數(shù)值計(jì)算方法第1章緒論隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，科學(xué)計(jì)算愈來愈顯示出其重要性?？茖W(xué)計(jì)算的應(yīng)用之廣已遍及各行各業(yè)，例如：氣象資料的分析圖像，飛機(jī)、汽車及輪船的外形設(shè)計(jì)，高科技研究等都離不開科學(xué)計(jì)算。因此，作為科學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)工具數(shù)值計(jì)算方法已成為各高等院校數(shù)學(xué)、物理和計(jì)算機(jī)應(yīng)用專業(yè)等理工科本科生的專業(yè)基礎(chǔ)課,也是工科碩士研究生的學(xué)位必修課。數(shù)值分析或數(shù)值計(jì)算方法主要是研究如何運(yùn)用計(jì)算機(jī)去獲得數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解的理論和方法.對那些在經(jīng)典數(shù)學(xué)中,用解析方法在理論上已作出解的存在,但要求出他的解析解又十分困難,甚至是不可能的這類數(shù)學(xué)問題,數(shù)值解法就顯得不可缺少,同時(shí)有十分有效.數(shù)值計(jì)算方法——〉程序設(shè)計(jì)——〉計(jì)算結(jié)果：根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計(jì)算方法，直到編出程序上機(jī)算出解，是計(jì)算數(shù)學(xué)的任務(wù)。數(shù)值計(jì)算方法重點(diǎn)研究：求解的數(shù)值方法及與此有關(guān)的理論包括：方法的收斂性，穩(wěn)定性，誤差分析，計(jì)算時(shí)間的最?。ㄒ簿褪怯?jì)算費(fèi)用）,占用內(nèi)存空間少.有的方法在理論上雖不夠嚴(yán)格，但通過實(shí)際計(jì)算，對比分析等手段，被證明是行之有效的方法，也可以采用。因此，數(shù)值分析既有純數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，又有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)驗(yàn)的高度技術(shù)性特點(diǎn)，是一門與使用計(jì)算機(jī)密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程。1.1數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法例示例1..1.1試求函數(shù)方程x=cosx在區(qū)間內(nèi)的一個根。解現(xiàn)取h=0.05,其結(jié)果見下表:xnynyxnyny01.000001.000001.21.849311.849310.21.183221.183221.41.943961.943960.41.341641.341641.62.049392.049390.61.483241.483241.82.144762.144760.81.612451.612452.02.236072.236071.01.732051.73205………1.2誤差概念和有效數(shù)在任何科學(xué)計(jì)算中其解的精確性總是相對的,而誤差則是絕對的.我們從下面這個例子就可以了解誤差產(chǎn)生的原因.例1.2.1試求擺長為L的單擺運(yùn)動周期.

誤差的分類模型誤差從實(shí)際問題建立的數(shù)學(xué)模型往往都忽略了許多次要的因素,因此產(chǎn)生的誤差稱為模型誤差.觀測誤差一般數(shù)學(xué)問題包含若干參數(shù),他們是通過觀測得到的,受觀測方式、儀器精度以及外部觀測條件等多種因素，不可能獲得精確值，由此而來產(chǎn)生的誤差稱為觀測誤差。誤差和有效數(shù)字誤差估計(jì)由于準(zhǔn)確值在一般情況下是未知的，因此絕對誤差和相對誤差常常是無法計(jì)算的，但有可能給出估計(jì)。誤差界就是用于誤差估計(jì)的。有效數(shù)字在工程上，誤差的概念就轉(zhuǎn)化為有效數(shù)字。絕對誤差，相對誤差，有效數(shù)是度量近似數(shù)精度的常用三種。實(shí)際計(jì)算時(shí)最終結(jié)果均以有效數(shù)給出。同時(shí)也就隱含了絕對誤差和相對誤差界。函數(shù)值的誤差估計(jì)引入微分符號例題多元函數(shù)誤差估計(jì)例題1.3算法的優(yōu)化算法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)從截?cái)嗾`差觀點(diǎn)看,算法必須是截?cái)嗾`差小,收斂斂速要快。即運(yùn)算量小,機(jī)器用時(shí)少.從舍入誤差觀點(diǎn)看,舍入誤差在計(jì)算過程中要能控制,即算法的數(shù)值要穩(wěn)定.從實(shí)現(xiàn)算法的觀點(diǎn)看,算法的邏輯結(jié)構(gòu)不宜太復(fù)雜，便于程序編制和上機(jī)實(shí)現(xiàn).設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循的原則要有數(shù)值要穩(wěn)定性,即能控制誤差的傳播.避免大數(shù)吃小數(shù),即兩數(shù)相加時(shí),防止較小的數(shù)加不到較大的數(shù)上.避免兩相近的數(shù)相減,以免有效數(shù)字的大量丟失.避免分母很小(或乘法因子很大),以免產(chǎn)生溢出.例題算法二表明,僅用不多的五次函數(shù)值的計(jì)算,已獲得π的具有五位有效數(shù)字的近似值。nInnIn00.1823215590.01705662410.088392216100.01471687620.058039818110.01732471030.04313874212-0.00329021940.03430628713-0.09337417250.02846856014-0.39544229060.024323864152.04387810070.02123782016-10.1568900080.0188108