第2課時(shí)平面與平面垂直的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握平面與平面垂直的判定定理．(重點(diǎn))2．掌握空間中線、面垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系．(難點(diǎn))1.通過發(fā)現(xiàn)平面與平面垂直的判定定理，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過利用平面與平面垂直的判定定理證明平面與平面垂直，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).平面與平面垂直的判定定理文字語言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直圖形語言符號(hào)語言l?α，l⊥βα⊥β思考：1.若兩個(gè)平面所成的二面角為90°，這兩個(gè)平面有什么位置關(guān)系？提示：垂直2．過已知平面的垂線，有幾個(gè)平面和已知平面垂直？提示：有無數(shù)多個(gè)．1．直線l⊥平面α，l?平面β，則α與β的位置關(guān)系是()A．平行 B．可能重合C．相交且垂直 D．相交不垂直C[由面面垂直的判定定理，得α與β垂直，故選C．]2．對(duì)于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一組條件是()A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?βC．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥βC[A與D中α也可與β平行，B中不一定α⊥β，故選C．]3．如果規(guī)定：x＝y(tǒng)，y＝z，則x＝z，叫作x，y，z關(guān)于相等關(guān)系具有傳遞性，那么空間三個(gè)平面α，β，γ關(guān)于相交、垂直、平行這三種關(guān)系中具有傳遞性的是________．平行[由平面與平面的位置關(guān)系及兩個(gè)平面平行、垂直的定義、判定定理，知平面平行具有傳遞性，相交、垂直都不具有傳遞性．]平面與平面垂直的判定【例1】如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC．證明：平面AEC⊥平面AFC．[證明]如圖，連接BD，設(shè)BD∩AC于點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\r(3).由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC．又AE⊥EC，所以EG＝eq\r(3)，且EG⊥AC．在Rt△EBG中，可得BE＝eq\r(2)，故DF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△FDG中，可得FG＝eq\f(\r(6),2).在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝eq\r(2)，DF＝eq\f(\r(2),2)，可得EF＝eq\f(3\r(2),2).從而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC．因?yàn)镋G?平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC．?1?證明平面與平面垂直的方法①利用定義：證明二面角的平面角為直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直.?2?根據(jù)面面垂直的定義判定兩平面垂直，實(shí)質(zhì)上是把問題轉(zhuǎn)化成了求二面角的平面角，通常情況下利用判定定理要比定義簡單些，這也是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直，只要轉(zhuǎn)證線面垂直，其關(guān)鍵與難點(diǎn)是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一直線與另一平面垂直.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．在邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求證：平面PDB⊥平面PAC．[證明]∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PC⊥BD．∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC．∵BD?平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC．空間垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用[探究問題]1．空間中線、面的垂直關(guān)系是如何轉(zhuǎn)化的？提示：轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：2．證明直線與直線垂直的方法有哪些？提示：(1)利用平面幾何的知識(shí)：如勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等；(2)證明一條直線垂直另一條直線所在的平面．【例2】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，側(cè)面△PAD為等邊三角形．(1)求證：AD⊥PB；(2)若E為BC邊上的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．[思路點(diǎn)撥](1)eq\x(直線與直線垂直)→eq\x(直線與平面垂直)→eq\x(直線與直線垂直)(2)eq\x(\s\up(利用(1)的條件,AD⊥平面PGB))→eq\x(\s\up(找到過點(diǎn)F的平面,和平面PGB平行))→eq\x(確定F的位置)[解](1)證明：設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接PG，BG，如圖．因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形，所以PG⊥AD．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，G為AD的中點(diǎn)，所以BG⊥AD．又因?yàn)锽G∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB．因?yàn)镻B?平面PGB，所以AD⊥PB．(2)當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面DEF⊥平面ABCD．如圖，設(shè)F為PC的中點(diǎn)，連接DF，EF，DE，則在△PBC中，EF∥PB．在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB．由(1)，得AD⊥平面PGB，而AD?平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD．所以平面DEF⊥平面ABCD．?1?空間中的垂直關(guān)系有線線垂直、線面垂直、面面垂直，這三種關(guān)系不是孤立的，而是相互關(guān)聯(lián)的.?2?空間問題化成平面問題是解決立體幾何問題的一個(gè)基本原則，解題時(shí)，要抓住幾何圖形自身的特點(diǎn)，如等腰?邊?三角形的三線合一、中位線定理、菱形的對(duì)角線互相垂直等.還可以通過解三角形，產(chǎn)生一些題目所需要的條件，對(duì)于一些較復(fù)雜的問題，注意應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決問題.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．如圖，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F(xiàn)分別是AC，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)．(1)求證：無論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；(2)當(dāng)λ為何值時(shí)，平面BEF⊥平面ACD?[解](1)證明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD．∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC．又∵eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)，∴無論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC．又∵EF?平面BEF，∴無論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC．(2)由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，∴BE⊥平面ACD．又∵AC?平面ACD，∴BE⊥AC．∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝eq\r(2)，∴AB＝eq\r(2)tan60°＝eq\r(6)，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(7).由Rt△AEB∽R(shí)t△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝eq\f(6,\r(7))，∴λ＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(6,7).故當(dāng)λ＝eq\f(6,7)時(shí)，平面BEF⊥平面ACD．平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用思路(1)本質(zhì)：通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直，即線面垂直面面垂直．(2)證題思路：處理面面垂直問題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題來解決．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)應(yīng)用面面垂直的判定定理的關(guān)鍵在于，在其中一個(gè)平面內(nèi)找到或作出另一個(gè)平面的垂線，即實(shí)現(xiàn)面面垂直向線面垂直的轉(zhuǎn)化． ()(2)已知α，β，γ是平面，且α⊥β，若α⊥γ，則β⊥γ． ()(3)已知α，β，γ是平面，且α∥β，若α⊥γ，則β⊥γ． ()[提示](1)正確．(2)錯(cuò)誤．β和γ可能平行，也可能相交．(3)正確．[答案](1)√(2)×(3)√2．如圖，BCDE是一個(gè)正方形，AB⊥平面BCDE，則圖中(側(cè)面，底面)互相垂直的平面共有()A．4組 B．5組C．6組 D．7組B[由AB⊥平面BCDE，可得平面ABC⊥平面BCDE，平面ABE⊥平面BCDE，又因?yàn)锽CDE是一個(gè)正方形，所以BC⊥平面ABE平面ABC⊥平面ABE，同理可得平面ACD⊥平面ABC，平面ADE⊥平面ABE，故共有5組，故選B．]3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是CC1的中點(diǎn)，則平面EBD與平面AA1C1C的位置關(guān)系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一個(gè))垂直[如圖，在正方體中，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD．又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面AA1C1C．又BD?平面EBD，∴平面EBD⊥平面AA1C1C．]4．如圖，