2.2基本不等式（第2課時）（分層作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·河北·大名縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式即可求出．【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以函數(shù)的值域為．故選：C．2．（2022·全國·高一）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】因為，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），即的最小值為4.故選：D.3．（2022·河南南陽·高一階段練習(xí)）已知，且，則的最大值為（

）A．2 B．5 C． D．【答案】D【分析】直接由基本不等式求解即可.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以的最大值為.故選：D4．（2021·全國·高一專題練習(xí)）若對任意的都有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用基本不等式，可求得的最小值，即可求得答案.【詳解】因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時等號成立，所以，故選：A5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列說法正確的為（

）A．B．函數(shù)的最小值為4C．若則最大值為1D．已知時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取得最小值8【答案】C【分析】利用基本不等式及其對勾函數(shù)的性質(zhì)分別判斷即可.【詳解】對于選項,只有當(dāng)時，才滿足基本不等式的使用條件，則不正確；對于選項,，令，即在上單調(diào)遞增，則最小值為,則不正確；對于選項,，則正確；對于選項,當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，等號成立，則不正確.故選：.6．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，用基本不等式求的最小值時，有，則取得最小值時的值為（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】利用基本不等式取等號的條件進(jìn)行求解.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即取得最小值．故選：C7．（2022·全國·高一課時練習(xí)）某汽車客運站購買了一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析每輛客車營運的總利潤y（單位：萬元）與營運年數(shù)x為二次函數(shù)關(guān)系，如圖所示，則當(dāng)每輛客車營運的年平均利潤最大時，其營運年數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先由題意，根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再由基本不等式即可求解.【詳解】由題意可設(shè)，且當(dāng)時，，即，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．故選:C．8．（2021·湖南·衡陽市田家炳實驗中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則的最值為（

）A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值3【答案】C【分析】配湊目標(biāo)式，利用基本不等式，即可求得目標(biāo)式的最值.【詳解】因為，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值3；令，對函數(shù)，其在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，無最大值.故時，無最大值.故選：C.9．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）若不等式對滿足條件的恒成立，則實數(shù)k的最大值為（

）A．2 B．4C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)已知及基本不等式可得，可求出實數(shù)k的最大值．【詳解】解：根據(jù)

，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，化簡可得，因為，所以，，所以運用，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，又因為恒成立，所以，即k的最大值是4．故選：B．10．（2022·全國·益陽平高學(xué)校高一期末）已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【答案】A【分析】利用基本不等式可求解.【詳解】因為，所以.因為，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值是6.故選：A二、多選題11．（2022·全國·高一）設(shè)正實數(shù)滿足，則（

）A．的最小值為B．的最小值為2C．的最大值為1D．的最小值為2【答案】CD【分析】由已知條件結(jié)合基本不等式及其相關(guān)變形，分別檢驗各個選項即可判斷正誤.【詳解】對于選項，，當(dāng)且僅當(dāng)且時，即，時取等號，則錯誤；對于選項，,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則，即的最大值為2，則錯誤；對于選項，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則正確；對于選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則正確,故選:.12．（2022·全國·高一課時練習(xí)）（多選）已知，都為正數(shù)，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ABD【分析】利用基本不等式結(jié)合已知條件逐個分析判斷.【詳解】對于A，因為，都為正數(shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，時取等號，所以的最大值為，所以A正確，對于B，因為，所以，由選項A可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，所以的最小值為，所以B正確，對于C，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，但，都為正數(shù)，故等號取不到，所以C錯誤，對于D，因為，都為正數(shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即即，時取等號，所以的最小值為，所以D正確，故選：ABD三、填空題13．（2022·全國·高一課時練習(xí)）用一根長為12m的鋁合金條做成一個“目”字形窗戶的框架（不計損耗），要使這個窗戶通過的陽光最充足，則框架的寬為______m．【答案】【分析】首先設(shè)框架的寬為x，再表示框架的面積，利用基本不等式求最值，即可求框架的寬.【詳解】設(shè)框架的寬為x，則其高為，要使這個窗戶通過的陽光最充足，只要窗戶的面積S最大，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故框架的寬為m．故答案為：14．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知，則函數(shù)的最大值為___________.【答案】【分析】由于，需要構(gòu)造函數(shù)，才能運用基本不等式.【詳解】因為，所以，,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故當(dāng)時，取最大值，即.故答案為：3.15．（2022·甘肅·張掖市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)的最小值是___________.【答案】【分析】利用基本不等式求函數(shù)最小值，注意等號成立的條件即可.【詳解】由題設(shè)知，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故函數(shù)最小值為.故答案為：.16．（2021·吉林油田高級中學(xué)高一開學(xué)考試）若“，不等式恒成立”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)基本不等式求出，，根據(jù)不等式“，不等式恒成立”可得答案.【詳解】由基本不等式可知，（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”），因為“，不等式恒成立”，故,故答案為：17．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式恒成立，則a的取值范圍是________．【答案】【分析】當(dāng)時，成立；當(dāng)時，恒成立等價于恒成立，有基本不等式得出a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，不等式成立；當(dāng)時，根據(jù)恒成立，則等價于恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；只需即可．故答案為：18．（2022·江蘇·高一）已知，，且，則的最小值為_________【答案】【分析】利用基本不等式“1”的妙用進(jìn)行求解【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故答案為：19．（2022·陜西·長安一中高一階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為___．【答案】【分析】令，則，化簡得到，集合基本不等式，即可求解.【詳解】因為，令，則，又因為，可得，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，即時，等號成立，所以，即的最小值為.故答案為：.20．（2022·江蘇·高一）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為___________．【答案】【分析】將函數(shù)解析式變形為，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因為，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為.故答案為：.四、解答題21．（2021·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)，求函數(shù)的最大值.【答案】4【分析】根據(jù)題意,設(shè),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得當(dāng)時,有最大值16,進(jìn)而分析可得的最大值,即可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,設(shè)則,分析可得當(dāng)時,有最大值16,則此時有最大值;故函數(shù)的最大值為4.【點睛】本題考查函數(shù)最值的計算,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思路,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值.22．（2022·全國·高一專題練習(xí)）求函數(shù)的最值.【答案】最小值為，無最大值【分析】利用分式變形結(jié)合換元法構(gòu)造對勾函數(shù)，利用對勾函數(shù)最值求解即可【詳解】解：，令，則，因為對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得最小值.故的最小值為，無最大值.【能力提升】一、單選題1．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知實數(shù)x、y滿足，且不等式恒成立，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得出，進(jìn)一步得到的最小值，再根據(jù)不等式恒成立，得出求出c的取值范圍．【詳解】解：，，當(dāng)且僅當(dāng)時“”成立，又不等式恒成立，，的取值范圍是．故選：B．2．（2020·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)計用的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，按交通部門的規(guī)定車廂寬度為，則車廂的最大容積是（

）A．（38－3m3 B．16m3 C．4m3 D．14m3【答案】B【詳解】設(shè)長方體車廂的長為xm，高為hm，則，即，∴，即，解得，∴．∴車廂的容積為．當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立．∴車廂容積的最大值為．選B．二、多選題3．（2022·全國·高一單元測試）已知，，且，則（

）A．的取值范圍是B．的取值范圍是C．的最小值是3D．的最小值是【答案】BD【分析】根據(jù)基本不等式可求得，判斷A;將變形為結(jié)合基本不等式，求得，判斷B；由整理得到結(jié)合基本不等式可判斷C,D.【詳解】對于A，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，解得，即，A錯誤；對于B,由，,，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，得，所以,B正確；對于C,由，，，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立,但，所以．（等號取不到）,故C錯誤；對于D，由C的分析知：，,,，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，D正確，故選：BD4．（2021·重慶市鳳鳴山中學(xué)高一期中）下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有．A．如果，那么取得最大值時的值為B．如果，，，那么的最小值為6C．函數(shù)的最小值為2D．如果，，且，那么的最小值為2【答案】AB【解析】A.將其配成頂點坐標(biāo)式即可得出答案；B.將其配成代入即可得其最小值；C.函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)此時無解D.根據(jù)題意構(gòu)造，將“1”替換為，代入用基本不等式.【詳解】解：對于A.如果，那么，當(dāng)時取得最大值，故正確；對于B.如果，，則整理得，所以或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，故正確；對于C.函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)此時無解，不能取得最小值2，故錯誤；對于D.如果，，且，那么當(dāng)且僅當(dāng)即時取得最小值，故錯誤.故選：AB【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.三、填空題5．（2021·江蘇·揚州大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）不等式的解集為，則的最大值為____________.【答案】【分析】分、兩種情況討論，根據(jù)題意可得出、所滿足的不等關(guān)系式，結(jié)合基本不等式可求得的最大值.【詳解】當(dāng)時，即不等式的解集為，則，，要使得有意義，此時，則；當(dāng)時，若不等式的解集為，則，即，所以，，因為，則，當(dāng)時，則，此時；當(dāng)時，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.綜上所述，的最大值為.故答案為：.6．（2022·陜西·長安一中高一期中）已知，且，那么下列不等式：①；②；③；④中，正確的序號是________．【答案】①②④【分析】利用基本不等式及對勾函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可；【詳解】解：對于①:，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號），所以①正確；對于②：由①有，設(shè)，則在上單調(diào)遞減．所以，所以②正確；對于③：（當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號），．所以③錯誤．對于④：（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立），所以④正確．故答案為：①②④．7．（2021·遼寧·高一期中）已知，，若不等式恒成立，則的最大值是______.【答案】【分析】問題轉(zhuǎn)化為恒成立，由基本不等式求的最小值可得．【詳解】，，不等式恒成立，恒成立，又當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，的最小值為，所以，即的最大值為，故答案為：．8．（2021·浙江省桐鄉(xiāng)市高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為__________.【答案】【分析】由基本不等式分析，換元結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)可求最小值.【詳解】由題意，，因為，令，，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時，有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)時取到，故的最小值為.故答案為：9．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，，且，則的最大值為____．【答案】【解析】由，，利用均值不等式得，解得的取值范圍，進(jìn)而求得的最大值.【詳解】由，，得，即又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等，故，解得或（舍）故，即的最大值為，故答案為：.10．（2021·湖北孝感·高一期中）若正實數(shù)滿足，則的最大值為________.【答案】4【分析】將用的表達(dá)式表示，結(jié)合，利用均值不等式求出，從而確定的范圍.【詳解】因為，所以，又且，所以，解得，=結(jié)合知，有最大值4.故答案為：4.11．（2021·江蘇·南京市第十三中學(xué)高一期末）若實數(shù)滿足，則的最大值為________.【答案】【解析】已知條件可化為，故可設(shè)，從而目標(biāo)代數(shù)式可化為，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】由，得，設(shè)，其中.則，從而，記，則，不妨設(shè)，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查二元二次等式條件下二元分式的最大值，注意根據(jù)已知條件可因式分解從而采用換元法來改造目標(biāo)代數(shù)式，再根據(jù)目標(biāo)代數(shù)式的特征再次換元，從而得到能使用基本不等式的結(jié)構(gòu)形式，本題屬于難題.四、解答題12．（2021·全國·高一課時練習(xí)）若對任意實數(shù)x，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】【分析】令，當(dāng)時，，利用基本不等式和不等式的性質(zhì)求出的范圍，再代入，最終可求出的值域，再根據(jù)即可得實數(shù)k的取值范圍．【詳解】令當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立或即或或或綜合得因為不等式恒成立，則.13．（2021·全國·高一課時練習(xí)）（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）當(dāng)時，求的最小值．【答案】（1）7；（2）5．【分析】（1）原函數(shù)可化為，然后利用基本不等式求最小值；（2）原函數(shù)可化為，然后利用基本不等式求最小值.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即．（2），當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即．14．（2021·新疆喀什·高一期中）某校為了美化校園環(huán)境，計劃在學(xué)?？盏亟ㄔO(shè)一個面積為的長方形草坪，如圖所示，花草坪中間設(shè)計一個矩形ABCD種植花卉，矩形ABCD上下各留1m，左右各留1.5米的空間種植草坪，設(shè)