2023年3月第十四屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽(補(bǔ)賽二)試題卷(非數(shù)學(xué)類，2023年3月5日)一、 壊空題(本題滿分30分，毎小題6分)極限 +32+-+(2n-l)2]= .【解】利用定積分的定義，得lim-!y[l2+32+???+(2w-l)2]=41im—=4x2dx=?.設(shè)函數(shù)/(x)在x=l的某一鄰域內(nèi)可微，且滿足/(I+x)-3/(1-x)=4+2x+o(x),其中。(x)是當(dāng)xt0時(shí)x的高階無窮小，則曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為 .【解】由于/(x)在x=l處可微，因而連續(xù)，故對所給等式求極限XT0,可得-2/(1)=4,所以/(1)=-2.仍由所給等式，得/(l+x)_/(l)z/(l_x)_/(1)=,心)x —X X兩邊取極限xtO,并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，得4.廣(1)=2,所以/*(!)=|.因此，曲線y=/(x)在點(diǎn)(!,/(!))處的切線方程為= 即x_2*_5=0.設(shè)y=*(x)是初偵間題卩"-2*'-3‘=1,的解則*(乂)= *(0)=0,*(0)=1 【解】對于齊次微分方程y'-2y,-3y=ol其特征方程22-2A-3=0的根為凡=3,石=-1,所以y'-2y'-3y=0的通解為經(jīng)觀察，非齊次微分方程Z-2/-3y=l的一個(gè)特解為外=-：?所以，方程的通解為*(*)=Qe”+C.e,-|.又由以0)=0,_/(0)=丨解得，C,=|.C2=0.因此y(x)=|(e3x-l).設(shè)可微函數(shù)￡=z(x,_y)滿足/與+/與=2宀又設(shè)“=x,卩=丄-丄，exoy yx= 則對函數(shù)W=H<U.V).偏導(dǎo)數(shù) 【解】由“=X解得= 則對函數(shù)W=H<U.V).偏導(dǎo)數(shù) 【解】由“=X解得x="，ydwd(\■■=■I—■du伽［z 亠；，且wIdz1\(dzdxdz卽).Iz2duu2z1dudydu)u2所以1(dzdzmv+1—mv1 1(dzdz1=-p■［云+專.(“+】)2尸卩=一7?［瓦,稈夜71?\(dzdzy2}II 點(diǎn))1 1-貝底與丁丿云瓦)+LK因此票O(jiān)UL-2v-l設(shè)a>0,則均勻曲面x2+y2+z2=a2(x^O.y^0,z>0)的重心坐標(biāo)為【解】記所給曲面為E,并設(shè)E的面密度為常數(shù)〃.￡的取心坐標(biāo)為丘云；),由于￡的質(zhì)量:為=吵，所以8 2宀即3=一，妣.設(shè)￡的外法向最與z軸正向的央角為/.則cos/=-.所以坎峭胛sg號貯d.y號淑2=m根據(jù)對稱性，三=》=號?因此曲面的車心坐標(biāo)為(§段)二、(本題滿分14分)設(shè)函數(shù)/?(同=廣?￡^，正整數(shù)〃匕2023,求導(dǎo)數(shù)［解】令心=』：誹,則尸⑴=呂，尸⑴=2°23二(撥；)一2.嚴(yán)所以F(0)=r(0)=尸(0)=0. 5分對/(x)=e'F(x)利用Leibniz公式，再代入x=0得廣，(0)=廣￡(-iy"cy⑴=￡(T)iC：R*0).*=0欲求F,4,(0),對(\+x2)F'(x)=x2o2S兩邊求&-】階導(dǎo)數(shù),并利用Leibniz公式，得(l+x2)F,4,(x)+2(A-l)xF<4n(x)+(^-lX*-2)FU2,(x)=(x2O2,)u代入x=0,并注意到k<n<2023,得F<4,(O)=-(A-IX*-2)FU-2,(O).由此遞推,得尸血(°)=…=(-1)"'(2&_1)!尸(0)=0.

R”f(o)=...=(_?(2A)!F'(0)=0.因此，/"'(O)=￡(T)""C：F0(O)=0. 5分三、(本題滿分14分)設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)仃定義，lim/(x)=0,且*-*0*r(x)lim =0.證明：lim^i=O.r-*0,r j-*0*r【證】根據(jù)題設(shè)條件得，對于任意非負(fù)整數(shù)婦有l(wèi)im 2—=o.34 4分令*=0」,2,??m-1,并求和，可得小-倬 /(寺)-礙)lim =limV— =0.，卄x 三 3? 5分因此，有/(x)-/(m=xa(x),K中a(x)是當(dāng)xW時(shí)的無窮小.對上式取極限〃一?8,并利用條件lim/(.r)=0.得f(x)=xa(x).所以lim/⑴=lima(x)=0. 5分x->0x四、(本題滿分14分)設(shè)函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且/(0)=0,/(1)=2.證明：存在兩兩互異的點(diǎn)§gqw(0,l)，使得【證】令F(x)=/(x)-2+x,則F(x)在［0,1］上連續(xù)，且F(0)=-2,F(1)=1.根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理，存在爲(wèi)妊(0,1)使得烈畐)=0,即/(^)=2-*. 5分在區(qū)間［0MJ，哆,1］上分別利用Lagrange中值定理，存在號產(chǎn)(0,&),烏6(&,1)，使得穿咎=，(斜且紗伴*國，備一。 公一1即/'(§)=￥?/?2)=足， 5分4 1-鳥所以因此，存在兩兩互異的點(diǎn)6(0,1)，使得,(§)/'(￡2)JV22. 4分五、(本題滿分14分)設(shè)/(x)是［-1.1］k的連續(xù)的偶函數(shù)，計(jì)算曲線枳分:/=$味Jdr+/(x)W，其中曲線￡為正向圓周x2^y2=-2y.【解】 取圖的圓心角。作參數(shù)，則曲線厶：/+顔+1)2=1的參數(shù)方程為:x=cos0.v+1=sin。(0￡0《2汗).因?yàn)閐x=-sinQd。，dv=cos^d^.所以/=￡* (~sin^)d6?+/(cos0)cosOd0. 4分其中第-?項(xiàng)為/t=『:、如°)$泊0必=一匚(1_$泊0)<10+『(l_sin°)d6=4. 5分第二項(xiàng)為/2=￡\f(cosO)cos8d0=j：/(cos0)cos0d0+*/(cos0}cosffd0=￡Tf(cos0}cosOd0+匚f(cos(/+/r))cos(r+/r)df=j：f(cos0)cos0d0-￡T/(-cos/)coszdz=0,TOC\o"1-5"\h\z因此，原積分/=/,+/2=4. 5分六、（本題滿分"分）設(shè)函數(shù)?）=匚務(wù)儼，（3）.證明級數(shù)鄉(xiāng)中收如且挺熾.【解】