學(xué)習(xí)，為了追尋更好的自己！空間向量性運(yùn)算與基定理要一空向的關(guān)念1.空向的義在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示；記作：或a。（要注意印刷體用a而手寫體為，區(qū)分開）要詮：（）間中點(diǎn)的一個平移就是一個向量；（）學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。2.空向的度模表示空間向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模，記|AB|

或

|3．間量有概：零量長度為0或說起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的向量，記為0。定：0與意向量平行。單向：度為1的間向量，即

.相向：向相同且模相等的向量。相向：向相反但模相等的向量。共向：果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合這向量叫做共線向量或平行向量．平于b記作ab．共向：行于同一個平面的向量，叫做共面向量。要詮：①當(dāng)我們說向量

a

、

b

共線（或

a

b

）時，表示

a

、

b

的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．①向量在空間中是可以平移的空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)因此我們說空間任意兩個向量是共面的．要二空向的減1．減定空間中任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法下圖1

學(xué)習(xí)，為了追尋更好的自己！2．算交換律：結(jié)合律：

a()b)要詮：（）間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律合這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并；（）量的減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，滿足三角形法則．（）間向量加法的運(yùn)算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，即：

AAAA1224n1因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；①首尾相接的若干向量若構(gòu)成個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：

AAAAAAAA012

；要三空向的乘算1.定：數(shù)

與空間向量

的乘積

仍是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)時a與方相同；當(dāng)時a與方相反；當(dāng)時．a(chǎn)的度是a的度|2.運(yùn)律

倍．如右圖所示．2

①學(xué)習(xí)，為了追尋更好的自己?、俜峙渎桑?/p>

(

+

b

)=

a

+

b

；結(jié)合律：a)=(．要詮：（）數(shù)空向量的積a（）空間向量的數(shù)乘運(yùn)算，空間向量的數(shù)乘運(yùn)算可把向量伸長或縮短或改為反方向的向量＜1時量短；當(dāng)時向量伸長；當(dāng)0，改為反方向的向量．（）意實(shí)數(shù)與向量的積的特殊情況，當(dāng)時=0；時若≠0時，有a≠0．（）數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算，比如，無意義．要四共定1．線量定．與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a①b．注意：0與意量是共線向量．2．線量理空間任意兩個向量a

、（≠0

a

b的要條件是存在實(shí)數(shù)

．要詮：定理可分解為以下兩個命題：①b（）存唯一實(shí)數(shù)使得a=b

；①存在唯一實(shí)數(shù)

，使得

=

b

（

b

≠0

①

b

．注意:

b

0不丟掉，否則實(shí)數(shù)不唯一3.共向定的途①判定兩條直線平行而線面平行）①證明三點(diǎn)共線。要詮：明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線進(jìn)可以得線線平行這是證明平行問題的一種重要方法證明三點(diǎn)共線問題通不用圖形直利用向量的線性運(yùn)算即可一定要注意所表示的向量必須有一個公共點(diǎn)。要五共定1．面量定．通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．注意：空任兩個向量是共面的，但空間任三個向量就不一定共面了．2．面量理3

學(xué)習(xí)，為了追尋更好的自己！如果兩個向量ab不線，p與量ab共的要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（,ypxayb．推論：空間一點(diǎn)位平面內(nèi)充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對

,y

，使MPyMB

或?qū)臻g任一點(diǎn)O，OPOMyMB

，上式叫做平面的量表達(dá)式．3.共面量理用途①證明四點(diǎn)共面①線面平行（進(jìn)而證面面平行要六空向定如果三個向量

ab,c

不共面，那么對空間任一向量

，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,，使pzc

.表達(dá)式

xazc

，叫做向量

ab,c

的線性表示式或線性組合

a,bc

叫做空間的一個基底，記作

b,

叫做基向量要詮：(1)空間向量基本定理說明空間三個不共面的已知向量組ab,c可以線性表示出空間任意一個向量，而且表示的結(jié)果是唯一的；（）間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底，三個向量不共面隱含著它們都不是0.

理解空向量的概念，掌握空間向量的幾何表示方法與字母表示方法．2.掌握空間向量的線性運(yùn)算（加、減法和數(shù)乘）及其運(yùn)算律．3.掌握空間向量的共線定理、共定理和基本定理，并能用它們分析解決有關(guān)問題．4

學(xué)習(xí)，為了追尋更好的自己！1.掌握空間向量的線性運(yùn)算（加、減法和數(shù)乘）及其運(yùn)算律．

2.掌握空間向量的共線定理、共定理和基本定理，并能用它們分析解決有關(guān)問題．【型題類一空向的性算例1已知平行六面體A'B'CD'

中，設(shè)

CD

，

CB

，

CC

，試用向量a

、b、c

來表示向量CA、舉反：【變式1】在正方體ABCDCD中，下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為向量的共有1111（）①

AB

①

AADDC1111

①

BB

①

AAAB11A．個

B．個

C3

D．個【變式2】如圖，設(shè)四面體的三條棱，AC，AD，為①BCD的重心，為BC的點(diǎn)試用b、

、表示向量

DM

、AQ

。5

學(xué)習(xí)，為了追尋更好的自己！例、圖，已知長方體ABCD'B''

，化簡下列向量表達(dá)式：（）

AACB

；（）

11ADABA'A222

。舉反：【變式】已知行六面體化簡結(jié)果的向量：

ABCDACD1

，化簡下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出（1

ADAA

；（2

AB

；A1

D1B1

C1

【變式】已知空間四邊形，接BD，設(shè)G分是BCCD的點(diǎn)，則

等于（）A．

DB

B

C

3

D．

26

學(xué)習(xí)，為了追尋更好的自己！例．三棱錐O一ABC中G是ΔABC的重心，求證：

(OB)

.舉反：【變式】在如圖所示的平行六面體中求證：

AB'ADAC'

?！咀兪?】圖，在四邊形

ABCD中、F分為、BC的點(diǎn)，試證：EF

(AB)

。7

學(xué)習(xí)，為了追尋更好的自己！類二共向定的用例．圖所示，已知空間四邊形，、分別是邊AB、的點(diǎn)，、分別是、的點(diǎn)，且

23

2CB，CGCD．求證：四邊形是形．3舉反：【變式設(shè)

e

、

e

是平面上不共線的向量，已知

ee1

2

，

e

，CDe1

，若、、三共線，求的。【變式】已知E、、、分別是空間四邊形ABCD的AB、、的點(diǎn)，用向量法證明①平面；8

學(xué)習(xí)，為了追尋更好的自己！類三共向及用例．知AB,

三點(diǎn)不共線，對平面外任一點(diǎn)，滿足條件

O

22OBOC5

，試判斷：點(diǎn)與AC

是否一定共面？舉反：【變式】已知

ABCD

，從平面

外一點(diǎn)O

引向量KOB,OGOHkOD，（）證：四點(diǎn)GH

共面；（）面//

平面EG．9

學(xué)習(xí)，為了追尋更好的自己！例V為形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且VA=VB=VC=VD，VP

，

2VB3

，

VNVD

。求證：①面PMN。舉反：【變式】已知斜三棱柱

AB111

，設(shè)，AC，AA

在面對角線和棱BC上別取點(diǎn)和N，與向量a，c共面.

AMACBCk

求：【變式】如圖，已知矩形ABCD和形ADEF所平面互相垂直，點(diǎn)MN分別在對角線BDAE上，且

BD

，

1ANAE3

．求證MN平面CDE．

學(xué)習(xí)，為了追尋更好的自己！本課后習(xí)一選題1．在平行六面體ABCD—ACD中向量1111

，

AD，是A．相起點(diǎn)的向量B．等長的向量C共面向量2．空間向量中，下列說法正確是（）A．果個向量長度相等，那么這兩個向量相等B如果兩個向量方向相同，那么這兩個向量相等C如果兩個向量平行且它們的模相等，那么這兩個向量相等D．向等長的有向線段表示同一向量3．下列三個命題：①向量的模是一個正實(shí)數(shù)；①所有的單位向量都相等；①方向相反的向量是相反向量命題正確的個數(shù)為（）A．B．C．．3

D．共向量4．在平行六面體

ABCD'B'C''

中，與向量

'

相等的向量有（）A．個B．3個．個．個如空間四邊形，、G分是、CD的點(diǎn)，連結(jié)、、，

AGBC學(xué)習(xí)，為了追尋更好的自己！AGBCAB

12

(BD)等于（）A.

B.

C.

D.

AB

DM

C

G6．在正方體BCD中，已知下列各式：1111①

(ABBC)；①(AAAD)111

；①

(BBBC1

；①

(AB)BC1

．其中運(yùn)算的結(jié)果為向量

的有（A．個

B．個

．個

D．個7．已知空間向量A，，且的三點(diǎn)是（

ABb，CDb

，則一定共線A．、、B．BCC．B、、D．、、二填題8.如果兩個向量a，不線，則p

與，共的充要條件____________9.已知平行六面體

''

，化簡下列表達(dá)式：（）

ABBBD'D

；（）

'ADAA'

。10六體—ABCD中1111

x+y+z=________。．知O是間任意一點(diǎn)、、四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且OA2xBOyCDzDO三解題

，則．

學(xué)習(xí)，為了追尋更好的自己！12．已知平行六面體結(jié)果的向量：

ABCDA'''

（如圖簡列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡BC；

(2)AB；AB

12

'13.已知平行