實變函數(shù)論后答案第一2（p20-21）第一章第二節(jié)證平面上坐標(biāo)為有理數(shù)的點構(gòu)成一可數(shù)集合。證明：將全體有理數(shù)排成一列rrr，則平面上的有理點1s，其中1,2,jjijj

n

為可列集，故作為可數(shù)個

A

j

的并

j

A

j

為可數(shù)集頁理以線上的互不相交的開區(qū)間為元素的任意集合至多只有數(shù)多個元.證明：設(shè)這里某指標(biāo)集。則我們可在任意

I

這一開區(qū)間中選定一個有理數(shù)

r

，與之對應(yīng)，從而給出一個對應(yīng)，AIr由于

I

互不相交，當(dāng)

rr

，故上述對應(yīng)是

的.故

A

與有理數(shù)集的一個子集對等，所以

A

的勢最多與

Q

的勢相同，不會超過

Q

的勢，故

A

要么為有限，要么為可數(shù)所系數(shù)為有理數(shù)的多項式組成一可數(shù)集.證明：我們稱系數(shù)為有理的多項式為有理多項式任取非負整數(shù)

n

，全體

n

階有理多項式的集合的勢是

事實上，階理數(shù)

n

x

n

axi

i

,aQ,令i

1

2

,a

n

與之對應(yīng)，這一對應(yīng)顯然是1的即i,Q

Q

m的勢是0

，這是因為由第一題：已知

Q

2

是可數(shù)集，利用歸納法，設(shè)

Qk

Q

是可數(shù)集，待證

Q

k

Q

k

是可數(shù)集，將Q的點排成一列

1

,

2

,

，將Q中的點排成一列

l,l1

,l

，則

Q

j

A

j

，其中

A，故jij

Q

j

A

j

也是可數(shù)集，這表明

階有理多項式全體是一可數(shù)集，而全體有理多項式

有多項式

集并也是可數(shù).如f

上的單調(diào)函數(shù)，則f可數(shù)多證明：我們在數(shù)學(xué)分析中知道

上的單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點，只能是跳躍間斷點，其任取

上的單調(diào)函數(shù)f點

為某指標(biāo)集，在A，fxx開區(qū)間

,limfx

,則y

,故A，一1上不妨設(shè)

x

，設(shè)

使

x

，

，有fxx所以y

y

limxx

，故

f

的間斷點的集合

A

與

R1

上的一族互不相交的開區(qū)間1

對應(yīng)，而后者的勢為

，故

f

的間斷點至多為可數(shù)多個.設(shè)

A

是一無窮集合，證明必有

A，A~且AA

可數(shù)證明：若

A

為可數(shù)集，則不妨設(shè)

i

in2i

~A

，且

A2i

,i

,

顯然仍為可數(shù)集，故此時結(jié)論成若

A

為無窮集不可數(shù)集由P19定

中包含一個可數(shù)子集

B

，則由于是無窮集，且不是可數(shù)集，A是窮集.由定和B為數(shù)知：

A

A

證畢若

A

為一可數(shù)集合，則

A

的所有有限子集構(gòu)成的集合也是可數(shù).證明：由第一，第三題的證明已知

NQ

（

為有理數(shù)集）由于

A是可數(shù)集故

個由全體

A

中的一個元素組成的集合

1

，

A

是可數(shù)集.由全體

A

中的兩個元素組成的集合

2

a121

AN

2

，A是數(shù)集

若

1

,,ini記

A

中的

個元素組成的子集全體，則

A

NN

故是可數(shù)集.顯然

A

的所有有限子集構(gòu)成的集合可表示為

m

，

Am

為可數(shù)集，故

m

作為可數(shù)個可數(shù)集的并也是可數(shù)集.注意：的全體子集構(gòu)成的集合不是可數(shù)若

A

是有非蛻化即端不等的區(qū)間組成的不可數(shù)無窮集合有

0

，使

A

中無窮多個區(qū)間的長度大于

證明：設(shè)一標(biāo)集，AI為非化的開記

I

的長度為

I

若本題的結(jié)論不成立，則，只有有限個I,I,I，使1記A,I中的區(qū)間都是非蛻化的，,In2

I,，A

A;I由于

A

是有限集故為可數(shù)個可數(shù)集并，

A

也是可數(shù)集這

A

是不可數(shù)無窮集矛盾.故

0,使中有無窮多個區(qū)間的長度大于0事實上，A有不可數(shù)無窮多個區(qū)間的長度大于.如空間中的長方形

I

,zby,c1212

,1212

b,c12121

，則稱I為理長方形，證明全體有理長方形構(gòu)成一可數(shù)集合.證明：由前面題3中已知

Q

是可數(shù)集（

為有理數(shù)組成的集合）設(shè)

有理長方

I

,yc12122

，記之為

I

aa,b,bc,

,a,b,c11

6

與之對應(yīng)，由于兩有理長方形

I

a,,b,c,c

,I

a,,b,c,c

相等a,bbc,c122

，故上述對應(yīng)是單射，故

A

與

Q

這一可數(shù)集