A13A13第五講

三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、內心及旁心，統(tǒng)稱為三角形的五.一外.三角形外接圓的圓心，簡稱外.與外心關系密切的有圓心角定理和圓周角定.例．過等腰△底BC上一P引PMCA交AB于引PN∥BA交AC于N.作點P關于MN的稱點P′試點△外接圓.杭州大學學競賽習題

'

ANMB

C例2．△的，，上別取點，，.證明以△，的外心為頂點的三角形與似(·波拉索洛夫《中學數(shù)學奧林匹克)OP..

S

KB

O2

O

C

二、重心三角形三條中線的交點，叫做三角形的重.握重心將每條中線都分成定比2:1及中線長度公式，便于解.例3是△的條中線是意一點.證明：A在△，△，△中其中一個面積等于另外兩個面

'F

'G

E積的和(第26屆斯科數(shù)學奧匹)

'B

D

'

P

C例4．如果三角形三邊的平方成差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真

2222三、垂心三角形三條高的交戰(zhàn)，稱為三角形的垂由三角形的垂心造成的四個等(外接)圓三角形，給我們解題提供了極大的便.例5A為內四邊形依為eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,，)A，eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)的心求證，，四共圓，并確定出該圓的圓心位.A

A

11

.O

HA

3

A

4例6．為的垂心，，，分是，，的心一個以H為心的⊙交直線EF，，，，，，.求證：=====.B

2

A

C

1A

1

F

M

E

A

2B

D

HH

1

CC

2

B

1

四、內心三角形內切圓的圓心，簡稱為內.對于內心，要掌握張角公式，還要記住下面一個極為有用的等量關系：設△的內心，射線交△外圓于′，則有=′=′.換言之，點A′必是之心內的等量關系之逆同樣有

M

R

αα

AE用.

O

r

PQ

FB

C例8．已知⊙內接△，⊙切，，且與切試

NK證：點是之心五、旁心三角形的一條內角平分線與另兩個內角的外角平分線相交于一點旁圓的圓心稱為旁心旁常常與內心聯(lián)系在一起，旁心還與三角形的半周長關系密.例9．在直角三角形中，求證r+++=2式中r，，，分別表示內切圓半徑及與，，相的旁切圓半徑，表半.分析：設中為邊，先來證明一個特性()=()().∵()=

1111()()=[()]=222

；()()=

11()·()=-(]=∴().①2242觀察圖形，可得-==-=，==.=

12

()=.∴+++=()+()+()+=4-()=2.由①及圖形易.

22例10．是△邊上的任意一.，，分是，，△內圓的半徑，，，q分別是述角形在∠ACB內部的旁切圓半徑證：rrr·=.(-12)qq2分析：對任意eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′′′由正弦定理可知=′·

sin

'=′′·

'sin2sin''

·

sin

=′′·

''sin22'sin2

，

'

.'

.

'′=′·

'cos2''sin2

.∴

OD'B'tgO'E2

.亦即有

rr·=q

CNBABtgtg=tgtg2222

r=.六、眾心共圓這有兩種情況同一點卻是同三角形的不同的心同一圖形出現(xiàn)了同一三角形的幾個心.例．在圓內接凸六邊形中，=，，=.試：，，三對角線交于一點(2).(1991，國家教委數(shù)學試驗班招生試)分析：連接由已知可證是的三條內角

F平分線，為的內心從有=，==，==.

IP再由△，證，，是的三條高，是的垂心，利用

D不式有：≥().不證明=2=2，=2.∴≥∴=2())=.就是一點兩心.

例12．△的心為，=，是中點，是的心.證明丄.分析：設為亦為中線，取中F，必上且:=2:1.設

交于，必△重心.連，，交于.

D

G

F易證：:=

13

:(

D

FO

A

C

P

)=2:1.

O

K

EGB∴:=:∥.丄，∥，∴丄丄.但丄又△之心.易證丄.例13．△中°外心I是心，邊AC上點邊上點得==求證：丄，=.分析：輔助線如圖所示，作∠平線交于.易證△≌≌，∠=∠=∠1利用內心張角公式，有=90°∠=105°，2

A

B

I

F

D