章末整合提升突破一萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用1.地球表面，萬(wàn)有引力約等于物體的重力，由Geq\f(Mm,R2)＝mg；①可以求得地球的質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)；②可以求得地球表面的重力加速度g＝eq\f(GM,R2)；③得出一個(gè)代換式GM＝gR2，該規(guī)律也可以應(yīng)用到其他星球表面。2.應(yīng)用萬(wàn)有引力等于向心力的特點(diǎn)，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，可以求得中心天體的質(zhì)量和密度。3.應(yīng)用Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r可以計(jì)算做圓周運(yùn)動(dòng)天體的線(xiàn)速度、角速度和周期。【例1】2013年12月2日，我國(guó)成功發(fā)射探月衛(wèi)星“嫦娥三號(hào)”，該衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈所用的時(shí)間為t，月球半徑為R0，月球表面處重力加速度為g0。(1)請(qǐng)推導(dǎo)出“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星離月球表面高度的表達(dá)式；(2)地球和月球的半徑之比為eq\f(R,R0)＝4，表面重力加速度之比為eq\f(g,g0)＝6，試求地球和月球的密度之比。解析(1)由題意知，“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星的周期為T(mén)＝eq\f(t,n)，設(shè)衛(wèi)星離月球表面的高度為h，由萬(wàn)有引力提供向心力得：Geq\f(Mm,（R0＋h）2)＝m(R0＋h)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)又Geq\f(Mm′,Req\o\al(2,0))＝m′g0聯(lián)立解得：h＝eq\r(3,\f(g0Req\o\al(2,0)t2,4π2n2))－R0(2)設(shè)星球的密度為ρ，由Geq\f(Mm′,R2)＝m′g得GM＝gR2ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)聯(lián)立解得：ρ＝eq\f(3g,4πGR)設(shè)地球、月球的密度分別為ρ0、ρ1，則：eq\f(ρ0,ρ1)＝eq\f(g·R0,g0·R)將eq\f(R,R0)＝4，eq\f(g,g0)＝6代入上式，解得ρ0∶ρ1＝3∶2答案(1)h＝eq\r(3,\f(g0Req\o\al(2,0)t2,4π2n2))－R0(2)3∶2突破二人造衛(wèi)星穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，各物理量的比較1.衛(wèi)星在軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則衛(wèi)星受到的萬(wàn)有引力全部提供衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力。Geq\f(Mm,r2)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(man,m\f(v2,r),mω2r,mr\f(4π2,T2)))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＝\f(GM,r2)（r越大，an越小）,v＝\r(\f(GM,r))（r越大，v越?。?ω＝\r(\f(GM,r3))（r越大，ω越?。?T＝\r(\f(4π2r3,GM))（r越大，T越大）))2.兩種特殊衛(wèi)星(1)近地衛(wèi)星：衛(wèi)星軌道半徑約為地球半徑，受到的萬(wàn)有引力近似為重力，故有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)＝mg。(2)地球同步衛(wèi)星：相對(duì)于地面靜止，它的周期T＝24h，所以它只能位于赤道正上方某一確定高度h，故地球上所有同步衛(wèi)星的軌道均相同，但它們的質(zhì)量可以不同?！纠?】研究表明，地球自轉(zhuǎn)在逐漸變慢，3億年前地球自轉(zhuǎn)的周期約為22小時(shí)。假設(shè)這種趨勢(shì)會(huì)持續(xù)下去，地球的其他條件都不變，未來(lái)人類(lèi)發(fā)射的地球同步衛(wèi)星與現(xiàn)在的相比()A.距地面的高度變大 B.向心加速度變大C.線(xiàn)速度變大 D.角速度變大解析地球的自轉(zhuǎn)周期變大，則地球同步衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期變大。由eq\f(GMm,（R＋h）2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，得h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R，T變大，h變大，A正確。答案A突破三人造衛(wèi)星的發(fā)射、變軌與對(duì)接1.發(fā)射問(wèn)題要發(fā)射人造衛(wèi)星，動(dòng)力裝置在地面處要給衛(wèi)星以很大的發(fā)射初速度，且發(fā)射速度v>v1＝7.9km/s，人造衛(wèi)星做離開(kāi)地球的運(yùn)動(dòng)；當(dāng)人造衛(wèi)星進(jìn)入預(yù)定軌道區(qū)域后，再調(diào)整速度，使F引＝F向，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，從而使衛(wèi)星進(jìn)入預(yù)定軌道。2.變軌問(wèn)題人造衛(wèi)星在軌道變換時(shí)，速度發(fā)生變化，導(dǎo)致萬(wàn)有引力與向心力相等的關(guān)系被破壞，繼而發(fā)生向心運(yùn)動(dòng)或離心運(yùn)動(dòng)，發(fā)生變軌。發(fā)射過(guò)程：如圖1所示，一般先把衛(wèi)星發(fā)射到較低軌道1上，然后在P點(diǎn)點(diǎn)火，使衛(wèi)星加速，讓衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入軌道2，到達(dá)Q點(diǎn)后，再使衛(wèi)星加速，進(jìn)入預(yù)定軌道3。圖1回收過(guò)程：與發(fā)射過(guò)程相反，當(dāng)衛(wèi)星到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，使衛(wèi)星減速，衛(wèi)星由軌道3進(jìn)入軌道2，當(dāng)?shù)竭_(dá)P點(diǎn)時(shí)，再讓衛(wèi)星減速進(jìn)入軌道1，再減速到達(dá)地面。3.對(duì)接問(wèn)題空間站實(shí)際上就是一個(gè)載有人的人造衛(wèi)星，地球上的人進(jìn)入空間站以及空間站上的人返回地面都需要通過(guò)宇宙飛船來(lái)完成。這就存在一個(gè)宇宙飛船與空間站對(duì)接的問(wèn)題。如圖2所示，飛船首先在比空間站低的軌道，通過(guò)控制軌道使飛船跟空間站恰好同時(shí)運(yùn)行到兩軌道的相切點(diǎn)，便可實(shí)現(xiàn)對(duì)接。圖2【例3】如圖3所示，發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓形軌道1運(yùn)行，然后點(diǎn)火，使其沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓形軌道3運(yùn)行，設(shè)軌道1、2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)，則衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)：圖3(1)比較衛(wèi)星經(jīng)過(guò)軌道1、2上的Q點(diǎn)的加速度的大小，以及衛(wèi)星經(jīng)過(guò)軌道2、3上的P點(diǎn)的加速度的大??；(2)設(shè)衛(wèi)星在軌道1、3上的速度大小為v1、v3，在橢圓軌道上Q、P點(diǎn)的速度大小分別是v2Q、v2P，比較四個(gè)速度的大小。解析(1)根據(jù)牛頓第二定律，衛(wèi)星的加速度是由地球的引力產(chǎn)生的，即Geq\f(Mm,r2)＝ma。所以，衛(wèi)星在軌道2、3上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的加速度大小相等，衛(wèi)星在軌道1、2上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)的加速度大小也相等。(2)1、3軌道為衛(wèi)星運(yùn)行的圓軌道，衛(wèi)星只受地球引力作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得：v＝eq\r(G\f(M,r))，因?yàn)閞1<r3。所以v1>v3。由開(kāi)普勒第二定律知，衛(wèi)星在橢圓軌道上的運(yùn)動(dòng)速度大小不同，在近地點(diǎn)Q的速度大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)P的速度小，即v2Q>v2P。在軌道1上經(jīng)過(guò)Q時(shí)，有Geq\f(Mm,req\o\al(2,1))＝meq\f(veq\o\al(2,1),r1)，在軌道2上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)，有Geq\f(Mm,req\o\al(2,1))<meq\f(veq\o\al(2,2Q),r1)，所以v2Q>v1；在軌道2上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)，有Geq\f(Mm,req\o\al(2,3))>meq\f(veq\o\al(2,2P),r3)，在軌道3上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)，有G