關(guān)于空間解析幾何基本知識(shí)第1頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五2第一節(jié)一、空間直角坐標(biāo)系二、曲面及其方程的概念三、幾種常見的曲面及其方程空間解析幾何基本知識(shí)第七章第2頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五3Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧx軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)復(fù)習(xí)1.空間直角坐標(biāo)系第3頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五42.平面基本方程:一般式復(fù)習(xí)平面Ax+By+Cz=0通過坐標(biāo)原點(diǎn)；3.平面一般方程的幾種特殊情況：截距式第4頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五5平面過x

軸；平面//x

軸；平面Cz+D=0平行于xoy

坐標(biāo)面；平面過y

軸；平面//y

軸；平面By+D=0平行于xoz

坐標(biāo)面；平面Ax+D=0平行于yoz

坐標(biāo)面.平面過z

軸；平面//z

軸.第5頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五64.柱面方程的特征：只含兩個(gè)坐標(biāo)的方程一定是柱面方程，缺少哪個(gè)變量字母，母線就平行于哪個(gè)坐標(biāo)軸.二元方程都是柱面方程25第6頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五7引例.

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于

z軸的一切直線故在空間過此點(diǎn)作所形成的曲面稱為圓柱面.對(duì)任意z,平行

z

軸的直線l,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,三、柱面第7頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五8觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所這條定曲線C

叫(1)定義形成的曲面稱為柱面.柱面的準(zhǔn)線，直線L

叫柱面的母線.動(dòng)C一般的第8頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五9C平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所(1)定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C

叫柱面的準(zhǔn)線，直線L

叫柱面的母線.動(dòng)第9頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五10C平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所(1)定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C

叫柱面的準(zhǔn)線，直線L

叫柱面的母線.動(dòng)第10頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五11C平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所(1)定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C

叫柱面的準(zhǔn)線，直線L

叫柱面的母線.動(dòng)第11頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五12C平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所(1)定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C

叫柱面的準(zhǔn)線，直線L

叫柱面的母線.動(dòng)第12頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五13C平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所(1)定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C

叫柱面的準(zhǔn)線，直線L

叫柱面的母線.動(dòng)第13頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五14C平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所(1)定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C

叫柱面的準(zhǔn)線，直線L

叫柱面的母線.動(dòng)第14頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五15C平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所(1)定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C

叫柱面的準(zhǔn)線，直線L

叫柱面的母線.動(dòng)第15頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五16C平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所(1)定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C

叫柱面的準(zhǔn)線，直線L

叫柱面的母線.動(dòng)第16頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五17C平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所(1)定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C

叫柱面的準(zhǔn)線，直線L

叫柱面的母線.動(dòng)第17頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五18C平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所(1)定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C

叫柱面的準(zhǔn)線，直線L

叫柱面的母線.動(dòng)第18頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五19（2）求柱面方程設(shè)母線//z軸，準(zhǔn)線是xoy面上的曲線C:F(x,y)=0.設(shè)M(x,y,z)是柱面上的任一點(diǎn)，作面于N，則N(x,y)是曲線F(x,y)=0上的點(diǎn)，則得M(x,y,z)點(diǎn)滿足的方程為F(x,y)=0.所以柱面方程為：xzyoNM(x,y,z)F(x,y)=0只含x,y而缺z的方程F(x,y)=0，在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面，而準(zhǔn)線為xoy面上的曲線C.第19頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五20g(y,z)=0是母線//x軸,g(y,z)=0所構(gòu)成的柱面.類似地：準(zhǔn)線為yoz面內(nèi)的曲線h(x,z)=0是母線//y軸,h(x,z)=0所構(gòu)成的柱面.準(zhǔn)線為xoz面內(nèi)的曲線注意：柱面方程一定是二元方程，缺少哪個(gè)變量字母，母線就平行于哪個(gè)坐標(biāo)軸.第20頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五21柱面方程的特征：只含兩個(gè)坐標(biāo)的方程一定是柱面方程，缺少哪個(gè)變量字母，母線就平行于哪個(gè)坐標(biāo)軸.二元方程都是柱面方程第21頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五22拋物柱面平面例問方程表示什么曲面？zxyo拋物柱面第22頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五23橢圓柱面xyzo拋物柱面雙曲柱面例如：母線//x軸母線//z軸母線//y軸第23頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五24例1指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？解斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程第24頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五25(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸．曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第25頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五26(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸．曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第26頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五27(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸．曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第27頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五28(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸．曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第28頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五29(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸．曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第29頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五30(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸．曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第30頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五31(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸．曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第31頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五32(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸．曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第32頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五33(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸．曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第33頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五34(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸．曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第34頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五35(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸．曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第35頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五36(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸．曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第36頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五37例如:第37頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五38(2)建立yoz面上曲線C

繞z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:給定yoz

面上曲線C:設(shè)所求曲面上的動(dòng)點(diǎn)為則點(diǎn)M一定是曲線上的某點(diǎn)轉(zhuǎn)過來的.故旋轉(zhuǎn)曲面方程為：當(dāng)繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),設(shè)則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到第38頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五39思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？總之：旋轉(zhuǎn)曲面的方程方程：yoz面上的曲線f(y,z)=0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程：yoz坐標(biāo)面上的已知曲線f(y,z)=0繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為第39頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五40例3.

求坐標(biāo)面xoz

上的雙曲線分別繞

x軸和z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞x

軸旋轉(zhuǎn)繞z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為第40頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五41旋轉(zhuǎn)拋物面oyzxxyzo第41頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五42例4.

試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:

在yoz面上直線L的方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方第42頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五43該曲面叫圓錐面.方程的特點(diǎn)：叫標(biāo)準(zhǔn)圓錐面.三元二次齊次方程.同理：中心軸是y

軸中心軸是

x

軸.也是標(biāo)準(zhǔn)圓錐面.也是標(biāo)準(zhǔn)圓錐面.是上半圓錐面.第43頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五44旋轉(zhuǎn)拋物面.旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面.如第44頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五455、其它的二次曲面三元二次方程這類曲面通常都可以先經(jīng)過旋轉(zhuǎn),然后伸縮變形得到稱為旋轉(zhuǎn)+伸縮型二次曲面

.其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)特征：第45頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五461.定義：三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法,伸縮法

.其基本類型有:

橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)相應(yīng)地平面被稱為一次曲面．用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截,了解曲面的全貌，即為截痕法.考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而截痕法：5、其它的二次曲面第46頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五47伸縮法：第47頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五48ozyx將旋轉(zhuǎn)橢球面沿軸方向伸縮倍得：2.橢球面橢球面的幾種特殊情況：旋轉(zhuǎn)橢球面球面第48頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五49第49頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五50（2）雙葉雙曲面ozyxxyoz旋轉(zhuǎn)雙曲面,沿軸方向伸縮倍第50頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五51xyzooyzx第51頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五52設(shè)a,b均大于0,以平行于xOy面的平面z=z0(z0＞0)截橢圓拋物面,所得截線方程為它表示平面z=z0上一橢圓.以z=0截曲面,截得一點(diǎn)為原點(diǎn).

第52頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五53以平行于xOz面的平面y=y0截曲面,截線方程為

這是平面y=y0上一條拋物線.以平行于yOz面的平面x=x0截曲面所得截線是平面x=x0上的一條拋物線.

第53頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五54xyzo第54頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五551.空間曲面三元方程球面旋轉(zhuǎn)曲面柱面----二元方程如,曲面表示母線平行z

軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.

圓錐面的方程時(shí)叫標(biāo)準(zhǔn)圓錐面.yoz面上的曲線f(y,z)=0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程：內(nèi)容小結(jié)第55頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五562.二次曲面三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓錐面:

第56頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五57BB第57頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五58空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線C，是空間一個(gè)橢圓.C一、空間曲線的一般方程補(bǔ)第58頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五59又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.

由于是上半球面,是圓柱面,交線如圖,叫維維尼曲線第59頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五60例如:下列方程組各表示怎樣的曲線？所以，空間曲線的方程是不唯一的.第60頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五61三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影CCC關(guān)于的投影柱面C在上的投影曲線Oxzy設(shè)曲線則C關(guān)于xoy面的投影柱面方程應(yīng)為消z后的方程：所以C在xoy面上的投影曲線的方程為：第61頁，共69頁，2023年，2月20日，星期五62例3.解：代入消元求交線C的投影曲線的方程.由所給的方程相減得：消去z得關(guān)于