§ 0 7 . 直線和圓的方程 知識要點一、直線方程.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角,x軸平行或重合時,其傾斜角為0,故直線傾斜角的范圍是0180(0).注：①當90xx時,直線lx軸,它的斜率不存在.2 1②每一條直線都存在惟一的傾斜角,除與x軸垂直的直線不存在斜率外,其余每一條直線都有惟一的斜率,并且當直線的斜率肯定時,其傾斜角也對應確定.直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.特別地,當直線經(jīng)過兩點(a,00b),即直線在x軸,y軸上的截距分別為ab(a0b0時,xy1.a by2x2是始終線的方程則這條直線的方程是y2x2但假設(shè)3 3y2x2(x0則不是這條線.3ykxb,當kb均為確定的數(shù)值時,它表示一條確定的直線,kb變化時,對應的直線也會變化.①當b為定植k變化時,它們0,b的直線束.②當k為定值b變化時,它們表示一組平行直線.⑴兩條直線平行：l∥lkk 兩條直線平行的條件是l和l 是兩條不重合的直線.②在l和l1 2 1 2 1 2 1 2的斜率都存在的前提下得到的.因此,應特別留意,抽掉或無視其中任一個“前提”都會導致結(jié)論的錯誤.一般的結(jié)論是對于兩條直線l,l ,它們在y軸上的縱截距是b,b,則l∥lkk ,1 2 1 2 1 2 1 2且bb 或l,l的斜率均不存在,即ABBA是平行的必要不充分條件,且CC1 2 1 2 1 2 1 2 1 2推論：假設(shè)兩條直線l,l1⑵兩條直線垂直：

的傾斜角為,2 1

則ll1

.2 1 2兩條直線垂直的條件：①設(shè)兩條直線l 和l 的斜率分別為k 和k ,則有1 2 1 2llkk1這里的前提是l,l 的斜率都存在.②llk0,且l 的斜率不存1 2 12 1 2 1 2 1 2在或k0,且l的斜率不存在.ABAB0是垂直的充要條件2 1 1 2 2 1直線的交角：⑴直線l到l 的角方向角直線l到l 的角,是指直線l繞交點依逆時針方向旋轉(zhuǎn)1 2 1 2 1到與l

重合時所轉(zhuǎn)動的角,它的范圍是(0,),當90時tan

kk.2 1.2 1kk12⑵兩條相交直線l與l 的夾角兩條相交直線l與l 的夾角,是指由l與l 相交所1 2 1 2 1 2成的四個角中最小的正角,又稱為

l1l2

所成的角,它的取值范圍是

0,當 kk1kk2 112kk1kk2 112過兩直線

l:A1

xB1

yC01

的交點的直線系方程l2:A2xB2yC20AxByCAxByC)0(為參數(shù)AxByC0不包括在內(nèi)1 1 1 2 2 2 2 2 2點到直線的距離：⑴點到直線的距離公式：設(shè)點P(xy,直線l:AxByC0P到l的距離為d,則有0 0AxByAxByC00A2B2注：(x x)2(y y)22 121兩點P1x1(x x)2(y y)22 12112x2y2Px,yO的距離：x2y2定比分點坐標分式假設(shè)點Px,y分有向線段PP所成的比為即PPPP

其中Px,y,P

.則x

xx121

,y

12 1 2y211

22 2

1

11特例,中點坐標公式；重要結(jié)論,三角形重心坐標公式;0°≤＜180°、斜率:ktan過兩點P(xy

),P(x,y

y y.)的直線的斜率公式：k 2 1.

(xx)1 1 1

2 2 2

x x 1 22 1當x x,y1 2

yx軸垂直時,直線的傾斜角＝90,沒有斜率2⑵兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線C1

1

2

0(CC2 1

),它們之間的距離為d,則有d .CCC1 2A2B2注；直線系方程與直線：Ax+By+C=0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.mR,C≠m.與直線：Ax+By+C=0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.mR點x1,y1的直線系方程是： Ax-x1+By-y1=0 A,B不全為0過直線l12交點的直線系方程1+1+C1λ2+2+2=0λ?R 注該直線系不含l2.7.關(guān)于點對稱和關(guān)于某直線對稱：⑴關(guān)于點對稱的兩條直線肯定是平行直線,且這個點到兩直線的距離相等.⑵關(guān)于某直線對稱的兩條直線性質(zhì)：假設(shè)兩條直線平行,則對稱直線也平行,且兩直線到對稱直線距離相等.假設(shè)兩條直線不平行,則對稱直線必過兩條直線的交點,且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.,用中點表示兩對稱點,,過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直方程②①②可解得所求對稱點.yxby.fx,y=0fy+2,x–2=0.,y=0a,bfax,2b–y=0.二、圓的方程.,假設(shè)某曲線Cf(x,y)0的實數(shù)建立了如下關(guān)系：①曲線上的點的坐標都是這個方程的解.②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線圖形.⑵曲線和方程的關(guān)系,M(x,yf(x,y)0的一種關(guān)系,曲線上任一點(x,y)f(x,y)0的解；反過來,f(x,y)0的解所對應的點是曲線上的點.Cfx,y=0,P0x0,yCfx0,y0=0C(ab),r(xa)2(yb)2r2.特例：圓心在坐標原點,半徑為rx2y2r2.與[rb,圓心(a,b)或(a,b)]

x(xa2yb2b2②與y軸相切的圓方程(xa)2(yb)2a2 [ra,圓心(a,b)或(a,b)]③與x軸y軸都相切的圓方程(xa)2(ya)2a2 [ra,圓心(a,a)]圓的一般方程：x2y2DxEyF0 .D2E24F當D2E24F0時,方程表示一個圓,其中圓心CD,ED2E24F 2 2 2D2E24F0時,方程表示一個點D,E. 2 2D2E24F0時,方程無圖形稱虛圓.ybrsinxybrsin②方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是：B0AC0且D2E24AF0.A(x1y1)B(x2y2(xx1)(xx2yy1yy2)0用向量可征.點和圓的位置關(guān)系：給定點M(x0y0)及圓Cxa2yb2r2.M在圓C內(nèi)(xa2yb2r20 0M在圓C上〔xa2yb2r20 0M在圓C外(xa2yb2r20 0直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)圓圓C：(xa)2(yb)2r2(r0)； 直線l：AxByC0(A2B20)；AaBbCA2B2圓心CAaBbCA2B2dr時l與C相切；,則x2y2D

xE

yF01 1

相減為公切線方程.x2y2D2xE2yF20dr時l與C相交；11:2y2D1xE1yF01C:x2y2DxEyF02 2 2 2有兩個交點,則其公共弦方程為(DD)x(EEy(FF)0.1 2 1 2 1 2dr時l與C相離.附：假設(shè)兩圓相離,則x2y2D

xE

yF01 1

相減為圓心OO

的連線的中與線方x2y2D2程.

xE

yF0 1 22 2(xa)2(yb)2rAxBxC0

用代入法,xy的一元二次方程,其判別式為,則：0l與C相切；0l與C相交；0l與C相離.x2y2DxEyF0,x2y2DxEyF0相減,不表示1 1 1 2 2 2直線.圓的切線方程：圓x2y2r2的斜率為k的切線方程是ykx 1k2r過圓x2y2DxEyF0P(xyx

yD

xx

0E

0F0.0 0 0 0 2 2x0,y0在圓上,x–ax0–a+y–by0–b=R2.特別地,x2y2r2AP(xyxxyyr2.0 0 0 0x

yy01 0byk(a01 0byk(ax)11R21

k(xx)

,聯(lián)立求出

切線方B. C0 0 R

k D(a,b)求切點弦方程：方法是構(gòu)造圖,則切點弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程.如圖：ABCD四類共圓.Ox2y2DxEyF0…①又以ABCD為圓為方程為(xx )(xa)(yy )(xb)k2…②A AR2

(x a)2(yA4

A

…③,所以BC的方程即③代②,①②相切即為所求.三、曲線和方程Cfx,y=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：Cfx,y=0的解純粹性；方程fx,y=0的解為坐標的點都在曲線C上完備性;則稱方程fx,y=0為曲線C的,Cfx,y=0的曲線;求曲線方程的方法：.1直接法：建系設(shè)點,列式表標,簡化檢驗; 2參數(shù)法; 3定義法, 4待定系數(shù)法.考試內(nèi)容：

-圓錐曲線方程雙曲線及其標準方程．雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)．考試要求：把握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡潔幾何性質(zhì),了解橢圓的參數(shù)方程．把握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)．把握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡潔幾何性質(zhì)．了解圓錐曲線的初步應用．§08.圓錐曲線方程學問要點一、橢圓方程.橢圓方程的第肯定義：PF1PF1

PF2PF2

2aFF12aFF1

,22PF1

PF2

2aFF1

,F2 1

為端點的線段2⑴①橢圓的標準方程：2a2

y21(ab0.ii.中心在原點,y軸上：b2y2x2a2

②一般方程：

Ax2By21(A0,B0)

x2y21a2 b2

的參數(shù)方程為xacos一象限應是屬于0.ybsin 2⑵①(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②軸：對稱軸：x軸,y軸；長軸長2a,短軸長2b.③焦點：(c,0)(c,0或(0,c)(0c).④FF1

2c,c2

.⑤準線：xa2a2a2b2ya2

.⑥e

c a

P(x,y)0 0

x2a2

b2

1(ab0)上的一點F,F1 2

為左、右PF,aex1

,PF2

aex0由橢圓方程的其次定義可以推出.P(x0

y)x20 b2

a2

1(ab0)上的一點F,F1 2

為上、下焦F,aey1

,PF2

aey0由橢圓方程的其次定義可以推出.來為“左加右減”.

pFe(x1

a2)aex(xc 0

0),pF2

e(a2c

x)ex0

a(x0

0)歸結(jié)起留意：橢圓參數(shù)方程的推導：得N(acos,bsin)方程的軌跡為橢圓.⑧通徑：垂直于x軸且過焦點的弦叫做通經(jīng).d

2b2a2

(c,b2和(c,b2)a ax2a2

b2

1(ab0)ec(c 2b2)方程a

a2 b2

t(t是大于0的參數(shù)ab0)eca我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.Px2a2

b2

1上的點F,F1 2

為焦點,假設(shè)FPF1

,則PFF2 1

的面積為b2tan2

用余弦定理與PF1

PF2

2a可得.假設(shè)是雙曲線,則面積為b2cot.2二、雙曲線方程.1.雙曲線的第肯定義：PFPF 2aFF方程為雙曲線1 2 1 2PFPF 2aFF無軌跡1 2 1 2PFPF 2aFF以F,F的一個端點的一條射線1 2 1 2 1 2

bsin)(acos,asin)NxN的軌跡是橢圓雙曲線標準方程：Ax2Cy21(AC0).

a2 b2

a2

x2b2

x軸上：準線方程xa2

漸近線方程：x

y0或x2y20a2 b2

c a b漸c

yx

y2x2

0,xasec

或xbtan .a b a2 b2

ybtan

yasec軸x,y為對稱軸,實軸長為2a,虛軸長為2b,焦距2c. ③離心率e

c. ④準線a2a2

2b2

. ⑤參數(shù)關(guān)系c2a2b2e

c. ⑥焦點半徑公式：c a a下焦點

x2y2a2 b2

1F,F1

“長加短減”原則：MFexa1 0

構(gòu)成滿足

MF

2a

exa1 0

與橢圓焦半徑不同,橢圓焦MFexa 12 0

2

exa2 0▲yFMxM”▲yFMxM”F▲yM” MxF FMFeya1 0MF eya2 0

ey1 ey

aa2 0⑶x2y2a2稱為等軸雙曲線,yx,離心率2e .2⑷共軛雙曲線：以雙曲線的虛軸為實軸,實軸為虛軸的雙曲線,叫做雙曲線的共軛雙曲線.

a2

y2與b2

x2y2a2 b2

互為共軛雙曲線,它們具有共同的漸近x2a2

y2b2

0.⑸共漸近線的雙曲線系方程：x2a2

y2b2

(0)x2a2

y2b2

0假設(shè)雙▲

xy0

x2y2

(

y0).a b a2

4 3 2例如：假設(shè)雙曲線一條漸近線為y1x且過p(3,1),求雙曲線的方程 12 2 53 xF1 F222

x y2(0),代入(3,1)得x2y 1.24 2 8 2 3⑹直線與雙曲線的位置關(guān)系：區(qū)域①：無切線,2條與漸近線平行的直線,合計2條；,2條與漸近線平行的直線,3條；2條切線,2條與漸近線平行的直線,4條；區(qū)域④：即定點在漸近線上且非原點,1條切線,1條與漸近線平行的直線,2條；區(qū)域⑤：即過原點,無切線,無與漸近線平行的直線.,0、2、3、4條.2假設(shè)直線與雙曲線一支有交點,交點為二個時,求確定直線的斜率可用代入“”法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.Px2a2

b2

1,1：Pm=n,P到兩準m︰n.PF1簡證：d1 e = m.d2 PF2 ne常用結(jié)論2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.三、拋物線方程.設(shè)p 0,拋物線的標準方程、類型及其幾何性質(zhì)：yy22pxx22pyx22py圖形▲yyyyxxxxOOOO焦點范圍F(p,0)2xp2x0,yRF(p,0)2xp2x0,yRF(0,p)2yp2xR,y0F(0,p)2準線yp2xR,y0對稱軸x軸y軸頂點0,0離心率e1焦點PFpx21PFpx21PFpy21PFpy214ac b b注：①ay2bycx頂點4ac b b4a 2aP2P2②y22px(p0)則焦點半徑PFx ;x22py(p0)則焦點半徑為PFy .P2P22p,這是過焦點的全部弦中最短的.y22pxx22py的參數(shù)方程為x2pt2y2pt

x2pt或或y2pt2

t為參數(shù).四、圓錐曲線的統(tǒng)肯定義..圓錐曲線的統(tǒng)肯定義：平面內(nèi)到定點F和