2022-2023學(xué)年安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知正四面體的各棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】把表示為，然后再求數(shù)量積．【詳解】由題意，四面體是正四面體，每個(gè)面都是正三角形，∴．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是把表示為，然后計(jì)算即可．2．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若，則，故選：B3．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，借助模長(zhǎng)公式能求出的長(zhǎng)．【詳解】，，．故選：A4．如圖，在三棱錐中，，，，則異面直線OB與AC所成的角是（

）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【分析】由異面直線的向量求法求解即可【詳解】∵，，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴，又異面直線所成角的取值范圍∴異面直線OB與AC所成的角為60°．故選：B5．在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點(diǎn)，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出直線PN和BM的方向向量代入公式即可得出答案.【詳解】以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，則，，設(shè)異面直線PN和BM所成角為，則.故選：B.6．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在位置為，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合可得出“將軍飲馬”的最短總路程為，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，如下圖所示：在直線上任取一點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故“將軍飲馬”的最短總路程為.故選：B.7．平面直角坐標(biāo)系中，已知，在兩坐標(biāo)軸上分別有動(dòng)點(diǎn)、，且，是的中點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出點(diǎn)的軌跡方程為，利用圓的幾何性質(zhì)可得出，即可得解.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)、分別在、軸上，設(shè)點(diǎn)，則、，所以，，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)的軌跡為圓，該圓的半徑為，由圓的幾何性質(zhì)可得.故選：D.8．若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析曲線的形狀，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與曲線，利用數(shù)形結(jié)合方法求解作答.【詳解】方程是恒過(guò)定點(diǎn)，斜率為k的直線，曲線，即，是圓心為，半徑在直線及右側(cè)的半圓，半圓弧端點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與半圓C：，如圖，當(dāng)直線與半圓C相切時(shí)，由得切線PT的斜率，當(dāng)直線PT繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到過(guò)點(diǎn)A的直線的過(guò)程中的每一個(gè)位置的直線與半圓C均有兩個(gè)公共點(diǎn)，包含直線PA，不包含直線PT，旋轉(zhuǎn)到其它位置都沒(méi)有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線PA的斜率，所以直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A二、多選題9．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為a，以下結(jié)論正確的是（

）.A．B．C．存在實(shí)數(shù)，使得D．【答案】BD【分析】以分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式，以及向量的線性運(yùn)算法則，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】以分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)，如圖所示，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，可得對(duì)于A中，可得，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，可得，所以，所以B正確；對(duì)于C中，可得，所以向量與不是共線向量，所以不存在實(shí)數(shù)，使得，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，所以D正確.故選：BD.10．在空間直角坐標(biāo)系中，平面的法向量，直線的方向向量為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．軸一定與平面相交 B．平面一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．若，則 D．若，則【答案】AC【分析】A選項(xiàng)，設(shè)設(shè)軸的方向向量設(shè)為，通過(guò)計(jì)算可以得到兩者一定相交；B選項(xiàng)直接可以作出判斷；C選項(xiàng)通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，可以作出判斷，D選項(xiàng)通過(guò)計(jì)算，可以得到或在平面上.【詳解】不妨設(shè)軸的方向向量設(shè)為，則，故軸一定與平面相交，A正確；平面不一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，即，故，C正確；因?yàn)椋?，所以或在平面上，故D錯(cuò)誤.故選：AC11．如圖，平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱彼此的夾角都是60°，且棱長(zhǎng)均為1，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．B．C．直線與直線所成角的正該值是D．直線與平面所成角的正弦值是【答案】AB【分析】根據(jù)空間向量基本定理，將所求轉(zhuǎn)化為基底進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】記，則因?yàn)椋?，故A正確；因?yàn)?，故B正確；因?yàn)椋?，，所以，所以，故C不正確；易知，又，所以為平面的法向量，記直線與平面所成角為，則，故D不正確.故選：AB12．已知橢圓，若P在橢圓上，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．若，則 B．面積的最大值為C．的最大值為 D．滿足是直角三角形的點(diǎn)有個(gè)【答案】ABC【分析】利用余弦定理可判斷A選項(xiàng)；利用三角形的面積公式可判斷B選項(xiàng)；利用橢圓的定義可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量的數(shù)量積可判斷D選項(xiàng).【詳解】在橢圓中，，，，且，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到軸的距離最大，所以，面積的最大值為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，即，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)或時(shí)，為直角三角形，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)有個(gè)，當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，則，，，，所以，，，此時(shí)，滿足條件的點(diǎn)有個(gè)，綜上所述，滿足是直角三角形的點(diǎn)有個(gè)，D錯(cuò).故選：ABC.三、填空題13．已知平行六面體的棱長(zhǎng)均為4，，E為棱的中點(diǎn)，則___________.【答案】6【分析】利用空間向量基本定理，選取合適的基底表示向量，再通過(guò)平方的方法求出其模長(zhǎng).【詳解】設(shè)，，，則，∴，∴.故答案為：614．求與直線的夾角為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的直線方程可以是________.【答案】或【分析】討論當(dāng)直線的斜率不存在，檢驗(yàn)滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)為，由兩直線的夾角公式，解方程可得，再由直線的點(diǎn)斜式方程可得所求方程.【詳解】直線的斜率為，可得傾斜角為，當(dāng)直線的斜率不存在，即傾斜角為時(shí)，滿足題意，直線的方程為；當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)為，由題意可得，解得：，可得直線的方程為，即為.故答案為：或.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題易忽略斜率不存在的情況，可以先畫出直線，以便于判斷的情況.15．直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)弦AB的長(zhǎng)度最短時(shí)，則三角形ABC的面積為________【答案】【分析】由于直線過(guò)定點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，弦AB的長(zhǎng)度最短，然后先求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理可求出的長(zhǎng)，從而可求出三角形ABC的面積【詳解】因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)，圓的圓心，半徑為，所以當(dāng)時(shí)，弦AB的長(zhǎng)度最短，因?yàn)?，所以，所以三角形ABC的面積為，故答案為：16．油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮于春分時(shí)節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié)．活動(dòng)中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為的圓，圓心到傘柄底端距離為，陽(yáng)光照射抽紙傘在地面形成了一個(gè)橢圓形影子（春分時(shí)，北京的陽(yáng)光與地面夾角為），若傘柄底正好位于該橢圓的焦點(diǎn)位置，則該橢圓的離心率為______________．【答案】##【分析】根據(jù)左焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)距離可得；在中，利用正弦定理可求得，由此可得，進(jìn)而求得離心率.【詳解】如圖所示，傘柄底端應(yīng)該位于橢圓的左焦點(diǎn)，且左焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，即；在中，由正弦定理得：，，，該橢圓的離心率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓離心率的求解，解題關(guān)鍵是能夠提煉出基本圖形，結(jié)合正弦定理可求得橢圓的，由此可得離心率.四、解答題17．已知直線，直線過(guò)點(diǎn)，且于點(diǎn).（1）求直線的方程；（2）若直線與軸相交于點(diǎn)，求△外接圓的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用直線，而直線，可直接求出l的斜率，再由點(diǎn)斜式，求出l的方程；（2）先求出B的坐標(biāo)，根據(jù)AH⊥BH，得到AB為所求圓的直徑，從而求出圓的方程.【詳解】解：(1)直線的斜率，由題意的斜率

又過(guò)點(diǎn)，的方程為即（2）中令得，故

于，

所以是外接圓的直徑

，的中點(diǎn)坐標(biāo)為

外接圓方程為【點(diǎn)睛】待定系數(shù)法可以求曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)方程，是最常用的方法；18．如圖，三棱柱中，M，N分別是上的點(diǎn)，且．設(shè)，，．(1)試用，，表示向量；(2)若，求MN的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法即可求解.【詳解】（1）解：，∴；（2）解：，，，，，即MN的長(zhǎng)為.19．如圖所示，已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，為橢圓上一點(diǎn)，且(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在第二象限，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，求出，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，從而可求，即可得出橢圓方程；（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式，可求△的面積．【詳解】（1）解：依題意得，又，，，，．所求橢圓的方程為．（2）解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，所在直線的方程為，即．解方程組，并注意到，，可得．20．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，DB的中點(diǎn)，G在棱CD上，且，H是的中點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決下列問(wèn)題：(1)求異面直線EF和所成角的余弦值；(2)求FH的長(zhǎng).【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用坐標(biāo)法，利用向量的夾角公式即得；（2）利用向量的模長(zhǎng)公式即得.【詳解】（1）如圖，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，可得，，所以，，而，所以即異面直線EF和所成角的余弦值為；（2）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，，?21．已知直線l：與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線m與圓C交于M，N兩點(diǎn)．（1）若直線m垂直平分弦AB，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若，求以MN為直徑的圓的方程；（3）已知點(diǎn)，在直線SC上為圓心，存在定點(diǎn)異于點(diǎn)，滿足：對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)T的坐標(biāo)及該常數(shù)．【答案】（1）；（2）；（3）在直線上存在定點(diǎn)使得為常數(shù).【分析】（1）化簡(jiǎn)圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓的半徑，根據(jù)圓的性質(zhì)進(jìn)行求解實(shí)數(shù)的值即可；（2）根據(jù)圓的垂徑定理，結(jié)合勾股定理、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可；（3）設(shè)直線上的點(diǎn)，取直線與圓的交點(diǎn)，則，取直線與圓的交點(diǎn)，則，然后求解存在這樣的定點(diǎn)，進(jìn)而求證結(jié)論.【詳解】（1）依題意，圓C方程變形為，圓心，半徑又直線l的方程即為，因?yàn)榇怪逼椒窒?，圓心必在直線上過(guò)點(diǎn)和，斜率，；（2）設(shè)垂直于的弦長(zhǎng)為，，由圓的垂徑定理和勾股定理可得：，所以，因此是MN的中點(diǎn)，所以以MN為直徑的圓就是以為圓心，2為半徑的圓，方程為：；（3）設(shè)直線上的點(diǎn)取直線與圓的交點(diǎn)，則取直線與圓的交點(diǎn)，則.令，解得或（舍去，與重合），此時(shí)若存在這樣的定點(diǎn)滿足題意，則必為證明如下：點(diǎn)滿足題意.設(shè)圓上任意一點(diǎn)，則，綜上可知，在直線上存在定點(diǎn)使得為常數(shù).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：應(yīng)用圓的垂徑定理，通過(guò)熟練的數(shù)學(xué)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.22．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為為上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，軸，且