課時(shí)分層作業(yè)十五利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值一、選擇題(每題5分,共25分)1.(2018·遵義模擬)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a,b)內(nèi)的圖象以下圖,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )D.4【分析】選A.從f′(x)的圖象可知f(x)在(a,b)內(nèi)從左到右的單一性挨次為增→減→增→減,依據(jù)極值點(diǎn)的定義可知在(a,b)內(nèi)只有一個(gè)極小值點(diǎn).2.已知函數(shù)y=的圖象以下圖,此中f′(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),則以下說法錯(cuò)誤的是( )A.f′(1)=f′(-1)=0B.當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)獲得極小值C.當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)f(x)獲得極大值D.方程xf′(x)=0與f(x)=0均有三個(gè)不一樣的實(shí)數(shù)根【分析】選D.對于選項(xiàng)A.由圖象可知x=1或-1時(shí),f′(1)=f′(-1)=0建立;對于選項(xiàng)B.當(dāng)0<x<1時(shí),<0,此時(shí)f′(x)<0,當(dāng)x>1時(shí),>0,此時(shí)f′(x)>0,故當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)獲得極小值,建立.-1-對于選項(xiàng)C,當(dāng)x<-1時(shí),<0,此時(shí)f′(x)>0,當(dāng)-1<x<0時(shí),>0,此時(shí)f′(x)<0,故當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)f(x)獲得極大值,建立.對于選項(xiàng)D,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的極大值與極小值的正負(fù)情況及其余條件不確立,不足以判定f(x)=0根的狀況,故D切合題意.3.設(shè)動(dòng)直線x=m與函數(shù)f(x)=x3,g(x)=lnx的圖象分別交于點(diǎn)M,N,則|MN|的最小值為( )A.(1+ln3)B.ln3C.1+ln3D.ln3-1【分析】選A.設(shè)F(x)=f(x)-g(x)=x3-lnx,求導(dǎo)得:F′(x)=3x2-.令F′(x)>0得x>;令F′(x)<0得0<x<,所以當(dāng)x=時(shí),F(x)有最小值為F=+ln3=(1+ln3).【變式備選】(2018·運(yùn)城模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx+tanα的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若方程f′(x)=f(x)的根x0小于1,則α的取值范圍為( )A.B.C.D.【分析】選A.因?yàn)閒(x)=lnx+tanα,所以f′(x)=,令f(x)=f′(x),得lnx+tanα=,即tanα=-lnx.設(shè)g(x)=-lnx,明顯g(x)在(0,+∞)上單一遞減,而當(dāng)x→0時(shí),g(x)→+∞,所以要使知足f′(x)=f(x)的根x0<1,只要tanα>g(1)=1,-2-又因?yàn)?<α<,所以α∈.4.(2018·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3.若a>,且當(dāng)x∈[1,4a]時(shí),|f′(x)|≤12a恒建立,則a的取值范圍為( )A.B.C.D.【分析】選A.f′(x)=3x2-6ax-9a2的圖象是一條張口向上的拋物線,對于x=a對稱.若<a≤1,則f′(x)在[1,4a]上是增函數(shù),進(jìn)而f′(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)=3-6a-9a22,最大值是f′(4a)=15a.由|f′(x)|≤12a,得-12a≤3x2-6ax-9a2≤12a,于是有3-6a-9a2≥-12a,且f′(4a)=15a2≤12a.由f′(1)≥-12a得-≤a≤1,由f′(4a)≤12a得0≤a≤.所以a∈∩∩,即a∈.若a>1,則因?yàn)閨f′(a)|=15a2>12a.故當(dāng)x∈[1,4a]時(shí)|f′(x)|≤12a不恒建立.所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒建立的a的取值范圍是.5.(2018·昆明模擬)已知函數(shù)f(x)=-lnx,f(x)在x=x0處獲得最大值,以下各式中:f(x0)<x0;②f(x0)=x0;③f(x0)>x0;f(x0)<;⑤f(x0)>,正確的序號是( )A.③⑤B.②⑤-3-C.①④D.②④【分析】選D.求導(dǎo)函數(shù)可得:f′(x)=-,令g(x)=x+1+lnx,則函數(shù)有獨(dú)一零點(diǎn)x0,所以-x0-1=lnx0,所以f(x0)=(-x0-1)=x0,即②正確;f(x0)-=,因?yàn)?x0-1=lnx0,所以f(x0)-=,當(dāng)x=時(shí),f′=-<0=f′(x0),所以x0在x=左邊,所以x0<,所以1-2x0>0,所以<0,所以f(x0)<,所以④正確.綜上知,②④正確.二、填空題(每題5分,共15分)6.已知函數(shù)f(x)=aln2x+bx在x=1處獲得最大值ln2-1,則a=________,b=________.【分析】f′(x)=+b=(x>0),當(dāng)f′(x)=0時(shí),x=-,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)獲得最大值ln2-1,即解得a=1,b=-1.答案:1-17.(2018·濟(jì)南模擬)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值,則常數(shù)c的值為________.【分析】f(x)=x3-2cx2+c2x,f′(x)=3x2-4cx+c2,f′(2)=0?c=2或c=6.-4-若c=2,f′(x)=3x2-8x+4,令f′(x)>0?x<或x>2,f′(x)<0?<x<2,故函數(shù)在及(2,+∞)上單一遞加,在上單一遞減,所以x=2是極小值點(diǎn),故c=2舍去,c=6.答案:6【誤區(qū)警告】解答此題時(shí)易誤由f′(2)=0得c=2或c=6,不可以將c=2舍去而致誤.8.(2018·長春模擬)已知函數(shù)f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1<x2<x3),則的取值范圍為________.【解題指南】利用導(dǎo)數(shù)法,剖析函數(shù)的單一性及極值,可得f(x1)=f(x)=f(x)∈,即有-<x<-,231可得==1+,計(jì)算即可獲得所求范圍.【分析】函數(shù)f(x)=所以函數(shù)f′(x)=故當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)為增函數(shù),且f(x)<,當(dāng)0≤x<1時(shí),函數(shù)為增函數(shù),且0≤f(x)<,當(dāng)x≥1時(shí),函數(shù)為減函數(shù),且0<f(x)≤,若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1<x2<x3),-5-則f(x)=f(x2)=f(x)∈,13即-<x1<-,故==1+∈(-1,0).答案:(-1,0)三、解答題(每題10分,共20分)已知函數(shù)f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的單一區(qū)間.(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.【分析】(1)f′(x)=(x-k+1)ex.令f′(x)=0,得x=k-1.f(x)與f′(x)的狀況以下:x(-∞,k-1)k-1(k-1,+∞)f′(x)-0+f(x)↘-ek-1↗所以,f(x)的單一遞減區(qū)間是(-∞,k-1);單一遞加區(qū)間是(k-1,+∞).(2)當(dāng)k-1≤0,即k≤1時(shí),函數(shù)f(x)在[0,1]上單一遞加,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)=-k;當(dāng)0<k-1<1,即1<k<2時(shí),由(1)知f(x)在[0,k-1)上單一遞減,在(k-1,1]上單一遞加,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k-1)=-ek-1;當(dāng)k-1≥1時(shí),即k≥2時(shí),函數(shù)f(x)在[0,1]上單一遞減,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)=(1-k)e.綜合知f(x)min=【誤區(qū)警告】解答此題易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤:一是忽略對k-1不一樣取值狀況的議論,而錯(cuò)誤獲得f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k-1);二是誤把導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)直接作為極值點(diǎn)而犯錯(cuò).-6-10.(2018·茂名模擬)已知函數(shù)f(x)=ax-cosx+b的圖象在點(diǎn)處的切線方程為y=x+.(1)求a,b的值.(2)求函數(shù)f(x)在上的值域.【分析】(1)因?yàn)閒(x)=ax-cosx+b,所以f′(x)=a+sinx.又f′=a+1=,f=a+b=×+.解得a=,b=3.(2)由(1)知f(x)=x-cosx+.因?yàn)閒′(x)=+sinx,由f′(x)=+sinx>0,得-<x≤,由f′(x)=+sinx<0得,-≤x<-,所以函數(shù)f(x)在上遞減,在上遞加.因?yàn)閒=,f=π,f(x)min=f=.所以函數(shù)f(x)在上的值域?yàn)?-7-+1.(5分)(2018·臨沂模擬)已知△ABC的面積為1,內(nèi)切圓半徑也為1,若△ABC的三邊長分別為a,b,c,則+的最小值為( )A.2B.2+C.4D.2+2【解題指南】先依據(jù)三角形的面積和內(nèi)切圓半徑都為1,獲得a+b+c=2,則依據(jù)導(dǎo)數(shù)的和函數(shù)的最值的關(guān)系即可求出最值.【分析】選D.因?yàn)椤鰽BC的面積為1,內(nèi)切圓半徑也為1,△ABC的三邊長分別為a,b,c,所以(a+b+c)×1=1,即a+b+c=2,即a+b=2-c,所以0<c<2,所以+=+=+-1,設(shè)f(x)=+-1,0<x<2,所以f′(x)=-=,令f′(x)=0,解得x=-2+2,當(dāng)x∈(0,-2+2)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)f(x)單一遞減,當(dāng)x∈(-2+2,2)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)單一遞加,所以f(x)=f(-2+2)=2+2,min故的最小值為2+2.2.(5分)已知函數(shù)f(x)=ln+,g(x)=ex-2,對于?m∈R,?n∈(0,+∞)使得g(m)=f(n)建立,則n-m的最小值為( )A.-ln2B.ln2C.2-32D.e-3【分析】選B.由題意令em-2=ln+=t,(t>0),-8-則m=lnt+2,n=2,進(jìn)而n-m=2-lnt-2=h(t),由h′(t)=2-=0得t=,而當(dāng)t>0時(shí),h′(t)=2-是單一遞加函數(shù),所以當(dāng)t>時(shí)h′(t)>0;當(dāng)0<t<時(shí)h′(t)<0;所以t=時(shí)h(t)取最小值:2-ln-2=ln2.3.(5分)(2018·天津模擬)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處獲得極值,若m,n∈[-1,1],則f(m)+f′(n)的最小值是________.【分析】因?yàn)閒′(x)=-3x2由已知有f′(2)=0,32+2ax,所以a=3,所以f(x)=-x+3x-4,則f(m)+f′(n)=-m3+3m2-4-3n2+6n,因?yàn)閒′(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),當(dāng)-1≤x<0時(shí),f′(x)<0,當(dāng)0<x≤1時(shí),f′(x)>0,所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)有最小值-4,而對于f′(x)=-3x2+6x=-3(x-1)2+3,在x∈[-1,1]上為增函數(shù),所以當(dāng)x=-1時(shí),f322當(dāng)m=0,n=-1時(shí),有最小值為′(x)有最小值-9,故對于f(m)+f′(n)=-m+3m-4-3n+6n,(-4)+(-9)=-13.答案:-13【變式備選】若函數(shù)f(x)=mcosx+sin2x在x=處獲得極值,則m=________.【分析】函數(shù)f(x)=mcosx+sin2x在x=處獲得極值,則f′=0.又f′(x)=-msinx+cos2x,所以f′=-m=0,m=0.答案:04.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時(shí)獲得極值.求a,b的值.若對于隨意的x∈[0,3],都有f(x)<c2建立,務(wù)實(shí)數(shù)c的取值范圍.-9-【解題指南】(1)先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),依據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0列方程組,進(jìn)而求出a,b的值.(2)先由(1)結(jié)論依據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求x∈[0,3]上的單一性,求此區(qū)間上的最大值,讓最大值小于c2,進(jìn)而解不等式可得解.2【分析】(1)f′(x)=6x+6ax+3b,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1及x=2獲得極值,則有f′(1)=0,f′(2)=0.即解得a=-3,b=4.(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+8c,f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(2,3)時(shí),f′(x)>0.所以,當(dāng)x=1時(shí),f(x)獲得極大值f(1)=5+8c,又f(0)=8c,f(3)=9+8c.則當(dāng)x∈[0,3]時(shí),f(x)的最大值為f(3)=9+8c.因?yàn)閷τ陔S意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒建立,所以9+8c<c2,解得c<-1或c>9,所以c的取值范圍為(-∞,-1)∪(9,+∞).5.(13分)(2018·許昌模擬)已知函數(shù)f(x)=axlnx+b,g(x)=x2+kx+3,曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為y=x-1.若f(x)在(b,m)上有最小值,求m的取值范圍.(2)當(dāng)x∈時(shí),若對于x的不等式2f(x)+g(x)≥0有解,求k的取值范圍.【解題指南】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),獲得對于a,b的方程組,求出a,b的值,解對于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的最小值,求出m的范圍即可.(2)問題等價(jià)于不等式k≥-在x∈上有解,設(shè)h(x)=-,x∈,依據(jù)函數(shù)的單一性求出k的范圍即可.【分析】(1)