數(shù)值計(jì)算方法

1主要內(nèi)容算法和誤差非線性方程線性方程組特征值插值和擬合微分和積分微分方程2第一章算法與誤差

數(shù)值計(jì)算是求解數(shù)學(xué)問題的常用方法，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)值計(jì)算方法在現(xiàn)代科學(xué)研究中的作用越來越廣泛。數(shù)值計(jì)算的算法的研究越來越受到人們的重視。1)數(shù)值計(jì)算是應(yīng)用數(shù)學(xué)一個(gè)重要分支,比如:微分方程,現(xiàn)代物理.

2)新的數(shù)學(xué),混沌理論(迭代法求非線性方程的根).

與過去相比，現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算方法有兩個(gè)顯著特點(diǎn)：

1）數(shù)值計(jì)算的方法和理論都結(jié)合數(shù)字計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)來研究。在進(jìn)行算法研究時(shí)，注意算法與計(jì)算速度，計(jì)算內(nèi)存消耗的關(guān)系

2）在研究算法時(shí)，注重算法誤差分析，注意數(shù)值解的收斂性和數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性問題。31.1算法一、算法的概念

當(dāng)我們用數(shù)值計(jì)算方法求解一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常要事先擬定一個(gè)計(jì)算方案，規(guī)劃一下計(jì)算的步驟。所謂算法，就是指在求解數(shù)學(xué)問題時(shí)，對(duì)求解方案和計(jì)算步驟的完整而明確的描述。

描述一個(gè)算法可以采用許多方法，最常用的一個(gè)方法是程序流程圖。算法也可以用人的自然語(yǔ)言來描述。如果用計(jì)算機(jī)能接受的語(yǔ)言來描述算法，就稱為程序設(shè)計(jì)。5二、算法的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)

求解一個(gè)數(shù)學(xué)問題，可以采用不同的算法，比如：線性方程組，可用克萊姆法則，高斯消元法等多種方法求解。但是每一種方法的優(yōu)劣不同，評(píng)價(jià)一個(gè)算法的好壞有以下幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：1）算法的計(jì)算量（時(shí)間復(fù)雜性）例1：用克萊姆法則求解一個(gè)n階線性方程組時(shí)，需要計(jì)算（n+1）個(gè)n階行列式的值。需要做

次乘法。設(shè)n=20,若采用10億/秒的計(jì)算機(jī)，要花費(fèi)三十萬年的時(shí)間進(jìn)行計(jì)算。若用高斯消元法來求解，采用一個(gè)普通的586微機(jī)，在幾分鐘之內(nèi)就可得結(jié)果。

計(jì)算量的大小事衡量一個(gè)算法優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)。6例2：天竺國(guó)，梵塔據(jù)說在東方的古國(guó)──印度土地上，有一座印度教的神廟，這廟有一塊黃銅板，板上插著三根細(xì)細(xì)的、鑲上寶石的細(xì)針，細(xì)針像菜葉般粗，而高就像成人由手腕到肘關(guān)節(jié)的長(zhǎng)。當(dāng)印度教的主神梵天在創(chuàng)造地球這個(gè)世界時(shí)，就在其中的一根針上從下到上放了半徑由大到小的六十四片圓金片環(huán)，這就是有名的「梵塔」或稱「漢內(nèi)塔」（TowersofHanoi）。天神梵天要這廟的僧侶，把這些金片全部由一根針移到另外一根指定的針上，一次只能移一片，不管在什么情況下，金片環(huán)的大小次序不能變更，小金片環(huán)永遠(yuǎn)只能放在大金片環(huán)上面。只要有一天這六十四片的金環(huán)能從指定的針上完全轉(zhuǎn)移到另外指定的針上，世界末日就來到。經(jīng)過計(jì)算機(jī)的運(yùn)算，移動(dòng)的次數(shù)需18,446,744,073,709,551,615，一秒移動(dòng)一次，大約需要5849億年。

71.2誤差

在研究算法時(shí)，要進(jìn)行誤差分析，能估計(jì)誤差的算法才是有實(shí)用價(jià)值的算法。一、誤差的來源：

引起計(jì)算誤差的原因是多方面的。1）模型誤差

當(dāng)解決一個(gè)工程實(shí)際問題時(shí)，常常需要用一定的數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，即建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，通常要根據(jù)實(shí)際需要做一些簡(jiǎn)化，忽略一些次要因素，是模型不致過分復(fù)雜，又能滿足精度要求。這樣建立起來的數(shù)學(xué)模型是客觀現(xiàn)象的近似描述。這種近似必然產(chǎn)生誤差。92）方法誤差在計(jì)算過程中，由數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的誤差，稱為方法誤差。例如，在計(jì)算指數(shù)函數(shù)的值時(shí)，常用到如下冪級(jí)數(shù)展開式：這是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)。計(jì)算時(shí)，只能取有限項(xiàng)。用有限項(xiàng)逼近無窮級(jí)數(shù)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)誤差，這個(gè)誤差是由數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的，所以是一種方法誤差。103)舍入誤差在計(jì)算過程中，當(dāng)我們表示一個(gè)數(shù)時(shí)，常常只能取有限位。超出的尾數(shù)將會(huì)舍去，從而造成誤差，這種誤差稱為舍入誤差。舍入誤差時(shí)我們數(shù)值計(jì)算中重點(diǎn)研究的對(duì)象，將貫穿整個(gè)課程之中。113）有效數(shù)字我們還可以用有效數(shù)字的概念來說明一個(gè)近似值的準(zhǔn)確程度。我們先介紹“四舍五入”的概念，四舍五入是數(shù)值計(jì)算時(shí)，取近似值的一種方法。若被舍去部分的頭一位大于等于5時(shí)，就在所取數(shù)的末位加1；小于5時(shí)，就舍去。用四舍五入方法得到的近似值，稱為有效數(shù)字。有效數(shù)字的末位到第一位非零數(shù)字的個(gè)數(shù)，稱為該有效數(shù)字的位數(shù)。有效數(shù)字可用來表示一個(gè)近似值的準(zhǔn)確程度，一個(gè)近似值的有效位數(shù)越多，這個(gè)近似值就越逼近真值。13由上面的有效數(shù)字的定義，我們能給出另外一種等價(jià)的定義。若近似值的誤差小于某一位的半個(gè)單位，便稱近似值準(zhǔn)確到這一位。從這一位到第一個(gè)非零數(shù)字的個(gè)數(shù)就是近似值的有效位數(shù)。上述定義常用在數(shù)值計(jì)算的過程中，用來控制迭代的精度。14例：圓周率π是一個(gè)無理數(shù)，π=3.149323…，考察下列近似值的有效位數(shù)。1517181921

22232526若是方程的根，則

稱為方程的不動(dòng)點(diǎn)。29拉格朗日中值定理定理4.2

設(shè)函數(shù)f(x)滿足(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則至少存在一點(diǎn)拉格朗日中值定理的幾何意義：如果在[a,b]上的連續(xù)曲線，除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線，那么在曲線弧上至少有一點(diǎn)使曲線在該點(diǎn)處的切線平行于過曲線弧兩端點(diǎn)的弦線.3031323334x=1.365230023536373839x=1.36523004041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939495例：線性插值：線性擬合：

函數(shù)與各結(jié)點(diǎn)的誤差的平方和最小。

965.2線性插值

9798991001011021031041051065.4插值余項(xiàng)

n次插值多項(xiàng)式在結(jié)點(diǎn)處，恒等于在其它點(diǎn)有誤差：107108109

110以三階插值公式為例：取等距節(jié)點(diǎn)：設(shè)：插值點(diǎn)：則：1111121131141151161171181191201211221231241251261271281291301311321331341351361371381391401411421431441451461471481491501511521531541551561571581591601611621631641651661671681691701711721731741751761771