第25講幾何作圖尺規(guī)作圖考試內(nèi)容考試要求尺規(guī)作圖作圖工具限定只用圓規(guī)和沒有刻度的直尺．b基本作圖(尺規(guī)作圖)作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線.利用基本作圖作三角形已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形利用基本作圖作圓過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形作圖題的一般步驟(1)分析、畫草圖；(2)寫已知、求作；(3)作圖；(4)結(jié)論；(5)證明(常不作要求)．注意點(diǎn)在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法．考試內(nèi)容考試要求基本思想分類討論：作圖問題不是在任何已知的條件下都能作出圖形，要分清問題有一個解、多個解或者沒有解．c基本方法根據(jù)已知條件作幾何圖形時(shí)，可采用逆向思維，假設(shè)已作出圖形，再尋找圖形的性質(zhì)，然后作圖或設(shè)計(jì)方案．1．(2017·衢州)下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示：①作一個角等于已知角；②作一個角的平分線；③作一條線段的垂直平分線；④過直線外一點(diǎn)P作已知直線的垂線，則對應(yīng)選項(xiàng)中作法錯誤的是()A．①B．②C．③D．④2．(2015·衢州)數(shù)學(xué)課上，老師讓學(xué)生尺規(guī)作圖畫Rt△ABC，使其斜邊AB＝c，一條直角邊BC＝a.小明的作法如圖所示，你認(rèn)為這種作法中判斷∠ACB是直角的依據(jù)是()A．勾股定理B．直徑所對的圓周角是直角C．勾股定理的逆定理D．90°的圓周角所對的弦是直徑3．(2016·麗水)用直尺和圓規(guī)作Rt△ABC斜邊AB上的高線CD，以下四個作圖中，作法錯誤的是()【問題】如圖，已知線段a.(1)只用直尺(沒有刻度的尺)和圓規(guī)，求作一個直角三角形ABC，以AB和BC分別為兩條直角邊，使AB＝a，BC＝eq\f(1,2)a(要求保留作圖痕跡，不必寫出作法)；(2)若在(1)作出的Rt△ABC中，AB＝4cm，求AC邊上的高；(3)通過(1)(2)的解答，請你聯(lián)想幾何作圖有哪些知識？【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理基本作圖，其中求作三角形包括：①已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；②已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；③已知三角形的三邊，求作三角形．求作三角形的關(guān)鍵是確定三角形的頂點(diǎn)；而求作直角三角形時(shí)，一般先作出直角，然后根據(jù)條件作出所求的圖形．作圖題的一般步驟：①分析、畫草圖；②寫已知、求作；③作圖；④結(jié)論；⑤證明(常不作要求)．注意：作圖中一般要保留作圖痕跡．類型一利用尺規(guī)作直線、角和三角形eq\a\vs4\al(例1)(2016·孝感)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.(1)請用直尺和圓規(guī)按下列步驟作圖，保留作圖痕跡：①作∠ACB的平分線，交斜邊AB于點(diǎn)D；②過點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為點(diǎn)E；(2)在(1)作出的圖形中，若CB＝4，CA＝6，則DE＝.【解后感悟】解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．要注意幾點(diǎn)：(1)熟練掌握幾種基本圖形的作法．(2)分析尺規(guī)基本作圖問題的解決過程，寫好作圖的主要畫法，并完成作圖．(3)尺規(guī)作圖的關(guān)鍵在于：①先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么．②讀清題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方法，可以組合應(yīng)用解決問題．(1)(2017·上海模擬)如圖，用尺規(guī)作圖：“過點(diǎn)C作CN∥OA”，其作圖依據(jù)是()A．同位角相等，兩直線平行B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行(2015·嘉興)數(shù)學(xué)活動課上，四位同學(xué)圍繞作圖問題：“如圖，已知直線l和l外一點(diǎn)P，用直尺和圓規(guī)作直線PQ，使PQ⊥l于點(diǎn)Q.”分別作出了下列四個圖形．其中作法錯誤的是()(2016·臺灣)如圖，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝58°.甲、乙兩人想在△ABC外部取一點(diǎn)D，使得△ABC與△DCB全等，其作法如下：(甲)1.作∠A的角平分線L.2．以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交L于D點(diǎn)，則D即為所求．(乙)1.過B作平行AC的直線L.2．過C作平行AB的直線M，交L于D點(diǎn)，則D即為所求．對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？()A．兩人皆正確B．兩人皆錯誤C．甲正確，乙錯誤D．甲錯誤，乙正確類型二利用尺規(guī)作點(diǎn)eq\a\vs4\al(例2)如圖，已知弧AB.求作：(1)確定弧AB所在圓的圓心O；(2)過點(diǎn)A且與⊙O相切的直線．(要求用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法)【解后感悟】本題是基本作圖，以及線段垂直平分線的作法和性質(zhì)等知識運(yùn)用，認(rèn)真分析揣摩所給的信息，結(jié)合題目要求思考是解題的關(guān)鍵．3．(2015·深圳)如圖，已知△ABC，AB＜BC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點(diǎn)P，使得PA＋PC＝BC，則下列選項(xiàng)正確的是()4．A，B是平面上的兩個定點(diǎn)，在平面上找一點(diǎn)C，使△ABC構(gòu)成等腰直角三角形，且C為直角頂點(diǎn)．請問：這樣的點(diǎn)有幾個？在圖中作出符合條件的點(diǎn)(要求尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法)．5．作圖題(只保留作圖痕跡，不寫作法)(1)如圖1，作已知三角形的外接圓；(2)如圖2，作已知三角形的內(nèi)切圓；(3)如圖3，作已知圓的內(nèi)接六邊形．類型三利用幾何作圖設(shè)計(jì)圖形eq\a\vs4\al(例3)(2016·寧波)下列3×3網(wǎng)格圖都是由9個相同的小正方形組成，每個網(wǎng)格圖中有3個小正方形已涂上陰影，請?jiān)谟嘞碌?個空白小正方形中，按下列要求涂上陰影：(1)選取1個涂上陰影，使4個陰影小正方形組成一個軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；(2)選取1個涂上陰影，使4個陰影小正方形組成一個中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形；(3)選取2個涂上陰影，使5個陰影小正方形組成一個軸對稱圖形．(請將三個小題依次作答在圖1、圖2、圖3中，均只需畫出符合條件的一種情形)【解后感悟】掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形定義是解題的關(guān)鍵．eq\a\vs4\al(例4)(2016·江西)如圖，六個完全相同的小長方形拼成了一個大長方形，AB是其中一個小長方形的對角線，請?jiān)诖箝L方形中完成下列畫圖，要求：①僅用無刻度直尺，②保留必要的畫圖痕跡．(1)在圖1中畫出一個45°角，使點(diǎn)A或點(diǎn)B是這個角的頂點(diǎn)，且AB為這個角的一邊；(2)在圖2中畫出線段AB的垂直平分線．【解后感悟】本題是作圖－－應(yīng)用設(shè)計(jì)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用正方形、長方形、等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題．6．如圖，在所給方格紙中，每個小正方形邊長都是1，標(biāo)號為①，②，③的三個三角形均為格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)在方格頂點(diǎn)處)．請按要求將圖甲、圖乙中的指定圖形分割成三個三角形，使它們與標(biāo)號為①，②，③的三個三角形分別對應(yīng)全等．(1)圖甲中的格點(diǎn)正方形ABCD；(2)圖乙中的平行四邊形ABCD.注：分割線畫成實(shí)線．類型四利用幾何作圖的計(jì)算和判斷eq\a\vs4\al(例5)如圖，點(diǎn)D在△ABC的AB邊上，且∠ACD＝∠A.(1)作∠BDC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E(用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法)；(2)在(1)的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系(不要求證明)．【解后感悟】這類問題往往是根據(jù)幾種基本作圖法作出圖形，再利用作好的圖形解決問題，需要同學(xué)們能準(zhǔn)確地作出圖形，并能明確作圖過程中所用的知識，這樣才有利于我們解決以下的證明或計(jì)算問題．7．(2015·邗江模擬)如圖，是一張平行四邊形紙片ABCD，要求利用所學(xué)知識將它變成一個菱形，甲、乙兩位同學(xué)的作法分別如下：eq\x(甲：連結(jié)AC，作AC的中垂線交AD、BC于E、F，則四邊形AFCE是菱形.)乙：分別作∠A與∠B的平分線AE、BF，分別交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，則四邊形ABEF是菱形．對于甲、乙兩人的作法，可判斷()A．甲正確，乙錯誤B．甲錯誤，乙正確C．甲、乙均正確D．甲、乙均錯誤8．(2016·南寧模擬)如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊的中點(diǎn)，AE∥BC.(1)作∠ADC的平分線DF，與AE交于點(diǎn)F；(用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在(1)的條件下，若AD＝2，求DF的長．類型五利用幾何作圖解決實(shí)際問題eq\a\vs4\al(例6)兩個城鎮(zhèn)A、B與兩條公路l1、l2位置如圖所示，電信部門需在C處修建一座信號發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處？請?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點(diǎn)C.(不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡)【解后感悟】本題借助實(shí)際場景，利用幾何基本作圖、線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)運(yùn)用．題中符合條件的點(diǎn)C有2個，注意避免漏解．9．(2017·溫州)在直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，記頂點(diǎn)都是整點(diǎn)的三角形為整點(diǎn)三角形．如圖，已知整點(diǎn)A(2，3)，B(4，4)，請?jiān)谒o網(wǎng)格區(qū)域(含邊界)上按要求畫整點(diǎn)三角形．(1)在圖1中畫一個△PAB，使點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)之和等于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；(2)在圖2中畫一個△PAB，使點(diǎn)P，B橫坐標(biāo)的平方和等于它們縱坐標(biāo)和的4倍．【探索研究題】如圖AB是半圓的直徑，圖1中，點(diǎn)C在半圓外；圖2中，點(diǎn)C在半圓內(nèi)，請僅用無刻度的直尺按要求畫圖．(1)在圖1中，畫出△ABC的三條高的交點(diǎn)；(2)在圖2中，畫出△ABC中AB邊上的高．【方法與對策】本題屬創(chuàng)新作圖題，是中考熱點(diǎn)題型之一，也是中考命題的方向．考查同學(xué)們對圓的性質(zhì)的理解、讀圖能力，題(1)是要作點(diǎn)，題(2)是要作高，都是要解決直角問題，用到的知識就是“直徑所對的圓周角為直角”．【忽視求作要求】已知三角形的兩邊和其中一邊上的中線長，利用尺規(guī)，求作這個三角形．已知：線段a，b為兩邊，m為邊b的中線，求作：△ABC，使BC＝a，AC＝b，且AM＝MC，BM＝m.參考答案第25講幾何作圖【考題體驗(yàn)】1．C2.B3.D【知識引擎】【解析】(1)畫法略．如圖1，△ABC是所求的三角形．(2)如圖2，∵AB＝a＝4，∴BC＝eq\f(1,2)a＝2，∴AC＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，∴AC邊上的高BD＝eq\f(4×2,2\r(5))＝eq\f(4,5)eq\r(5).(3)幾何基本作圖，作圖的一般步驟，尺規(guī)作圖和一般作圖的區(qū)別．【例題精析】例1(1)如圖所示；(2)∵DC是∠ACB的平分線，∴∠BCD＝∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD，∴∠ECD＝∠EDC，∴DE＝CE，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AC)，設(shè)DE＝CE＝x，則AE＝6－x，∴eq\f(x,4)＝eq\f(6－x,6)，解得：x＝eq\f(12,5)，即DE＝eq\f(12,5)，故答案為：eq\f(12,5).例2(1)在eq\o(AB,\s\up8(︵))上取點(diǎn)C，連結(jié)AC、BC，畫AC、BC的中垂線，交于點(diǎn)O；(2)連結(jié)OA，過點(diǎn)A畫AT⊥OA.例3(1)如圖1所示；(2)如圖2所示；(3)如圖3所示．例4(1)如圖所示，∠ABC＝45°.(AB、AC是小長方形的對角線)．(2)線段AB的垂直平分線如圖所示，點(diǎn)M是長方形AFBE的對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)N是正方形ABDC的對角線的交點(diǎn)，直線MN就是所求的線段AB的垂直平分線．例5(1)如圖所示：(2)DE∥AC.∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝eq\f(1,2)∠BDC，∵∠ACD＝∠A，∠ACD＋∠A＝∠BDC，∴∠A＝eq\f(1,2)∠BDC，∴∠A＝∠BDE，∴DE∥AC.例6(1)作出線段AB的垂直平分線；(2)作出角的平分線(2條)；它們的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)C(2個)．【變式拓展】(1)B(2)A2.D3.D4.因?yàn)榈妊苯侨切蔚闹苯琼旤c(diǎn)到另外兩點(diǎn)距離相等，且∠C＝90°，故利用線段中垂線的性質(zhì)和圓中直徑所對的圓周角為直角作圖．如圖，故符合題意的點(diǎn)有2個．略6.(1)如圖1所示(2)如圖2所示．C8.(1)如圖所示：(2)∵AB＝AC，D為BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC即∠ADC＝90°，又∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝45°，又∵A