第14講數(shù)學(xué)基本方法之等積法在解決幾何問題時(shí)，通?？刹捎玫确e法來解決一些問題，即同一個(gè)圖形采用不同的面積表示方法來建立等式.等積法也常在證明某些定理時(shí)被用到.【例題講解】例題1已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，AD⊥BC，求AD的長為．答案：AD＝2.4.例題2、如圖，E是邊長為1的正方形ABCD的對(duì)角線上一點(diǎn)，且BE＝BC，P為CE上任意一點(diǎn)，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BE于點(diǎn)R，則PQ＋PR的值為.答案：SKIPIF1<0.【解析】連接BP，易知SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0·BE·CM＝SKIPIF1<0·BE·PR＋SKIPIF1<0·BC·PQ，由BC＝BE，等號(hào)兩邊同時(shí)約掉，剩下CM＝PR＋PQ，所以CM＝SKIPIF1<0BC＝SKIPIF1<0.連接BP，過C作CM⊥BD，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝BC×PQ×SKIPIF1<0＋BE×PR×SKIPIF1<0＝BC×（PQ＋PR）×SKIPIF1<0＝BE×CM×SKIPIF1<0，BC＝BE，∴PQ＋PR＝CM，∵BE＝BC＝1，且正方形對(duì)角線BD＝SKIPIF1<0BC＝SKIPIF1<0，又∵BC＝CD，CM＝BD，∴M為BD中點(diǎn)，又△BDC為直角三角形，∴CM＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，即PQ＋PR值是SKIPIF1<0．【對(duì)于填空選擇題，可用特殊值法！】例題3如圖，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)P為邊BC上任意一點(diǎn)（可與B點(diǎn)或C點(diǎn)重合），分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則BSKIPIF1<0＋CSKIPIF1<0＋DSKIPIF1<0的最大值為，最小值為．答案：2，SKIPIF1<0.【解析】連接AC、DP，SKIPIF1<0＝1×1×1，由勾股定理得：AC＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∵AB＝1，∴1≤AP≤SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0AP×CSKIPIF1<0，1＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0AP（BSKIPIF1<0＋CSKIPIF1<0＋DSKIPIF1<0），BSKIPIF1<0＋CSKIPIF1<0＋DSKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∵1≤AP≤SKIPIF1<0，SKIPIF1<0≤BSKIPIF1<0＋CSKIPIF1<0＋DSKIPIF1<0≤2，【鞏固練習(xí)】1、如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，AB＝2，則點(diǎn)P到△ABC三邊的距離之和為.2、如圖，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD邊上任意一點(diǎn)，PE⊥BD，PE⊥AC，E、F分別是垂足，則PE＋PF的長為.3、如圖，D是Rt△ABC斜邊AB上一點(diǎn)，且BD＝BC＝AC＝1，P為CD上任意一點(diǎn)，PF⊥BC于點(diǎn)F，PE⊥AB于點(diǎn)E，則PE＋PF的值是.4.如圖，已知直線y＝2x－2上有一動(dòng)點(diǎn)Q，點(diǎn)P坐標(biāo)為（－1，0），則PQ的最小值為.【請(qǐng)用等積法】圖4圖5圖4圖55.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是斜邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB上，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AB＝6，BC＝3.，則PE＋PF＝.6.將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2＋b2＝c2.7．如圖，在△ABC中，∠ A＝90°，D是AC上的一點(diǎn)，BD＝DC，P是BC上的任一點(diǎn)，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F為垂足．求證：PE＋PF＝AB．8．如圖，平行四邊形ABCD中，AB:BC＝3:2，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE:EB＝1:2，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，過D分別作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，求證：SKIPIF1<09.在△ABC中，AB＝13，BC＝14．（1）如圖1，AD⊥BC于點(diǎn)D，且BD＝5，則△ABC的面積為；（2）在（1）的條件下，如圖2，點(diǎn)H是線段AC上任意一點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，C作直線BH的垂線，垂足為E，F(xiàn)，設(shè)BH＝x，AE＝m，CF＝n，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示m＋n，并求m＋n的最大值和最小值．圖1圖2圖1圖210．【問題情境】張老師給愛好學(xué)習(xí)的小軍和小俊提出這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P為邊BC上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為．求證：PD＋PE＝CF．圖1圖2圖3圖1圖2圖3小軍的證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD＋PE＝CF．小俊的證明思路是：如圖2，過點(diǎn)P作PG⊥CF，垂足為G，可以證得：PD＝GF，PE＝CG，則PD＋PE＝CF．【變式探究】如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上時(shí)，其余條件不變，求證：PD－PE＝CF；請(qǐng)運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法完成下列兩題：【結(jié)論運(yùn)用】如圖4，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)SKIPIF1<0處，點(diǎn)P為折痕EF上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD＝8，CF＝3，求PG＋PH的值；圖4圖4【遷移拓展】圖5是一個(gè)航模的截面示意圖．在四邊形ABCD中，E為AB邊上的一點(diǎn)，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D、C，且AD·CE＝DE·BC，AB＝SKIPIF1<0dm，AD＝3dm，BD＝SKIPIF1<0dm．M、N分別為AE、BE的中點(diǎn)，連接DM、CN，求△DEM與△CEN的周長之和．圖5圖5

參考答案1.答案：SKIPIF1<0.2.答案：SKIPIF1<0.3.答案：SKIPIF1<0.【解析】如圖所示，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0斜邊SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．4.答案：SKIPIF1<0.【解析】如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QC＋QB，則∵y＝2x－2∴A（0，－2），B（1，0）∵△PQB∽△AOB∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0∵AB＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，PB＝2，OB＝1∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0∴BQ＝SKIPIF1<0∴PQ＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.5.答案：SKIPIF1<0.如圖作BM⊥AC于M，連接PD．∵∠ABC＝90°，AD＝DC，AB＝6，BC＝3，∴BD＝AD＝DC，AC＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0·AB·BC＝SKIPIF1<0·AC·BM，∴BM＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0·AD·BM＝SKIPIF1<0·AD·PF＝SKIPIF1<0·BD·PE，∴PE＋PF＝BM＝SKIPIF1<0．6.答案：連接DB，過點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b－a．∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0b2＋SKIPIF1<0ab．又∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0c2＋SKIPIF1<0a（b－a）∴SKIPIF1<0b2＋SKIPIF1<0ab＝SKIPIF1<0c2＋SKIPIF1<0a（b－a）∴a2＋b2＝c2.圖1圖2圖1圖2請(qǐng)參照上述證法，利用圖2證明：a2＋b2＝c2．【解析】連結(jié)BD，過點(diǎn)B作DE邊上的高BF，可得BF＝b－a，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0ab＋SKIPIF1<0b2＋SKIPIF1<0ab，又SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0ab＋SKIPIF1<0c2＋SKIPIF1<0a（b－a），∴SKIPIF1<0ab＋SKIPIF1<0b2＋SKIPIF1<0ab＝SKIPIF1<0ab＋SKIPIF1<0c2＋SKIPIF1<0a（b－a），∴a2＋b2＝c2.7.【解析】過P作PG⊥AB于G，交BD于O，∵PF⊥AC，∠A＝90°，∴∠A＝∠AGP＝∠PFA＝90°，∴四邊形AGPF是矩形，∴AG＝PF，PG∥AC，∵BD＝DC，∴∠C＝∠GPB＝∠DBP，∴OB＝OP，∵PG⊥AB，PE⊥BD，∴∠BGO＝∠PEO＝90°，在△BGO和△PEO中SKIPIF1<0∴△BGO≌△PEO，∴PE＝BG，∵AB＝BG＋AG，∴PE＋PF＝AB．8.【解析】連接DE、DF，∵根據(jù)三角形的面積和平行四邊形的面積得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0AF×DF＝SKIPIF1<0CE×DQ，∴AF×DP＝CE×DQ，∴SKIPIF1<0.9.【解析】（1）在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，∴AD＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝12.∵BC＝14，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0BC·AD＝SKIPIF1<0×14×12＝84.故答案為：84．（2）∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0BH·AE＋SKIPIF1<0BH·CF＝84．∴xm＋xn＝168.∴m＋n＝SKIPIF1<0∵AD＝12，DC＝14－5＝9，∴AC＝SKIPIF1<0＝15，∵m＋n與x成反比，∴當(dāng)BH⊥AC時(shí)，m＋n有最大值．∴（m＋n）BH＝AC·BH．∴m＋n＝AC＝15.∵m＋n與x成反比，∴當(dāng)BH值最大時(shí)，m＋n有最小值．∴當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)C重合時(shí)m＋n有最小值．∴m＋n＝SKIPIF1<0，∴m＋n等于12.∴m＋n的最大值為15，最小值為12．10.【解析】【問題情境】證明：（小軍的方法）連接AP，如圖②∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0AB·CF＝SKIPIF1<0AB·PD＋SKIPIF1<0AC·PE.∵AB＝AC，∴CF＝PD＋PE．（小俊的方法）過點(diǎn)P作PG⊥CF，垂足為G，如圖②．∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，∴∠CFD＝∠FDP＝∠FGP＝90°∴四邊形PDFG是矩形．∴DP＝FG，∠DPG＝90°.∴∠CGP＝90°∵PE⊥AC，∴∠CEP＝90°，∴∠PGC＝∠CEP.∵∠BDP＝∠DPG＝90°，∴PG∥AB.∴∠GPC＝∠B.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠GPC＝∠ECP.在△PGC和△CEP中，SKIPIF1<0∴△PGC≌△CEP.∴CG＝PE.CF＝CG＋FG＝PE＋PD【變式探究】證明：連接AP，如圖③．∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF＝AB，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0AB·CF＝SKIPIF1<0AB·PD－SKIPIF1<0AC·PE.∵AB＝AC，∴CF＝PD－PE.【結(jié)論運(yùn)用】過點(diǎn)E作EQ⊥BC，垂