一元線性回歸預(yù)測(cè)值問題第一頁(yè)，共十一頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)于一元線性回歸模型

給定樣本以外的解釋變量的觀測(cè)值X0，可以得到被解釋變量的預(yù)測(cè)值?0

，可以此作為其條件均值E(Y|X=X0)或個(gè)別值Y0的一個(gè)近似估計(jì)。

注意：嚴(yán)格地說，這只是被解釋變量的預(yù)測(cè)值的估計(jì)值，而不是預(yù)測(cè)值。原因:（1）參數(shù)估計(jì)量不確定；（2）隨機(jī)項(xiàng)的影響第二頁(yè)，共十一頁(yè)，2022年，8月28日一、?0是條件均值E(Y|X=X0)或個(gè)值Y0的一個(gè)無偏估計(jì)對(duì)總體回歸函數(shù)E(Y|X=X0)=0+1X，X=X0時(shí)

E(Y|X=X0)=0+1X0于是可見，?0是條件均值E(Y|X=X0)的無偏估計(jì)。函數(shù)和模型是不一樣的概念，模型多出了一個(gè)隨機(jī)誤差項(xiàng)第三頁(yè)，共十一頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)總體回歸模型Y=0+1X+，當(dāng)X=X0時(shí)于是第四頁(yè)，共十一頁(yè)，2022年，8月28日

二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間

1、總體均值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間

由于

于是可以證明

注：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X，Y)COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。第五頁(yè)，共十一頁(yè)，2022年，8月28日證明第六頁(yè)，共十一頁(yè)，2022年，8月28日因此

故

其中于是，在1-的置信度下，總體均值E(Y|X0)的置信區(qū)間為

第七頁(yè)，共十一頁(yè)，2022年，8月28日2、總體個(gè)值預(yù)測(cè)值的預(yù)測(cè)區(qū)間

由Y0=0+1X0+

知:

于是

式中

:從而在1-的置信度下，Y0的置信區(qū)間為

第八頁(yè)，共十一頁(yè)，2022年，8月28日在上述收入-消費(fèi)支出例中，得到的樣本回歸函數(shù)為

則在X0=1000處，?0=–103.172+0.777×1000=673.84

而因此，總體均值E(Y|X=1000)的95%的置信區(qū)間為：

61.05<E(Y|X=1000)<673.84+2.30661.05或

（533.05,814.62）

第九頁(yè)，共十一頁(yè)，2022年，8月28日同樣地，對(duì)于Y在X=1000的個(gè)體值，其95%的置信區(qū)間為：

673.84-2.30661.05<Yx=1000<673.84+2.30661.05或(372.03,975.65)總體回歸函數(shù)的置信帶（域）（confidenceband）個(gè)體的置信帶（域）

第十頁(yè)，共十一頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于Y的總體均值E(Y|X)與個(gè)體值的預(yù)測(cè)區(qū)間（置信區(qū)間）:（1）樣本容量n越大，預(yù)測(cè)精度越高，反之預(yù)測(cè)精度越低；（2）樣本容量一定時(shí)，置信帶的寬度