關(guān)于等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)第1頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五復(fù)習(xí)等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項(xiàng)公式性質(zhì)Sn第2頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五預(yù)備知識(shí)：

Sn=a1+a2+…+an

Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>2)an=Sn–Sn-1(n》2)你能得出嗎?第3頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第4頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五問題：如何來求麥子的總量？得:2S64=2+22+23+······+263+264錯(cuò)位相減得：S64=264–1>1.8×1019即求：1，2，22，······，263的和；令：S64=1+2+22+······+262+263，

以小麥千粒重為40麥子質(zhì)量超過7000億噸！麥?？傎|(zhì)量達(dá)7000億噸——國王是拿不出的。第5頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五⑴×q, 得⑵⑴－⑵，得由此得q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和設(shè)等比數(shù)列它的前n項(xiàng)和是⑴即說明：這種求和方法稱為錯(cuò)位相減法第6頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)q≠1時(shí)，∵∴顯然，當(dāng)q=1時(shí)，第7頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五(q=1).(q≠1).等比數(shù)列的前n項(xiàng)和表述為：第8頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五已知a1

、n、q時(shí)已知a1

、an、q時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第9頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

(1)

等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式你了解多少？Sn={1-q(q=1)(q=1)Sn={1-q(q=1)(q=1)

(2)

等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用：1.在使用公式時(shí).注意q的取值是利用公式的前提；２.在使用公式時(shí)，要根據(jù)題意，適當(dāng)選擇公式。利用“錯(cuò)位相減法”推導(dǎo)第10頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五例1、求下列等比數(shù)列前8項(xiàng)的和第11頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五說明：２.１.第12頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五1．?dāng)?shù)列{2n－1}的前99項(xiàng)和為(

)A．2100－1

B．1－2100C．299－1 D．1－299答案：C第13頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五2．在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，則n的值為(

)A．4 B．5C．6 D．7答案：C第14頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五3．已知等比數(shù)列{an}中，an>0，n＝1,2,3，…，a2＝2，a4＝8，則前5項(xiàng)和S5的值為________．答案：31第15頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五4．求Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．第16頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第17頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五(一)用等比定理推導(dǎo)當(dāng)q=1時(shí)Sn=na1因?yàn)樗?/p>

合比定理：第18頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)Sn=a1(1–qn)1–q

遞推公式：第19頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五答案：

B第20頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五2．在等比數(shù)列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，則a1的值為(

)A．4 B．－4C．2 D．－2答案：

A第21頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五3．在等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則a12＋a22＋…＋an2等于________．第22頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五4．設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝3a3，求公比q的值．第23頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五分析：第1年產(chǎn)量為5000臺(tái)第2年產(chǎn)量為5000×(1+10%)=5000×1.1臺(tái)第3年產(chǎn)量為5000×(1+10%)×(1+10%)……第n年產(chǎn)量為則n年內(nèi)的總產(chǎn)量為：第24頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五解：第25頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第26頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第27頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第28頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第29頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第30頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五[分析]

由題目可獲取以下主要信息：已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和前6項(xiàng)的和，求其通項(xiàng)．解答本題可直接利用前n項(xiàng)和公式，列方程求解．第31頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第32頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五[點(diǎn)評(píng)]

在等比數(shù)列{an}的五個(gè)量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，在條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時(shí)，均可以用a1與q列方程組求解．第33頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五遷移變式2設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋S6＝2S9，求公比q的值．第34頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第35頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第36頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第37頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五[點(diǎn)評(píng)]

在求含有參數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，容易忽略對(duì)a＝1和q＝1的討論，從而丟掉一種情況．第38頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第39頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第40頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第41頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五如圖1，一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%.這個(gè)熱氣球上升的高度能超過125m嗎？第42頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五[分析]

通過仔細(xì)審題，抓住“在以后每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%”這一“題眼”，從而構(gòu)造出等比數(shù)列模型——熱氣球在每分鐘里上升的高度組成一個(gè)等比數(shù)列，于是熱氣球上升的總高度便是該等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用公式即可．第43頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第44頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第45頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五遷移變式4如果某人在聽到喜訊后的1h后將這一喜訊傳給2個(gè)人，這2個(gè)人又以同樣的速度各傳給未聽到喜訊的另2個(gè)人，……，如果每人只傳2人，這樣繼續(xù)下去，要把喜訊傳遍一個(gè)有2047人(包括第一個(gè)人)的小鎮(zhèn)，所需時(shí)間為(

)A．8h B．9hC．10h D．11h第46頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五解析：設(shè)第n個(gè)小時(shí)后知道喜訊的總?cè)藬?shù)為Sn，Sn＝1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1＝2047，n＝10，故選C.答案：C第47頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第48頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五2．因?yàn)楣葹?和不為1時(shí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和有不同的公式，所以若公比為字母時(shí)，應(yīng)進(jìn)行分類討論．這也是由公式的適用范圍引發(fā)的分類討論的典型例子之一．第49頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第50頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第51頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第52頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第53頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第54頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第55頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五[題后感悟]在等比數(shù)列{an}的五個(gè)量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，在條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時(shí)，均可以用a1與q列方程組求解．,第56頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五1.在等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n項(xiàng)和Sn＝126，求n和q.第57頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第58頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第59頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第60頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

已知等比數(shù)列{an}中，前10項(xiàng)和S10＝10，前20項(xiàng)和S20＝30，求S30.第61頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第62頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第63頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五[題后感悟]等比數(shù)列前n項(xiàng)和的常用性質(zhì)：(1)“片斷和”性質(zhì)：等比數(shù)列{an}中，公比為q，前m項(xiàng)和為Sm(Sm≠0)，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…構(gòu)成公比為qm的等比數(shù)列，即等比數(shù)列的前m項(xiàng)的和與以后依次m項(xiàng)的和構(gòu)成等比數(shù)列．第64頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五3.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n等于(

)A．80

B．30C．26

D．16第65頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五解析：

∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比數(shù)列∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)∴(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6又∵(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)·(S4n－S3n)∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)∴S4n＝30.故選B.答案：

B第66頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求這個(gè)數(shù)列的公比與項(xiàng)數(shù)．由題目可獲取以下主要信息：①等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別依次構(gòu)成等比數(shù)列；②當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)，S偶∶S奇＝q.解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出項(xiàng)數(shù)與公比，然后建立方程組求解．第67頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五②÷①，得q＝2，代入①得22n＝256，解得2n＝8，所以這個(gè)數(shù)列共8項(xiàng)，公比為2.第68頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第69頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五4.等比數(shù)列{an}共2n項(xiàng)，其和為－240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，求該數(shù)列的公比q.第70頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

求數(shù)列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n項(xiàng)和(a≠0)．由題目可獲取以下主要信息：①數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝(2n－1)·an－1.②每一項(xiàng)可分成兩個(gè)因式，由前一個(gè)因式可構(gòu)成等差數(shù)列，后一因式可構(gòu)成等比數(shù)列．解答本題可選用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和．第71頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第72頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五[題后感悟]錯(cuò)位相減法一般來說，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為d；數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，公比為q，則求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和就可以運(yùn)用錯(cuò)位相減法．第73頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五在運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和時(shí)，要注意以下四個(gè)問題：(1)注意對(duì)q的討論，在前面的討論中，我們已知q是等比數(shù)列{bn}的公比，所以q≠0，但求和Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1時(shí)，就應(yīng)分x＝0、x