高等數(shù)學(xué)(下)無窮級數(shù)第一頁，共100頁。常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項級數(shù)的概念

二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)三、級數(shù)收斂的必要條件第一節(jié)第十一章第二頁，共100頁。一、常數(shù)項級數(shù)的概念

引例用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形,這個和逼近于圓的面積A.設(shè)a0表示即內(nèi)接正三角形面積,ak表示邊數(shù)增加時增加的面積,則圓內(nèi)接正第三頁，共100頁。定義：給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第n項叫做級數(shù)的一般項,級數(shù)的前n項和稱為級數(shù)的部分和.次相加,簡記為第四頁，共100頁。當(dāng)級數(shù)收斂時,稱差值為級數(shù)的余項.則稱無窮級數(shù)發(fā)散.顯然收斂,則稱無窮級數(shù)并稱S

為級數(shù)的和,記作第五頁，共100頁。例1.討論等比級數(shù)(又稱幾何級數(shù))(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級數(shù)收斂,從而則部分和因此級數(shù)發(fā)散.其和為第六頁，共100頁。2).若因此級數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,時,等比級數(shù)收斂;時,等比級數(shù)發(fā)散.則級數(shù)成為不存在,因此級數(shù)發(fā)散.第七頁，共100頁。例2.判別下列級數(shù)的斂散性:解:(1)所以級數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項相消”求和第八頁，共100頁。(2)所以級數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項相消”求和第九頁，共100頁。二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級數(shù)收斂于S,則各項乘以常數(shù)c所得級數(shù)也收斂,說明:級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為cS.性質(zhì)2.設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為第十頁，共100頁。說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級數(shù)可逐項相加或減.第十一頁，共100頁。性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項,不會影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)4.

收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.推論:若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.注意:收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.例如，第十二頁，共100頁。三、級數(shù)收斂的必要條件

性質(zhì)5、設(shè)收斂級數(shù)則必有可見:若級數(shù)的一般項不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散.例如,其一般項為不趨于0,因此這個級數(shù)發(fā)散.第十三頁，共100頁。注意:并非級數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)散.事實上

,假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.第十四頁，共100頁。二、交錯級數(shù)及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂

第二節(jié)一、正項級數(shù)及其審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法第十一章第十五頁，共100頁。一、正項級數(shù)及其審斂法若定理1.

正項級數(shù)收斂部分和序列有界.則稱為正項級數(shù).定理2(比較審斂法)設(shè)且存在對一切有(1)若強(qiáng)級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強(qiáng)級數(shù)則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個正項級數(shù),(常數(shù)k>0),第十六頁，共100頁。例1.討論p級數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因為對一切而調(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,第十七頁，共100頁。因為當(dāng)故考慮強(qiáng)級數(shù)的部分和故強(qiáng)級數(shù)收斂,由比較審斂法知p級數(shù)收斂.時,2)若第十八頁，共100頁。調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在對一切第十九頁，共100頁。證明級數(shù)發(fā)散.證:因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散.例2.第二十頁，共100頁。定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞時,第二十一頁，共100頁。是兩個正項級數(shù),(1)當(dāng)時,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;特別取可得如下結(jié)論:對正項級數(shù)(2)當(dāng)且收斂時,(3)當(dāng)且發(fā)散時,也收斂;也發(fā)散.第二十二頁，共100頁。的斂散性.～例3.判別級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例4.判別級數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～第二十三頁，共100頁。定理4

.比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.說明:

當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.第二十四頁，共100頁。例5.討論級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;第二十五頁，共100頁。例6.討論級數(shù)的斂散性.第二十六頁，共100頁。定理5.根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)為正項級則數(shù),且時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,p–級數(shù)說明:但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.第二十七頁，共100頁。例7.討論級數(shù)的斂散性.例8.討論級數(shù)的斂散性.第二十八頁，共100頁。二、交錯級數(shù)及其審斂法則各項符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂,且其和其余項滿足第二十九頁，共100頁。收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂第三十頁，共100頁。三、絕對收斂與條件收斂

定義:

對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,則稱原級收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對收斂.例如：絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂.第三十一頁，共100頁。定理7.絕對收斂的級數(shù)一定收斂.說明：上述逆定理不一定成立。即發(fā)散發(fā)散第三十二頁，共100頁。例9.證明下列級數(shù)絕對收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.第三十三頁，共100頁。(2)令因此收斂,絕對收斂.第三十四頁，共100頁。內(nèi)容小結(jié)1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2.利用正項級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限第三十五頁，共100頁。3.任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)Leibniz判別法:則交錯級數(shù)收斂概念:絕對收斂條件收斂第三十六頁，共100頁。例1、（06，一，三）若則級數(shù)（）A、B、C、D、例2、（05，三）設(shè)若則下列結(jié)論正確的是（）A、B、C、D、第三十七頁，共100頁。第三節(jié)一、函數(shù)項級數(shù)的概念

二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運(yùn)算冪級數(shù)第十一章第三十八頁，共100頁。一、函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù).對若常數(shù)項級數(shù)斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域;若常數(shù)項級數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱收斂,發(fā)散,所有為其收為其發(fā)散點,發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域.第三十九頁，共100頁。為級數(shù)的和函數(shù),并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數(shù)項級數(shù)前n項的和,即在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)稱它第四十頁，共100頁。例如,等比級數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔秩?

級數(shù)級數(shù)發(fā)散;所以級數(shù)的收斂域僅為有和函數(shù)第四十一頁，共100頁。二、冪級數(shù)及其收斂性

形如的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)列下面著重討論例如,冪級數(shù)為冪級數(shù)的系數(shù).即是此種情形.的情形,即稱第四十二頁，共100頁。發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散定理1.(Abel定理)

若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切x冪級數(shù)都絕對收斂.反之,若當(dāng)?shù)囊磺衳,該冪級數(shù)也發(fā)散.時該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式第四十三頁，共100頁。冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出,中心的區(qū)間.用±R

表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,的收斂域是以原點為則R=0時,冪級數(shù)僅在x=0收斂;R=時,冪級數(shù)在(－R,R)收斂;(－R,R)加上收斂的端點稱為收斂域.R稱為收斂半徑，在[－R,R]可能收斂也可能發(fā)散.外發(fā)散;在(－R,R)稱為收斂區(qū)間.發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散第四十四頁，共100頁。定理2.若的系數(shù)滿足1)當(dāng)≠0時,2)當(dāng)＝0時,3)當(dāng)＝∞時,則的收斂半徑為說明:據(jù)此定理第四十五頁，共100頁。對端點x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對端點x=1,級數(shù)為交錯級數(shù)收斂;級數(shù)為發(fā)散.故收斂域為例1.求冪級數(shù)

第四十六頁，共100頁。例2.求下列冪級數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域為(2)所以級數(shù)僅在x=0處收斂.規(guī)定:0!=1第四十七頁，共100頁。例3.的收斂半徑.解:級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為故直接由第四十八頁，共100頁。例4.的收斂域.解:令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2時,級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=–2時,級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為故原級數(shù)的收斂域為即第四十九頁，共100頁。三、冪級數(shù)的運(yùn)算定理3.

設(shè)冪級數(shù)及的收斂半徑分別為令則有:其中第五十頁，共100頁。說明:兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個冪級數(shù)的收斂半徑小得多.例如,設(shè)它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是第五十一頁，共100頁。定理4若冪級數(shù)的收斂半徑則其和函在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與逐項求積分,運(yùn)算前后收斂半徑相同:注:逐項積分時,運(yùn)算前后端點處的斂散性不變.第五十二頁，共100頁。例5.求級數(shù)的和函數(shù)解:易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,及收斂,第五十三頁，共100頁。因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而及第五十四頁，共100頁。內(nèi)容小結(jié)1.求冪級數(shù)收斂域的方法1)對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.2)對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項或通項為復(fù)合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2.冪級數(shù)的性質(zhì)兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.乘法運(yùn)算.第五十五頁，共100頁。2)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和求積分.第五十六頁，共100頁。第四節(jié)兩類問題:在收斂域內(nèi)和函數(shù)求和展開本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒(Taylor)級數(shù)

二、函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)第十一章第五十七頁，共100頁。一、泰勒(Taylor)級數(shù)

其中(在x與x0之間)稱為拉格朗日余項.則在若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),此式稱為f(x)的n階泰勒公式,該鄰域內(nèi)有:第五十八頁，共100頁。為f(x)

的泰勒級數(shù).則稱當(dāng)x0=0時,泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù).1)對此級數(shù),它的收斂域是什么？2)在收斂域上,和函數(shù)是否為f(x)?待解決的問題:若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),第五十九頁，共100頁。定理1

.各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要條件是f(x)的泰勒公式中的余項滿足:設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)具有定理2.若f(x)能展成x的冪級數(shù),則這種展開式是唯一的,且與它的麥克勞林級數(shù)相同.第六十頁，共100頁。二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.直接展開法由泰勒級數(shù)理論可知,第一步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0處的值;第二步寫出麥克勞林級數(shù),并求出其收斂半徑R;第三步判別在收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)是否為驟如下:展開方法直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知其級數(shù)展開式0.的函數(shù)展開第六十一頁，共100頁。例1.將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解:

其收斂半徑為對任何有限數(shù)x,其余項滿足故(在0與x之間)故得級數(shù)第六十二頁，共100頁。當(dāng)m=–1時第六十三頁，共100頁。2.間接展開法利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),例4.將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解:因為把x

換成,得將所給函數(shù)展開成冪級數(shù).第六十四頁，共100頁。例5.將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解:從0到x積分,得定義且連續(xù),區(qū)間為利用此題可得上式右端的冪級數(shù)在x＝1收斂,所以展開式對x＝1也是成立的,于是收斂第六十五頁，共100頁。例6.將展成解:

的冪級數(shù).第六十六頁，共100頁。例7.將展成x－1的冪級數(shù).解:

第六十七頁，共100頁。(06,一)將展成關(guān)于x的冪級數(shù)第六十八頁，共100頁。內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的冪級數(shù)展開法(1)直接展開法—利用泰勒公式;(2)間接展開法—利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開2.常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式式的函數(shù).第六十九頁，共100頁。當(dāng)m=–1時第七十頁，共100頁。第七節(jié)一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性

二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)第十一章傅里葉級數(shù)第七十一頁，共100頁。一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡單的周期運(yùn)動:(諧波函數(shù))(A為振幅,復(fù)雜的周期運(yùn)動:令得函數(shù)項級數(shù)為角頻率,φ為初相)(諧波迭加)稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù).第七十二頁，共100頁。定理1.組成三角級數(shù)的函數(shù)系證:同理可證:正交,上的積分等于0.即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在第七十三頁，共100頁。上的積分不等于0.且有但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在第七十四頁，共100頁。二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)定理2.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),且右端級數(shù)可逐項積分,則有①②葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)①稱為的傅里葉系數(shù);由公式②確定的的傅里的傅里葉級數(shù).稱為函數(shù)以第七十五頁，共100頁。①②第七十六頁，共100頁。定理3(收斂定理,展開定理)設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2)在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂,且有

x為間斷點其中為f(x)

的傅里葉系數(shù).

x為連續(xù)點注意:函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.第七十七頁，共100頁。例1.

設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在上的表達(dá)式為解:先求傅里葉系數(shù)將f(x)展成傅里葉級數(shù).第七十八頁，共100頁。第七十九頁，共100頁。1)根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于2)傅氏級數(shù)的部分和逼近說明:f(x)的情況見右圖.第八十頁，共100頁。例2.上的表達(dá)式為將f(x)展成傅里葉級數(shù).解:

設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在第八十一頁，共100頁。說明:當(dāng)時,級數(shù)收斂于第八十二頁，共100頁。周期延拓傅里葉展開上的傅里葉級數(shù)定義在[–,]上的函數(shù)f(x)的傅氏級數(shù)展開法其它第八十三頁，共100頁。例3.將函數(shù)級數(shù).則解:將f(x)延拓成以展成傅里葉2為周期的函數(shù)F(x),第八十四頁，共100頁。利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.當(dāng)x=0時,f(0)=0,得說明:第八十五頁，共100頁。設(shè)已知又第八十六頁，共100頁。三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)定理4.

對周期為2的奇函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為周期為2的偶函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為正弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為第八十七頁，共100頁。例4.設(shè)的表達(dá)式為f(x)＝x,將