/10/10/向量的數(shù)量積(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.若|a|=4,|b|=6,a與b的夾角為135°,則a·(-b)等于 ()A.12 B.-12 C.12 D.-D.-12【解析】選C.因為a·(-b)=-a·b=-|a||b|cos135°=-4×6×=12.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.在△ABC中,BC=5,AC=8,∠C=60°,則·= ()A.20 B.-20 C.20 D.-20【解析】選B.·=||||cos120°=5×8×=-20.2.已知△ABC中,=a,=b,若a·b<0,則△ABC是 ()A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.任意三角形【解析】選A.由a·b<0易知向量a與b的夾角為鈍角.2.(2019·全國卷Ⅰ)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為 ()A. B. C. D.【解析】選B.設(shè)夾角為θ,因為(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cosθ==,又θ∈[0,π],所以a與b的夾角為.3.已知平面向量a,b滿足a·(a+b)=3且|a|=2,|b|=1,則向量a與b的夾角為 ()A. B. C. D.【解析】選C.因為a·(a+b)=a2+a·b=4+2cos<a,b>=3,所以cos<a,b>=-,又因為<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=.4.已知|a|=|b|=1,a與b的夾角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c與dA.-6 B.6 C.3 D.-3【解析】選B.因為c·d=0,所以(2a+3b)·(ka-4b)=0,所以2ka2-8a·b+3ka·b-12b5.如圖所示,△ABC是頂角為120°的等腰三角形,且AB=1,則·等于 ()A.- B. C.- D.【解析】選C.因為△ABC是頂角為120°的等腰三角形,且AB=1,所以BC=,所以·=1××cos150°=-.6.(多選題)已知a,b,c為非零向量,下列說法不正確的是()A.若|a·b|=|a||b|,則a∥bB.若a·c=b·c,則a=bC.若|a|=|b|,則|a·c|=|b·c|D.(a·b)|c|=|a|(b·c)【解析】選BCD.|a·b|=||a||b|cosθ|=|a||b|,所以cosθ=±1,即θ=0°或180°,此時a∥b;A正確;選項B中,設(shè)a與c的夾角為θ1,b與c的夾角為θ2,因為a·c=b·c,所以|a||c|cosθ1=|b||c|cosθ2,即|a|cosθ1=|b|cosθ2,B不一定正確;C項中,a與c的夾角和b與c的夾角不相等時,結(jié)論不成立;D項中,a與b的夾角,b與c的夾角不一定相等,所以不一定成立.【補(bǔ)償訓(xùn)練】對于向量a、b、c和實數(shù)λ,下列命題中真命題是 ()A.若a·b=0,則a=0或b=0B.若λa=0,則λ=0或a=0C.若a2=b2,則a=b或a=-bD.若a·b=a·c,則b=c【解析】選B.A中,若a·b=0,則a=0或b=0或a⊥b,故A錯;C中,若a2=b2,則|a|=|b|,C錯;D中,若a·b=a·c,則可能有a⊥b,a⊥c,但b≠c,故只有選項B正確.二、填空題(每小題5分,共10分)7.(2019·天津高考)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠A=30°,點E在線段CB的延長線上,且AE=BE,則·=________.?【解析】如圖,過點B作AE的平行線交AD于F,因為AD∥BC,所以四邊形AEBF為平行四邊形,因為AE=BE,故四邊形AEBF為菱形.因為∠BAD=30°,AB=2,所以AF=2,即=.因為==-=-,所以·=(-)·=·--=×2×5×-12-10=-1.答案:-18.已知e1、e2是夾角為的兩個單位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若k=1,則a·b=______;若a·b=0,則實數(shù)k的值為______.?【解析】當(dāng)k=1時a·b=(e1-2e2)·(e1+e2)=-e1e2-2=-.由a·b=0得(e1-2e2)·(ke1+e2)=0.整理,得k-2+(1-2k)cos=0,解得k=.答案:-三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知:如圖,兩個長度為1的平面向量和,它們的夾角為,點C是以O(shè)為圓心的劣弧的中點.求:(1)|+|的值.(2)·的值.【解析】(1)因為和的長度為1,夾角為,所以·=||||cos=-,所以|+|===1.(2)因為點C是以O(shè)為圓心的劣弧的中點,所以∠AOC=∠BOC=,所以·=·=,所以·=(-)·(-)=·-·-·+·=--+1=.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知|a|=10,|b|=12,a與b的夾角為120°,求:(1)a·b;(2)(3a)·;(3)(3b-2a)·(4a+【解析】(1)a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60.(2)(3a)·=(a·b)=×(-60)=-36.(3)(3b-2a)·(4a+b)=12b·a+3b2-8a2-2a·b=10a·b+3|b|2-8|a|2=10×(-60)+3×12210.已知|a|=2|b|=2,e是與b方向相同的單位向量,且向量a在向量b方向上的投影向量為-e.(1)求a與b的夾角θ;(2)求(a-2b)·b;(3)當(dāng)λ為何值時,向量λa+b與向量a-3b互相垂直?【解析】(1)由題意知|a|=2,|b|=1.又a在b方向上的投影向量為|a|cosθe=-e,所以cosθ=-,又θ∈[0,π],所以θ=.(2)易知a·b=|a|·|b|cosθ=-1,則(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.(3)因為λa+b與a-3b互相垂直,所以(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,所以λ=.(35分鐘70分) 一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.在△ABC中,若=·+·+·,則△ABC是 ()A.等邊三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.直角三角形【解析】選D.因為=·+·+·,所以-·=·+·,所以·(-)=·(-),所以·=,所以·(+)=0,所以·=0,所以AC⊥BC,所以△ABC是直角三角形.2.在△ABC中,M是BC的中點,AM=1,點P在AM上且滿足=2,則·(+)等于 ()A. B.C.- D.-【解析】選A.因為AM=1,且=2,所以||=.如圖·(+)=·(2)=·===.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,C=90°,CB=3,點M滿足=2,則·=______.?【解析】因為=+=+=+(-)=+,又C=90°,·=0,所以·=·==3.答案:33.若|a+b|=|a-b|=2|a|,則向量a-b與b的夾角為 ()A. B. C. D.【解析】選D.由|a+b|=|a-b|可得a·b=0,由|a-b|=2|a|可得3a2=b2,所以|b|=|a|,設(shè)向量a-b與b的夾角為θ,則cosθ==-,又θ∈[0,π],所以θ=.4.(多選題)已知向量a,b的夾角為120°,|a|=|b|=1,c與a+b同向,則|a-c|的值可以為 ()A.1 B. C. D.【解析】選AD.因為|a|=|b|=1,c與a+b同向,所以a與c的夾角為60°.又,故|a-c|min=.由選項可知|a-c|的值可以為1或.二、填空題(每小題5分,共20分)5.(2019·全國卷Ⅲ)已知a,b為單位向量,且a·b=0,若c=2a-b,則cos<a,c>=________.?【解析】因為c2=(2a-b)2=4a2+5b2-4a·b=9,所以|c|=3,因為a·c=a·(2a-b)=2a2-a·b=2,所以cos<a,c>===.答案:【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)向量a,b滿足|a+b|=,|a-b|=,則a·b=________.?【解析】因為|a+b|=,所以(a+b)2=10,即a2+b2+2a·b=10.因為|a-b|=,所以(a-b)2=6,即a2+b2-2a·b=6.由①②可得a·b=1.答案:16.已知a⊥b,|a|=2,|b|=1,且3a+2b與λa-b垂直,則λ等于________【解析】因為(3a+2b)⊥(λa-b),所以(λa-b)·(3a+2b)=0,所以3λa2+(2λ-3)a·b-2b又因為|a|=2,|b|=1,a⊥b,所以12λ+(2λ-3)×2×1×cos90°-2=0,所以12λ-2=0,所以λ=.答案:7.在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是邊BC上一點,=2,則·=________.?【解析】因為=2,所以=,=-,故·=(+)·=·(-)=·(-)=·+-=||||cos120°+||2-||2=×2×1×+×1-×22=-.答案:-8.已知向量a、b滿足:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,則a與b的夾角為________;|2a-b|=________【解析】由于a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=2,則a·b=3.設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ==,又θ∈[0,π],所以θ=.因為|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=28,所以|2a-b答案:2【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知非零向量a,b,滿足a⊥b,且a+2b與a-2b的夾角為120°,則=______.?【解析】(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2,因為a⊥b,所以所以所以=.所以=.答案:三、解答題(每小題10分,共30分)9.已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量,k為何值時,向量e1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角?【解析】因為e1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角,所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=k+k+(k2+1)e1·e2=2k>0,所以k>0.但當(dāng)k=1時,e1+ke2=ke1+e2,它們的夾角為0°,不符合題意,舍去.綜上可知,k∈(0,1)∪(1,+∞)時,向量e1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角.10.已知平面上三個向量a,b,c的模均為1,它們相互之間的夾角為120°.(1)求證:(a-b)⊥c;(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范圍.【解析】(1)因為|a|=|b|=|c|=1且a,b,c之間的夾角均為120°,所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°=0,所以(a-b)⊥c.(2)因為|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)·(ka+b+c)>1,即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c因為a·c=a·b=b·c=cos120°=-,所以k2-2k>0,解得k<0或k>2.即k的取值范圍是k<0或k>2.11.在四邊形ABCD中,已知AB=9,BC=6,=2.(1)若四邊形