PAGEPAGE10目錄第二章波函數(shù)和薛定諤方程 2一、簡(jiǎn)答題 2二、證明題 6三、計(jì)算題 7第二章波函數(shù)和薛定諤方程一、簡(jiǎn)答題何謂微觀粒子的波粒二象性？系？微觀粒子不存在軌道的概念?，F(xiàn)波粒二象性的？試述牛頓力學(xué)與量子力學(xué)中的自由粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。態(tài)？判別一個(gè)物理體系是經(jīng)典體系還是量子體系的基本標(biāo)準(zhǔn)是什么？是比較粒子和波這兩個(gè)概念在經(jīng)典物理和量子力學(xué)中的含義。微觀粒子體系的狀態(tài)完全由波函數(shù)(r,t)條件？波函數(shù)的物理意義是什么？敘述波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋?zhuān)ㄎ锢硪饬x，并寫(xiě)出薛定諤方程的一般數(shù)學(xué)形式。么？觀粒子的狀態(tài)及波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。簡(jiǎn)述玻恩關(guān)于波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋?zhuān)催@種解釋?zhuān)鑼?xiě)粒子的波是什么波？光波等其它波動(dòng)過(guò)程的波函數(shù)的區(qū)別。簡(jiǎn)要說(shuō)明波函數(shù)和它所描寫(xiě)的粒子之間的關(guān)系。波函數(shù)的物理意義-微觀粒子的狀態(tài)完全由其波函數(shù)描述，這里“完全”的含義是什么？化嗎？Bron,t,,t2和,t2dxdydz分別表示什么含義？改變？若x是歸一化的波函數(shù)，1問(wèn)：(x)， (x)c(x) c1 ，(x)e(x) 為任意實(shí)數(shù)1 2 1 3 1是否描述同一態(tài)？分別寫(xiě)出它們的位置幾率密度公式。歸一化波函數(shù)是否可以含有任意相因子ei為實(shí)常數(shù)）？波函數(shù)K、e（K,均為常數(shù)）是否描寫(xiě)同一狀態(tài)。觀粒子的狀態(tài)及波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。設(shè)(x)eikx，粒子的位置幾率分布如何？這個(gè)波函數(shù)能否歸一化？對(duì)一個(gè)粒子而言，歸一化的波函數(shù) (,t)的模方(,t)2表示什么？設(shè)C(p,t)為歸一化的動(dòng)量表象下的波函數(shù)，則|C(p,t)|2dp的物理意義是什么？寫(xiě)出定態(tài)波函數(shù)的形式。228(x)Ae12x2為常數(shù)A2總電子數(shù)必定等于分別通過(guò)兩縫的電子數(shù)之和”這種說(shuō)法對(duì)嗎？下列波函數(shù)在什么情況下才是描述同一狀態(tài)？1

，c1

c2

，c ie11 1e1

c2

ei22（cc，）1 2 1 ,2出現(xiàn)的干涉效應(yīng)。設(shè)描寫(xiě)粒子狀態(tài)的函數(shù)可以寫(xiě)成ccc和c和11 2 2 1 2 1 為粒子的分別屬于能量EE2 1

的構(gòu)成完備系的能量本征態(tài)。試說(shuō)明式子cc

的含義，并指出在狀態(tài)中測(cè)量體系的能量的可能值及其幾率。11 2 2

和c1 2 1

c2 2（c，c1

是復(fù)數(shù)）

和是能量的本1 2征態(tài)，它們的線性迭加：c1 1

c2

還是能量本征態(tài)嗎？為什么？34.（物理意義，并寫(xiě)出薛定諤方程的一般數(shù)學(xué)形式。一粒子有波函數(shù)由t 1 Cp,tipxdp描寫(xiě)，則Cp,t=？。22-粒子在勢(shì)場(chǎng)U(r)中運(yùn)動(dòng)，試寫(xiě)出粒子的哈密頓算符。一維線性諧振子處在3一維線性諧振子處在

(x)N3(x)N

ex2H2322ex2H2

x態(tài)中，其相應(yīng)的能量為？x)態(tài)中，其相應(yīng)的能量為?2 2 2試述薛定諤對(duì)量子力學(xué)的貢獻(xiàn)。薛定諤方程是如何建立的？是推導(dǎo)出來(lái)的嗎？試寫(xiě)出表示微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)方程。寫(xiě)出球坐標(biāo)中拉普拉斯算符的表示。如何應(yīng)用波動(dòng)方程得出幾率守恒—波函數(shù)的歸一化不隨時(shí)間改變？寫(xiě)出量子力學(xué)中概率密度、粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律。w程的數(shù)學(xué)形式。什么是定域的幾率守恒？幾率流密度的物理意義是什么？對(duì)什么波函數(shù)描述的態(tài)，幾率流密度與電流密度均為零？對(duì)什么波函數(shù)描述的態(tài)，幾率流密度與電流密度均不隨時(shí)間改變？平面波的幾率密度及幾率流密度有什么特征？何謂量子力學(xué)中的定態(tài)問(wèn)題？定態(tài)問(wèn)題哈密頓算符滿(mǎn)足什么條件？并請(qǐng)從薛定諤方程推導(dǎo)出定態(tài)薛定諤方程。什么是定態(tài)？一個(gè)量子體系處于定態(tài)的條件是什么？它有什么特點(diǎn)？對(duì)于定態(tài)，是否幾率流密度必為零？試判斷下列函數(shù)中的哪些所描述的狀態(tài)是定態(tài)？r,tuxeixiEt/ vxeixiEt/2r,tuxeixiEt/ uxeixiEt/1 23r,tuxeiEt/ uxeiEt/請(qǐng)說(shuō)明束縛態(tài)和自由態(tài)及其相應(yīng)能級(jí)的特點(diǎn)。這種態(tài)所屬的能級(jí)有什么特點(diǎn)？分別說(shuō)明什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡(jiǎn)并態(tài)、正宇稱(chēng)態(tài)和負(fù)宇稱(chēng)態(tài)？什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)？它是否可看成是平面波的疊加？舉例說(shuō)明。60.簡(jiǎn)述量子力學(xué)基本原理一、二。簡(jiǎn)述勢(shì)壘貫穿效應(yīng)，并舉例說(shuō)明其在實(shí)際中的應(yīng)用。掃描隧道顯微鏡的工作原理是隧道效應(yīng)，簡(jiǎn)述什么是隧道效應(yīng)。簡(jiǎn)要解釋一維線性諧振子的零點(diǎn)能。解釋量子力學(xué)中的簡(jiǎn)并和簡(jiǎn)并度。寫(xiě)出一維線性諧振子第二激發(fā)態(tài)的波函數(shù)和能級(jí)，并指出節(jié)點(diǎn)數(shù)及宇稱(chēng)。m（0xa波函數(shù)、能級(jí)及節(jié)點(diǎn)數(shù)。一質(zhì)量為的粒子在一維無(wú)限深勢(shì)阱Vx

0x

中運(yùn)動(dòng)，寫(xiě)出其狀態(tài)波函數(shù)和能級(jí)表達(dá)式。

，xx2a質(zhì)量為m的粒子處在二維簡(jiǎn)諧振子勢(shì)場(chǎng)Vx,y子能量的本征態(tài)的簡(jiǎn)并度。

x2y2 中，分析該粒1 1 3

，且l=N-2n，則在一確定的能nlm量(N+

) 下，簡(jiǎn)并度為？2勢(shì)壘？二、證明題證明在定態(tài)中，概率密度及概率流密度與時(shí)間無(wú)關(guān)。證明在定態(tài)中，幾率流與時(shí)間無(wú)關(guān)。證明tUiEtViEt是定態(tài)波函數(shù)。4.證明xx21x0(x1,x1)

是標(biāo)準(zhǔn)波函數(shù)。Schr?dinger方程 2

it

r,

2m

r,

V 1

iV 2

r,t

（1）其中，V與V1

為實(shí)函數(shù)。證明粒子的幾率（粒子數(shù)）不守恒。Schr?dinger方程 2

it

r,

2m

r,

V 1

iV 2

r,t其中，V與V1

為實(shí)函數(shù)。證明粒子在空間體積內(nèi)的幾率隨時(shí)間的變化為d d3r **dS

2d3rdt S 設(shè) 和1

Schr?dinger方程的兩個(gè)解，證明2dd3rdt

*t1 2

t0。U，當(dāng)x0粒子在勢(shì)能為Ux 1 0xa 的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，證明對(duì)于能量EU1

0，當(dāng)U,當(dāng)xa22mU12mU2U 的狀態(tài)，能量有關(guān)系式kansin2mU12mU22

sin1 k

決定，2mE2其中k2mE2(x)U(x)，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱(chēng)。 1x)2 試證明x e23

2(x)3

，是線性諧振子的波函數(shù)，并求此波函數(shù)對(duì)應(yīng)的能量。試證對(duì)于一維運(yùn)動(dòng)設(shè)有兩個(gè)波函數(shù) 及1

是對(duì)應(yīng)于同一級(jí)量E的解，則2''常數(shù)。1 2 2 1試證明：一維運(yùn)動(dòng)的束縛態(tài)都是不簡(jiǎn)并的。證明非簡(jiǎn)并態(tài)能級(jí)波函數(shù)可以表示為實(shí)函數(shù)。Hermite諧振子波函數(shù)滿(mǎn)足下列關(guān)系x(x)

1 (x) n(x) n

n1

2 n1 1 x2n

(x) 22

n1

n2

(x)

2n1n

(x)

n

n2

n2

(x)Hermiten2d(x)n2dx n

2

n1 d2(x)2nn 2n

dx2 n 2

n2 n

n2試證明對(duì)于任意勢(shì)壘，粒子的反射系數(shù)Ｔ滿(mǎn)足Ｒ＋Ｔ＝１三、計(jì)算題請(qǐng)從薛定諤方程推導(dǎo)出定態(tài)薛定諤方程。式。由薛定諤方程解出定態(tài)波函數(shù)1由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度：1(1)1

1eikrr

(2)2

reikr從所得結(jié)果說(shuō)明面波。

表示向外傳播的球面波，1

表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球2質(zhì)量為m的粒子，在一維無(wú)限深勢(shì)阱中Vx0,

axaxa,xa中運(yùn)動(dòng)。求粒子的能量本征值和本征函數(shù)。質(zhì)量為m的粒子，在一維勢(shì)場(chǎng)，x0U(x)，0xa0，xa中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)ux

|xa中運(yùn)動(dòng)，其中u|xa

0，求束縛態(tài)能級(jí)所能滿(mǎn)足的方程。

,x0ux

x0,a。求確定束縛態(tài)能級(jí)0方程。求在一維勢(shì)場(chǎng)U(x)

0,xaxa中運(yùn)動(dòng)的粒子的能級(jí)。xaUxax2bxc中運(yùn)動(dòng)0。求其定態(tài)能級(jí)和波函數(shù)。一質(zhì)量為的粒子在如下的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)：U(x),x2a ，1)求：哈密頓算U(x),x2a符的本征值與本征函數(shù)；2）寫(xiě)出粒子的幾率分布函數(shù)；3）第一激發(fā)態(tài)粒子在距1左壁區(qū)域內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率是多少？4）基態(tài)粒子在何處出現(xiàn)的幾率最大？2 xa12.在勢(shì)阱Vx xa

中運(yùn)動(dòng)的粒子，處于第n激發(fā)態(tài)，試求：1寬度處的幾率密度。4在該處，量子數(shù)n取何值時(shí)幾率密度最大，最大值為多少。質(zhì)量為m的粒子在如下一維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)00Vx

.

x0, 0xa00, xa若已知該粒子在此勢(shì)阱中有一個(gè)能量EV0的狀態(tài)，試確定此勢(shì)阱的寬度a。2 x00 粒子在半壁無(wú)限深勢(shì)阱Ux x0 （0<E<U）所滿(mǎn)足的方程。0

U0xa0求二維各向同性諧振子的能級(jí)和簡(jiǎn)并度。求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。寫(xiě)出線性諧振子體系的本征值方程、本征值和歸一化的本征函數(shù)，并求：1)一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置；2）諧振子處在(x)N2

e12x2H22 2

寫(xiě)出三維線性諧振子體系的能級(jí)和波函數(shù)。考慮在三維各向同性勢(shì)V(r)

1m2r2下運(yùn)動(dòng)的帶電荷+e的粒子，受沿正x2方向的電場(chǎng)E的作用，求粒子的定態(tài)能量和波函數(shù)。已知一維線性諧振子對(duì)應(yīng)于n

x a

1 22 e2x22

x，其中m。n 122nn!m。q的作用，1V(x)

m2x2qx （1）2求能量本征值和本征函數(shù)。m，q（-kx）E（x向）的共同作用，勢(shì)能可以表示為V(x)1kx2qEx2求定態(tài)能級(jí)和波函數(shù)。設(shè)質(zhì)量為ｍ的粒子在下述勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)：Vx求粒子的能級(jí)。設(shè)勢(shì)場(chǎng)是：

01m2x2 02a xV(x)V0

( )2,(a,x0)x a求粒子能級(jí)與波函數(shù)，證明其能級(jí)與諧振子相似。一粒子在一維勢(shì)阱中U(x)U0, xa 0, xa運(yùn)動(dòng)，求束縛態(tài)(0EU )的能級(jí)所滿(mǎn)足的方程。0試求在不對(duì)稱(chēng)勢(shì)力阱中粒子的能級(jí)。粒子在一維勢(shì)阱UxU

x00xa中運(yùn)動(dòng)(U>0)0 2

0 xaEE0E量由式tga

U 2 0

決定。,x0,xa一粒子在一維方勢(shì)阱

,0xaU(x)=-U0 2 0axa 2對(duì)無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)粒子的微擾，計(jì)算在一級(jí)近似下粒子的基態(tài)能量。 x00 粒子在半壁無(wú)限深勢(shì)阱Ux x0 U0xa0（0<E<U）所滿(mǎn)足的方程。0

xb設(shè)粒子處在對(duì)稱(chēng)的雙方勢(shì)阱中V(x)V

axa00（1）在V0

情況下求粒子能級(jí)，并證明能級(jí)是雙重簡(jiǎn)并（2）V0

取有限值情況下，簡(jiǎn)并將消失。V(x)EV0

,EV兩0種情況)證明當(dāng)b0時(shí),若保持

mVb2

常數(shù),上述周期場(chǎng)變成Dirac梳:0,x0質(zhì)量為的粒子沿x方向以能量E向x=0處勢(shì)階運(yùn)動(dòng)勢(shì)UxE,x04問(wèn)在x=0處被反射的粒子幾率有多大？mxEx0x0時(shí)，該勢(shì)為0；當(dāng)x0時(shí)，該勢(shì)為3E。問(wèn)在x0處粒子被反射的幾率多4大？考慮一維階梯勢(shì)VxU00

x0，若能量的粒子Ux0

從左邊入射，試求該階梯勢(shì)的反射系數(shù)