ〕假設(shè)函數(shù)y=f〔x〕在區(qū)間[1，+∞〕上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；〔Ⅱ〕假設(shè)函數(shù)y=f〔x〕有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，求證：．【分析】〔Ⅰ〕原函數(shù)的值為正，得到導(dǎo)函數(shù)的值非負(fù)，從而求出參量的范圍；〔Ⅱ〕利用韋達(dá)定理，對所求對象進(jìn)行消元，得到一個(gè)新的函數(shù)，對該函數(shù)求導(dǎo)后，再對導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，通過對導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)的研究，得到導(dǎo)函數(shù)的最值，從而得到原函數(shù)的最值，即得到此題結(jié)論．【解答】解：〔Ⅰ〕根據(jù)題意知：f′〔x〕=在[1，+∞〕上恒成立．即a≥﹣2x2﹣2x在區(qū)間[1，+∞〕上恒成立．∵﹣2x2﹣2x在區(qū)間[1，+∞〕上的最大值為﹣4，∴a≥﹣4；經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)a=﹣4時(shí)，，x∈[1，+∞〕．∴a的取值范圍是[﹣4，+∞〕．〔Ⅱ〕在區(qū)間〔﹣1，+∞〕上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方程2x2+2x+a=0在區(qū)間〔﹣1，+∞〕上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．記g〔x〕=2x2+2x+a，那么有，解得．∴，．∴令．，記．∴，P’(-12)=-4，P’在使得p′〔x0〕=0．當(dāng)，p′〔x〕＜0；當(dāng)x∈〔x0，0〕時(shí)，p′〔x〕＞0．而k′〔x〕在單調(diào)遞減，在〔x0，0〕單調(diào)遞增，∵K∴當(dāng)x∈-∴k〔x〕在單調(diào)遞減，即．【點(diǎn)評】此題考查的是導(dǎo)數(shù)知識，重點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性、究極值和最值，難點(diǎn)是屢次連續(xù)求導(dǎo)，即二次求導(dǎo)，此題還用到消元的方法，難度較大．請考生在22、23兩題中任選一題作