直角三角形存在性問(wèn)題鞏固練習(xí)(提優(yōu))1. 已知拋物線(xiàn)l：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c均不為0)的頂點(diǎn)為M，與y軸的交點(diǎn)為N，我們稱(chēng)以N為頂點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸且過(guò)點(diǎn)M的拋物線(xiàn)為拋物線(xiàn)l的衍生拋物線(xiàn)，直線(xiàn)MN為拋物線(xiàn)l的衍生直線(xiàn)．(1)如圖，拋物線(xiàn)y＝x2﹣2x﹣3的衍生拋物線(xiàn)的解析式是，衍生直線(xiàn)的解析式是；(2)如圖，設(shè)(1)中的拋物線(xiàn)y＝x2﹣2x﹣3的頂點(diǎn)為M，與y軸交點(diǎn)為N，將它的衍生直線(xiàn)MN先繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行，再沿y軸向上平移1個(gè)單位得直線(xiàn)n，P是直線(xiàn)n上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△POM為直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】(1)y＝﹣x2﹣3,y＝﹣x﹣3；(2)存在，P為(，﹣2)或(，﹣2)或(9，﹣2)或(﹣8，﹣2)．【解析】(1)∵拋物線(xiàn)y＝x2﹣2x﹣3過(guò)(0，﹣3)，∴設(shè)其衍生拋物線(xiàn)為y＝ax2﹣3，∵y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x＋1﹣4＝(x﹣1)2﹣4，∴衍生拋物線(xiàn)為y＝ax2﹣3過(guò)拋物線(xiàn)y＝x2﹣2x﹣3的頂點(diǎn)(1，﹣4)，∴﹣4＝a?1﹣3，解得a＝﹣1，∴衍生拋物線(xiàn)為y＝﹣x2﹣3．設(shè)衍生直線(xiàn)為y＝kx＋b，∵y＝kx＋b過(guò)(0，﹣3)，(1，﹣4)，∴，∴，∴衍生直線(xiàn)為y＝﹣x﹣3．(2)∵N(0，﹣3)，∴MN繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行后，解析式為y＝﹣3，∴再沿y軸向上平移1個(gè)單位得的直線(xiàn)n解析式為y＝﹣2．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，﹣2)，∵O(0，0)，M(1，﹣4)，∴OM2＝(xM﹣xO)2＋(yO﹣yM)2＝1＋16＝17，OP2＝(|xP﹣xO|)2＋(yO﹣yP)2＝x2＋4，MP2＝(|xP﹣xM|)2＋(yP﹣yM)2＝(x﹣1)2＋4＝x2﹣2x＋5．①當(dāng)OM2＝OP2＋MP2時(shí)，有17＝x2＋4＋x2﹣2x＋5，解得x＝或x＝，即P(，﹣2)或P(，﹣2)．②當(dāng)OP2＝OM2＋MP2時(shí)，有x2＋4＝17＋x2﹣2x＋5，解得x＝9，即P(9，﹣2)．③當(dāng)MP2＝OP2＋OM2時(shí)，有x2﹣2x＋5＝x2＋4＋17，解得x＝﹣8，即P(﹣8，﹣2)．綜上所述，當(dāng)P為(，﹣2)或(，﹣2)或(9，﹣2)或(﹣8，﹣2)時(shí)，△POM為直角三角形．2. 如圖①,已知拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，3)、B(1，0)，其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)l：x＝2，過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C，∠AOB的平分線(xiàn)交線(xiàn)段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)若動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)OE下方的拋物線(xiàn)上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；(3)如圖②，F(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l上的一點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】(1)y＝x2－4x＋3.(2)當(dāng)m＝時(shí)，四邊形AOPE面積最大，最大值為.(3)P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P1(，)，P2(，)，P3(，)，P4(，).【解析】(1)如圖1，設(shè)拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由對(duì)稱(chēng)性得：D(3，0)，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y＝a(x－1)(x－3)，把A(0，3)代入得：3＝3a，a＝1，∴拋物線(xiàn)的解析式；y＝x2－4x＋3；(2)如圖2，設(shè)P(m，m2－4m＋3)，∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E(3，3)，易得OE的解析式為：y＝x，過(guò)P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，∴G(m，m)，∴PG＝m－(m2－4m＋3)＝－m2＋5m－3，∴S四邊形AOPE＝S△AOE＋S△POE＝×3×3＋PG?AE＝＋×3×(－m2＋5m－3)＝(m－)2＋，∵－＜0，∴當(dāng)m＝時(shí)，S有最大值是；(3)如圖3，過(guò)P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM＝PN，∵P(m，m2－4m＋3)，則－m2＋4m－3＝2－m，解得：m＝或，∴P的坐標(biāo)為(，)或(，)；如圖4，過(guò)P作MN⊥x軸于N，過(guò)F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，則－m2＋4m－3＝m－2，解得：x＝或；P的坐標(biāo)為(，)或(，)；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：(，)或(，)或(，)或(，)．3. 已知，拋物線(xiàn)y＝﹣x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1，0)和C(0，3)．(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在點(diǎn)P，使PA＋PC的值最?。咳绻嬖?，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)點(diǎn)M在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)△MAC是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】(1)；(2)當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為、、或.【解析】將、代入中，得：，解得：，拋物線(xiàn)的解析式為．連接BC交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，此時(shí)取最小值，如圖1所示．當(dāng)時(shí)，有，解得：，，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．拋物線(xiàn)的解析式為，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)．設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為，將、代入中，得：，解得：，直線(xiàn)BC的解析式為．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，，．分三種情況考慮：當(dāng)時(shí)，有，即，解得：，，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，有，即，解得：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，有，即，解得：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為綜上所述：當(dāng)是直角三角形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為、、或4. 如圖所示，菱形ABCD位于平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)菱形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C，已知A(﹣3，0)、B(0，﹣4)．(1)求拋物線(xiàn)解析式；(2)線(xiàn)段BD上有一動(dòng)點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線(xiàn)，交BC于點(diǎn)F，若S△BOD＝4S△EBF，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△BPD是以BD為斜邊的直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．【解答】(1)；(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，﹣2)；(3)存在，P的坐標(biāo)為或.【解析】(1)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，﹣4)，∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5．∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，BC＝AB＝5，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，﹣4)．將A(﹣3，0)，B(0，﹣4)，C(5，﹣4)代入y＝ax2＋bx＋c，得：，解得：，∴拋物線(xiàn)解析式為．(2)∵EF∥OB，AD∥BC，∴∠OBD＝∠FEB，∠ODB＝∠FBE，∴△BOD∽△EFB，∴．∵S△BOD＝4S△EBF，∴OD＝2BF．∵AD＝AB＝5，OA＝3，∴OD＝2，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，0)，BF＝1．設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為y＝kx＋d(k≠0)，將B(0，﹣4)，D(2，0)代入y＝kx＋d，得：，解得：，∴直線(xiàn)BD的解析式為y＝2x﹣4．當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2x﹣4＝﹣2，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，﹣2)．(3)∵拋物線(xiàn)解析式為，∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，m)，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，﹣4)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，0)，∴BP2＝(﹣0)2＋[m﹣(﹣4)]2＝m2＋8m＋，DP2＝(﹣2)2＋(m﹣0)2＝m2＋，BD2＝(2﹣0)2＋[0﹣(﹣4)]2＝20．∵△BPD是以BD為斜邊的直角三角形，∴BP2＋DP2＝BD2，即m2＋8m＋＋m2＋＝20，整理得：4m2＋16m＋5＝0，解得：，，∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P，使△BPD是以BD為斜邊的直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，)．5. 如圖，直線(xiàn)y＝x＋2與拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋6(a≠0)相交于A(yíng)(，)和B(4，m)，點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上異于A(yíng)、B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C．(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)是否存在這樣的P點(diǎn)，使線(xiàn)段PC的長(zhǎng)有最大值，若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)求?PAC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】(1)y＝﹣8x＋6；(2)存在.最大值為．(3)(3，5)或(，)．【解析】(1)∵B(4，m)在直線(xiàn)y＝x＋2上，∴m＝4＋2＝6，∴B(4，6)，∵A(，)、B(4，6)在拋物線(xiàn)y＝＋bx＋6上，∴，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣8x＋6；(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n，n＋2)，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(n，﹣8n＋6)，∴PC＝(n＋2)﹣(﹣8n＋6)＝﹣＋9n﹣4＝，∵PC＞0，∴當(dāng)n＝時(shí)，線(xiàn)段PC最大值為；(3)∵△PAC為直角三角形，i)若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則∠APC＝90°．由題意易知，PC∥y軸，∠APC＝45°，因此這種情形不存在；ii)若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則∠PAC＝90°．如答圖3﹣1，過(guò)點(diǎn)A(，)作AN⊥x軸于點(diǎn)N，則ON＝，AN＝．過(guò)點(diǎn)A作AM⊥直線(xiàn)AB，交x軸于點(diǎn)M，則由題意易知，△AMN為等腰直角三角形，∴MN＝AN＝，∴OM＝ON＋MN＝＋＝3，∴M(3，0)．設(shè)直線(xiàn)AM的解析式為：y＝kx＋b，則：，解得，∴直線(xiàn)AM的解析式為：y＝﹣x＋3①，又拋物線(xiàn)的解析式為：y＝﹣8x＋6②，聯(lián)立①②式，解得：x＝3或x＝(與點(diǎn)A重合，舍去)，∴C(3，0)，即點(diǎn)C、M點(diǎn)重合．當(dāng)x＝3時(shí)，y＝x＋2＝5，∴(3，5)；iii)若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則∠ACP＝90°．∵y＝﹣8x＋6＝，∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2．如答圖3﹣2，作點(diǎn)A(，)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x＝2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，則點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上，且C(，)．當(dāng)x＝時(shí)，y＝x＋2＝．∴(，)．∵點(diǎn)(3，5)、(，)均在線(xiàn)段AB上，∴綜上所述，△PAC為直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，5)或(，)．6. 如圖，矩形OABC中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，8)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6，0)．拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與AB邊交于點(diǎn)D．(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P為線(xiàn)段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，點(diǎn)Q為線(xiàn)段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ＝CP，連接PQ，設(shè)CP＝m，△CPQ的面積為S．①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，并求出m為何值時(shí)，S取得最大值；②當(dāng)S最大時(shí)，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l上若存在點(diǎn)F，使△FDQ為直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】(1)；(2)①，當(dāng)m＝5時(shí)，S取最大值；②滿(mǎn)足條件的點(diǎn)F共有四個(gè)，坐標(biāo)分別為，，，，【解析】(1)將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)，得，解得：，∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2＋x＋8；(2)①∵OA＝8，OC＝6，∴AC＝＝10，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥BC與E點(diǎn)，則sin∠ACB＝＝＝，∴＝，∴QE＝(10﹣m)，∴S＝?CP?QE＝m×(10﹣m)＝﹣m2＋3m；②∵S＝?CP?QE＝m×(10﹣m)＝﹣m2＋3m＝﹣(m﹣5)2＋，∴當(dāng)m＝5時(shí)，S取最大