三角恒等式的常用證明思路三角恒等式的證明，常用綜合法（執(zhí)因索果）和分析法（執(zhí)果索因），不論采用什么證明方法，都有要認(rèn)真分析等式兩邊三角函數(shù)式的特點，從角、函數(shù)名稱、運算關(guān)系這三個方面尋找差異，從這其中某一方面入手努力去消滅差異，特別是角的差異，盯住消滅差異這個目標(biāo)對等式進(jìn)行恒等變換，消滅了差異，往往就證出了等式.1.無條件三角恒等式的證明遵循化簡原則無條件三角恒等式的證明的基本思路是化簡，常用方法有：化繁為簡、左右歸一、變更命題等，使等式兩端的“異”化為“同”.思路一：“化繁為簡”一5一-一.一=32sin10°例1求證：分析從左式入手，通分，再利用平方差公式，逆用和角公式，最后應(yīng)用誘導(dǎo)公式，倍角化簡到右邊.證明左式=sm40-)21_cos40"?(J3gos40證明左式=sm40-)21_cos40"?(J3gos40h―sin240Bcc.sa40Bsin40。cos40D一sin40°sin240ncos240°斤 1 斤 "I4-2\—cos40n--sin40n)(—cos40°——籟40°)二2222- (2sm40"c-?s40B)2_16sin100°srn20a_16sin80°sin20"_16sin20°-sin3SO"-sin280D -sin80a32Sinl0ncoS10n_.,.n= =JZsin10=右邊.點評在證明三角恒等式時，若無明確思路，則可先將式子化繁為簡，化簡三角函數(shù)式的常用方法是：異名函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，切割化弦,特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化.思路二：“左右歸一”tail日（1+sm5）+sin3 tan5-I-sin&例2求證：t血日（1+s也日）一$血&tan&3cot—TOC\o"1-5"\h\z分析左右兩式通過“切割化弦”及應(yīng)用倍角公式，都可得到一個共同的值 2,因而得證.sm6.. .① .戸 （1+他耳）+如3 .匚0￡舊 l+CQ5y+siilysm51.. . .. . - 1十sin&-cos& （1-I-sin-sin證明左式=匚匚TOC\o"1-5"\h\zZsin—cos—+ 2cos — 匚os— 小=—2—2 1 1二找t 空?BB—2日?日22sin—cos—+ 2siti — sm —22 2 2所以左邊二右邊，故等式成立.點評將三角函數(shù)式的化簡時，可能從左化到右，也可能從右化到左，還可能從兩邊化到中間，關(guān)鍵是要遵循化簡的原則，能正確運用三角公式，采用切割化弦、通分、平方降次、1的代換等方法技巧來進(jìn)行化簡.思路三：“化差為零”例4求證：例4求證：s沁加+聞_2沁佃+戸卜業(yè)例3求證：匚oe◎十1十sinR1 cosa分析左式一右式，通過運用同角三角函數(shù)公式及1=騷4+曲^等公式的化簡,得左式一右式二°,從而得左式二右式，即得證。(c0s+1-sinCV)-cosCV-(1+srn①)-(uo$e+1+囲?.?分子二cos3命十coscr+sintrcosa-cosa-1-t-sincr-sinorcosdr-sin￡T+siii2a???左邊-右邊二°.點評化差為零的方法可將學(xué)生感到棘手的證明問題轉(zhuǎn)化為同學(xué)們熟知的計算問題.思路四：“等價化歸”兩邊同除上血①兩邊同除上血①，得s誠加+切_注心+戸)二啞分析先轉(zhuǎn)換命題，將分式整式化： ，再利用角的關(guān)系：證明sin(2口+Q-2cos(￡T+^sin化二￡血［(^+妙+盤］-2cos(^+/5)sin口=sm(◎+ cos(or-l-同血住一2cos(cfH-聞win①=sm(比+戌)cosiV-cqs(CV+0)sin氓=sin［(住+戌)一蘆］=mm淨(jìng)點評證明三角恒等式，有時需要對原命題作整體的轉(zhuǎn)化.2.有條件三角恒等式的證明遵循且標(biāo)消差原則有條件三角恒等式的證明的基本思路是盯住目標(biāo)，消滅條件等式與結(jié)論等式之間的差異，包括角的差異、函數(shù)名稱的差異、運算關(guān)系的差異，特別是角的差異，常用方法有：代入法、消去法、綜合法、分析法等.tan(a+烤3例5已知5sinB=sin(2a+B),求證 t尬① 2分析從角的關(guān)系入手，首先考慮結(jié)論中的兩個角是a+B，a,而已知條件中的兩個角可以用a+B，a來表示，然后再運用兩角和差的正余弦公式即可.證明?5sinB=sin(2a+B)，?5sin[(a+B)—a]=sin[(a+B)+a]，.?.5sin(a+B)cosa—5cos(a+B)sina=sin(a+B)cosa+cos(a+B)sina,即4sin(a+B)cosa=6cos(a+B)sina.

taii(c2f+ff)_3? t曲仇 2???點評三角條件等式的證明關(guān)鍵是要比較條件等式與結(jié)論等式等式的差異，再用分析法或綜合法尋找正確的證明途徑，通過三角恒等變換來變角變次變名稱，達(dá)到使兩等式之間的“異”轉(zhuǎn)化為“同”.2宀CC.S盤=二 TOC\o"1-5"\h\z例6.已知：sina=a?sinp,tana=b?tan?,求證： 。分析：可以采用消元法，注意到結(jié)論中沒有關(guān)于卩的相關(guān)函數(shù)，故可由條件消卩。CSC0= 證明：丁sina=a?sin?, ，①：.cotp=―-—tana=b?tan?, ， ②將①、②式平方后相減得:a1bAcos2or.即siiCSC5將①、②式平方后相減得:a1bAcos2or.即siisun口1tana222122■a-bcosor=sina二1一匚of仕9 9點評證明條件三角恒等式的方法是消元法，即代入法，換元法等；解題的基本途徑是利用給定的條件把問題轉(zhuǎn)化一般恒等式的證明.如：本題還可以由給定條件求得sin.tan4a- ,b ，代入結(jié)論中的右邊，消去a，b,即可將原問題轉(zhuǎn)化為無條件三角恒等式的證明問題.總之，證明三角恒等式的基本思路是：首先觀察條件與