考點一

函數(shù)的模型及實際應(yīng)用考點清單考向根底1.三種增長型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的增減性增函數(shù)①增函數(shù)

②增函數(shù)

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨α值變化而不同2.三種增長型函數(shù)之間增長速度的比較(1)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)與冪函數(shù)y=xα(α>0)在區(qū)間(0,+∞)上,無論α比a大多少,盡管在x的一定范圍內(nèi)ax會小于xα,但

由于y=ax的增長速度快于y=xα的增長速度,因而總存在一個x0,使x>x0時

有ax>xα.(2)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)與冪函數(shù)y=xα(α>0)不管a與α值的大小如何,對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)的增長速度總會慢于y=xα

的增長速度,因而在定義域內(nèi)總存在一個實數(shù)x0,使x>x0時有l(wèi)ogax<xα.由(1)(2)可以看出三種增長型的函數(shù)盡管均為增函數(shù),但它們的增長速

度不同,且不在同一個檔次上,因此在(0,+∞)上,總會存在一個x0,使x>x0

時有ax>xα>logax.3.幾種常見的函數(shù)模型(1)直線模型:一次函數(shù)模型y=kx+b(k≠0).圖象增長的特點是直線式上升

(x的系數(shù)k>0),通過圖象可以直觀地認(rèn)識它,特例是正比例函數(shù)模型y=kx

(k>0).(2)反比例函數(shù)模型:y=

(k>0),增長特點是在單調(diào)區(qū)間內(nèi)y隨x的增大而減小.(3)指數(shù)函數(shù)模型:y=a·bx+c(b>0,b≠1,且a≠0),其增長特點是隨著自變量

的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快(b>1,且a>0).常形象地稱之為“指

數(shù)爆炸〞.(4)對數(shù)函數(shù)模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,且m≠0),增長特點是隨著自變

量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越慢(a>1,且m>0).常形象地稱之為

“蝸牛式增長〞.(5)冪函數(shù)模型:y=a·xn+b(a≠0),其中最常見的是二次函數(shù)模型y=ax2+bx+

c(a≠0).其特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值先減小,后增大(a>0).(6)“對勾〞函數(shù)模型:形如f(x)=x+?(a>0,且x>0)的函數(shù)模型,在現(xiàn)實生活中也有著廣泛的應(yīng)用,常利用“根本不等式〞求最值,有時也利用函數(shù)的單調(diào)性.考向突破考向

函數(shù)的實際應(yīng)用例當(dāng)生物死亡后,其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減

為原來的一半,這個時間稱為“半衰期〞.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量

缺乏死亡前的千分之一時,用一般的放射性探測器就測不到了.假設(shè)某死

亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到,那么它經(jīng)過的“半衰期〞

個數(shù)至少是?()A.8

B.9

C.10

D.11解析設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1,那么經(jīng)過n個“半衰期〞

后的含量為?,由題意得?<?,解得n≥10,所以,假設(shè)某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到,那么它至少

需要經(jīng)過10個“半衰期〞.應(yīng)選C.答案

C考點二

函數(shù)的綜合應(yīng)用問題考向根底本考點把函數(shù)的三要素和函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期

性、對稱性等)以及函數(shù)的圖象綜合起來考查.同時把函數(shù)與方程、三

角函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何等知識聯(lián)系起來,構(gòu)造不等式求參數(shù)

范圍,利用別離參數(shù)法求函數(shù)值域,進(jìn)而求字母的取值等等.例函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),對于任意x∈R,有f(x+6)=f(x)+f(3)成

立,當(dāng)x1,x2∈[0,3],且x1≠x2時,有?>0.給出以下命題:①f(3)=0;②直線x=-6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對稱軸;③函數(shù)y=f(x)在[-9,-6]上為增函數(shù);④函數(shù)y=f(x)在[-9,9]上有四個零點.其中正確命題的序號為

.(把所有正確命題的序號都填上)考向

函數(shù)的綜合應(yīng)用考向突破解析①對于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,令x=-3,那么f(-3+6)=f(-

3)+f(3),故f(-3)=0.又因為f(x)是R上的偶函數(shù),所以f(3)=0.②由①知f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期為6,又因為f(x)是R上的偶函數(shù),所以f(x+6)=f(-x),而f(x)的周期為6,所以f(x+6)=f(-6+x),f(-x)=f(-x-6),所以f(-6-x)=f(-6+x),所以直線x=-6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對稱軸.③因為當(dāng)x1,x2∈[0,3],且x1≠x2時,有?>0,所以函數(shù)y=f(x)在[0,3]上為增函數(shù),因為f(x)是R上的偶函數(shù),所以函數(shù)y=f(x)在[-3,0]上為減函數(shù),又f(x)的周期為6,所以函數(shù)y=f(x)在[-9,-6]上為減函數(shù).④由f(3)=0,f(x)的周期為6,得f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,所以函數(shù)y=f(x)在[-9,9]上有四個零點.故答案為①②④.答案①②④方法

函數(shù)模型的實際應(yīng)用問題解決函數(shù)模型的實際應(yīng)用題,首先應(yīng)考慮該題考查的是何種函數(shù),并要

注意定義域,然后結(jié)合所給模型,列出函數(shù)關(guān)系式,最后結(jié)合其實際意義

作出解答.明確下面的根本解題步驟是解題的必要根底:

方法技巧例物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述:設(shè)物體的初

始溫度是T0,經(jīng)過一定時間t后的溫度是T,那么T-Ta=(T0-Ta)·?,其中Ta稱為環(huán)境溫度,h稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡,放在24℃

的房間中,如果咖啡降到40℃需要20分鐘,那么此杯咖啡從40℃降溫到

32℃,還需要