/13/13/課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)九平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共24分,多選題全部選對(duì)得4分,選對(duì)但不全對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分)1.已知向量a=(1,0),b=(cosθ,sinθ),θ∈QUOTE,則|a+b|的取值范圍是()A.[0,QUOTE] B.[1,QUOTE]C.[1,2] D.[QUOTE,2]【解析】選D.|a+b|=QUOTE=QUOTE.因?yàn)棣取蔘UOTE,所以cosθ∈[0,1].所以|a+b|∈[QUOTE,2].2.已知=(-3,1),=(0,5),且∥,⊥(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設(shè)C(x,y),則=(x,y).又=(-3,1),所以=-=(x+3,y-1).因?yàn)椤?所以5(x+3)-0·(y-1)=0,所以x=-3.因?yàn)?(0,5),所以=-=(x,y-5),=-=(3,4).因?yàn)椤?所以3x+4(y-5)=0,所以y=QUOTE,所以C點(diǎn)的坐標(biāo)是QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知向量a=(QUOTE,1),b是不平行于x軸的單位向量,且a·b=QUOTE,則b=()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.(1,0)【解析】選B.方法一:設(shè)b=(x,y),其中y≠0,則a·b=QUOTEx+y=QUOTE.由QUOTE解得QUOTE即b=QUOTE.方法二:利用排除法.D中,y=0,所以D不符合題意;C中,向量QUOTE不是單位向量,所以C不符合題意;A中,向量QUOTE使得a·b=2,所以A不符合題意.3.若a=(x,2),b=(-3,5),且a與b的夾角是鈍角,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】C.xC.x應(yīng)滿足(x,2)·(-3,5)<0且a,b不共線,解得x>QUOTE,且x≠-QUOTE,所以x>QUOTE.4.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),則△ABC的形狀是()A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形【解析】選A.由題設(shè)知=(8,-4),=(2,4),=(-6,8),所以·=2×8+(-4)×4=0,即⊥.所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知向量=QUOTE,=QUOTE,則∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】選A.因?yàn)椤?QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,==1,所以cos∠ABC==QUOTE,即∠ABC=30°.5.已知向量=(2,2),=(4,1),在x軸上有一點(diǎn)P,使·有最小值,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)【解析】選C.設(shè)P(x,0),則=(x-2,-2),=(x-4,-1),所以·=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故當(dāng)x=3時(shí),·最小,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0).6.(多選題)設(shè)向量a=(1,0),b=QUOTE,則下列結(jié)論中不正確的是()A.|a|=|b| B.a·b=QUOTEC.a-b與b垂直 D.a∥b【解析】選ABD.由題意知|a|=QUOTE=1,|b|=QUOTE=QUOTE,a·b=1×QUOTE+0×QUOTE=QUOTE,(a-b)·b=a·b-|b|2=QUOTE-QUOTE=0,故a-b與b垂直.由題意易得a∥b錯(cuò)誤.二、填空題(每小題4分,共8分)7.已知a=(2,1),b=(m,6),向量a與向量b的夾角θ是銳角,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.?【解析】因?yàn)橄蛄縜與向量b的夾角θ是銳角,所以cosθ=QUOTE>0,所以a·b=2m+6>0,得m>-3,又當(dāng)a與b同向時(shí),QUOTE=QUOTE,所以m=12.所以m>-3且m≠12.答案:m>-3且m≠128.(雙空題)(2020·北京高考)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P滿足=QUOTE(+),則||=________;·=________.?【解析】如圖建系,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以=(2,0),=(2,2),=(2,1),P(2,1),=(-2,1),||=QUOTE,又=(0,-1),所以·=-1.答案:QUOTE-1【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2019·浙江高考)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,當(dāng)每個(gè)λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1時(shí),|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是________,最大值是________.?【解析】λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6=(λ1-λ3+λ5-λ6)+(λ2-λ4+λ5+λ6)要使|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的值最小,只需要|λ1-λ3+λ5-λ6|=|λ2-λ4+λ5+λ6|=0,此時(shí)只需要取λ1=1,λ2=-1,λ3=1,λ4=1,λ5=1,λ6=1,此時(shí)|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|min=0,|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|2=|(λ1-λ3+λ5-λ6)+(λ2-λ4+λ5+λ6)|2=(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2≤(|λ1|+|λ3|+|λ5-λ6|)2+(|λ2|+|λ4|+|λ5+λ6|)2=(2+|λ5-λ6|)2+(2+|λ5+λ6|)2=8+4(|λ5-λ6|+|λ5+λ6|)+(λ5-λ6)2+(λ5+λ6)2=8+4QUOTE+2QUOTE+2QUOTE=12+4QUOTE=12+4QUOTE=20,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)λ1,-λ3,λ5-λ6均非負(fù)或者均非正,并且λ2,-λ4,λ5+λ6均非負(fù)或者均非正.比如λ1=1,λ2=1,λ3=-1,λ4=-1,λ5=1,λ6=1,則|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|max=QUOTE=2QUOTE.答案:02QUOTE三、解答題(每小題14分,共28分)9.已知a,b,c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2QUOTE,且c∥a,求c的坐標(biāo);(2)若|b|=QUOTE,且a+2b與2a-b垂直,求a與b的夾角θ.【解析】(1)設(shè)c=(x,y),因?yàn)閨c|=2QUOTE,所以QUOTE=2QUOTE,所以x2+y2=20.由c∥a和|c|=2QUOTE,可得QUOTE解得QUOTE或QUOTE故c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)因?yàn)?a+2b)⊥(2a-b),所以(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,所以2×5+3a·b-2×QUOTE=0,整理得a·b=-QUOTE,所以cosθ=QUOTE=-1.又θ∈[0,π],所以θ=π.10.平面內(nèi)有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),點(diǎn)M為直線OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng)·取得最小值時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)在點(diǎn)M滿足(1)題的條件下,求∠AMB的余弦值.(提示:建立·的目標(biāo)函數(shù))【解析】(1)設(shè)=(x,y).因?yàn)辄c(diǎn)M在直線OP上,所以向量與共線,又=(2,1),所以x=2y,所以=(2y,y),所以=-=(1-2y,7-y),同樣,=-=(5-2y,1-y),于是·=(1-2y)·(5-2y)+(7-y)·(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8,所以當(dāng)y=2時(shí),·有最小值-8,此時(shí)M(4,2).(2)=(-3,5),=(1,-1),所以||=QUOTE,||=QUOTE,·=-8,所以cos∠AMB==QUOTE=-QUOTE.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題4分,共12分,多選題全部選對(duì)得4分,選對(duì)但不全對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分)1.若a=(2,1),b=(3,4),則向量a在向量b方向上的投影為()A.2QUOTE B.2 C.QUOTE D.10【解析】選B.a=(2,1),b=(3,4),則a·b=2×3+1×4=10,|b|=QUOTE=5,則向量a在向量b方向上的投影為QUOTE=QUOTE=2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知向量a=(1,QUOTE),b=(3,m),若向量b在a方向上的投影為3,則實(shí)數(shù)m=()A.3B.-3C.QUOTED.-3QUOTE【解析】選C.根據(jù)題意得QUOTE=QUOTE=3,解得m=QUOTE.2.若a=(2,-3),b=(x,2x)且3a·b=4,則x等于()A.3 B.QUOTEC.-QUOTE D.-3【解析】選C.因?yàn)?a·b=3(2,-3)·(x,2x)=(6,-9)·(x,2x)=6x-18x=-12x=4,所以x=-QUOTE.3.(多選題)已知=(4,2),=(k,-2),若△ABC為直角三角形,則k等于()A.1 B.6 C.2 D.3【解析】選AB.=-=(k,-2)-(4,2)=(k-4,-4),若∠A為直角,則·=4k-4=0,所以k=1.若∠B為直角,則·=(-4,-2)·(k-4,-4)=-4k+16+8=0,所以k=6.若∠C為直角,則·=0,即(-k,2)·(4-k,4)=0,方程無(wú)解,綜上知k的值為1或6.二、填空題(每小題4分,共20分)4.(2019·全國(guó)卷Ⅲ)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則cosθ(θ是a,b的夾角)=________.?【解析】cosθ(θ是a,b的夾角)=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE5.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=________.?【解析】因?yàn)橄蛄縜=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),所以a·c=m+4+2(2m+2)=5m+8,b·c=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20.因?yàn)閏與a的夾角等于c與b的夾角,所以QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得m=2.答案:26.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn),則|+3|的最小值為_(kāi)_______.?【解析】如圖所示,以直線DA,DC分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)CD=a,則A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),設(shè)P(0,b)(0≤b≤a),則=(2,-b),=(1,a-b),所以+3=(5,3a-4b),所以|+3|=QUOTE≥5,所以|+3|的最小值為5.答案:57.(2019·天津高考)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=2QUOTE,AD=5,∠A=30°,點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上,且AE=BE,則·=________.?【解析】方法一:如圖,過(guò)點(diǎn)B作AE的平行線交AD于F,因?yàn)锳D∥BC,所以四邊形AEBF為平行四邊形.因?yàn)锳E=BE,故四邊形AEBF為菱形.因?yàn)椤螧AD=30°,AB=2QUOTE,所以AF=2,即=QUOTE.因?yàn)?=-=-QUOTE,所以·=(-)·=QUOTE·--QUOTE=QUOTE×2QUOTE×5×QUOTE-12-10=-1.方法二:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則B(2QUOTE,0),DQUOTE.因?yàn)锳D∥BC,∠BAD=30°,所以∠ABE=30°,因?yàn)锳E=BE,所以∠BAE=30°,所以直線BE的斜率為QUOTE,其方程為y=QUOTE(x-2QUOTE),直線AE的斜率為-QUOTE,其方程為y=-QUOTEx.由QUOTE得x=QUOTE,y=-1,所以E(QUOTE,-1).所以·=QUOTE·(QUOTE,-1)=-1.答案:-1【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2019·江蘇高考)如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)O.若·=6·,則QUOTE的值是________.?【解析】如圖,過(guò)點(diǎn)D作DF∥CE,交AB于點(diǎn)F,由BE=2EA,D為BC的中點(diǎn),知BF=FE=EA,AO=OD.6·=3·(-)=QUOTE(+)·(-)=QUOTE(+)·=QUOTE=QUOTE=·-QUOTE+QUOTE=·,得QUOTE=QUOTE,即||=QUOTE||,故QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.(雙空題)設(shè)非零向量a與b的夾角是QUOTE,且|a|=|a+b|,則當(dāng)t=____________時(shí),QUOTE取得最小值是__________.?【解析】因?yàn)榉橇阆蛄縜與b的夾角是QUOTE.且|a|=|a+b|,所以|a|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a|·|b|cosQUOTE,所以|b|2-QUOTE|a||b|=0,所以|b|=QUOTE|a|,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=t2-2t+QUOTE=(t-1)2+QUOTE,所以當(dāng)t=1時(shí),QUOTE取最小值QUOTE=QUOTE.答案:1QUOTE三、解答題(共38分)9.(12分)已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.(1)求b與c;(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夾角的大小.【解析】(1)因?yàn)閍∥b,所以3x=4×9,所以x=12.因?yàn)閍⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3,所以b=(9,12),c=(4,-3).(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).設(shè)m,n的夾角為θ,則cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.因?yàn)棣取蔥0,π],所以θ=QUOTE,即m,n的夾角為QUOTE.10.(12分)已知=(4,0),=(2,2QUOTE),=(1-λ)+λ(λ2≠λ).(1)求·及在上的投影;(2)證