圖形折疊中的啟示——軸對(duì)稱在初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽問題中經(jīng)常遇到折紙使圖形折疊變位的問題．例1如圖1，矩形紙片ABCD中，AB=3厘米，BC＝4厘米．現(xiàn)將A，C重合，使紙片折疊壓平，設(shè)折痕為EF．試確定重疊部分△AEF的面積．分析通過折疊以后，我們看到直角梯形ECDF變?yōu)橹苯翘菪蜤AGF．△CDF變?yōu)椤鰽GF．換句話說EF所在直線是它們的對(duì)稱軸，在折紙操作中隱含著軸對(duì)稱這種圖形的運(yùn)動(dòng)．解設(shè)CE＝x，則AE=AF＝x，BE=4－x．在Rt△，ABE中，AE2=AB2+BE2，即x2=32+（4－x）2．通過例1，我們看到折紙是具體實(shí)現(xiàn)軸對(duì)稱的一種形式．一般情況下，關(guān)于某條直線為軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等的．通過軸對(duì)稱這種運(yùn)動(dòng)可以將在對(duì)稱軸一側(cè)的某個(gè)圖形全等地變到對(duì)稱軸另一側(cè)的半平面上，達(dá)到使本來分散的圖形的元素相對(duì)集中，從而便于我們揭示其中隱藏的關(guān)系．例2點(diǎn)M是凸四邊形ABCD的BC邊的中點(diǎn)．∠AMD＝120°，分析要證。想到利用“兩點(diǎn)間直線段最短”。應(yīng)把AB，，CD連結(jié)成折線段再與AD進(jìn)行比較?？上胂笥谜劬€的啟示，設(shè)法使這些線段相對(duì)集中．將△ABM沿AM對(duì)折壓平到△AB′M的位置．將△CDM沿DM對(duì)折壓平到△DC′M的位置．這樣△AB′M≌△ABM，△MC′D≌△MCD．連結(jié)B′C′．由于∠AMD＝120°，所以∠AMB+∠DMC＝180°－120°＝60°．從而∠B′MA+∠C′MD＝60°．因此，∠B′MC′=120°－（∠B′MA+∠C′MD）＝120°－60°＝60°．這時(shí)AB，，CD以AB′，B′C′，C′D的身份與AD集中到一起，易知AB′+B′C′+CD≥AD，以上的分析加以簡化就是本題的證明．例3如圖3，∠POQ=20°，A為OQ上一點(diǎn)，B為OP上一點(diǎn)且OA＝1，OB＝2，在OB上取點(diǎn)A1，在AQ上取點(diǎn)A2．設(shè)l=AA1+A1A2+A2B．求l的最小值．分析要求l=AA1+A1A2+A2B的最小值．設(shè)法將AA1，A1A2，A2B變位后與一條固定線段相比較，利用“兩點(diǎn)間直線段最短”的原理去求解．再由20°角為60°角的，可以設(shè)想沿OP，OQ分別使∠POQ向角外側(cè)對(duì)折，造成一個(gè)60°的特殊角，便于證明．解以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸，作∠POQ的軸對(duì)稱圖形∠POQ0．以O(shè)Q所在直線為對(duì)稱軸，作∠QOP的軸對(duì)稱圖形∠QOP0．這時(shí)，A關(guān)于OP的對(duì)稱點(diǎn)為OQ0上的A0點(diǎn)，B關(guān)于OQ的對(duì)稱點(diǎn)為OP0上的B0點(diǎn)．OA0=1，OB0=2，∠A0OB0＝60°．由軸對(duì)稱性知A0A1=AA1，B0A2=BA2．所以l=AA1+A1A2+A2B=A0A1+A1A2+A2B0≥A0B0．因此l的最小值為A0B0的長．問題歸結(jié)為△A0OB0中，OA0＝1，OB0＝2，∠A0OB0＝60°，求A0B0．對(duì)于初二同學(xué)可以這樣求解，作△A′B′O′，使∠O′A′B′＝90°，O′A′=1，O′B′=2，則∠A′O′B′=60°．（如圖4所示）由勾股定理得又△A0OB0與△A′O′B′中，OA0＝A′O′=1，OB0＝O′B′＝2，∠A0OB0＝0∠A′O′B′＝60°．例4矩形ABCD中，AB＝20厘米，BC＝10厘米，若在AC，AB上各取一點(diǎn)M、N，使得BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值．解作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連結(jié)AB′．則N點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)在AB′上的N′點(diǎn)．這時(shí)，B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值．等于B到AB′的距離BH′．即BM+MN的最小值為BH′．現(xiàn)在求BH′的長，設(shè)AB′與DC交于P點(diǎn)，連結(jié)BP，則△ABP的面積等于注意到PA=PC．（想想為什么？）設(shè)AP＝x，則PC=x，DP＝20－x．所以由勾股定理，得PA2=DP2+DA2即x2＝（20－x）2+102，x2＝400－40x+x2+100，解得x=12．56（厘米）．即BM+MN的最小值是16厘米．光線折射、打臺(tái)球彈子折射都有入射角等于反射角，其中都與軸對(duì)稱相聯(lián)系．例5在臺(tái)球桌矩形，ABCD上，放有兩個(gè)球P和Q，恰有∠PAB和∠QAD相等．如果打擊球P使它撞在AB的M點(diǎn)反彈后撞到球Q，其路線記為P→M→Q；如果打擊球Q，使它撞在AD的N點(diǎn)反彈后撞到球P，其路線記為Q→N→P．證明P→M→Q與Q→N→P的路線長相等．解臺(tái)球P撞AB于M反彈打到Q，滿足∠PMB=∠QMA，即對(duì)P的路線是作P關(guān)于BA的對(duì)稱點(diǎn)P1，連結(jié)P1Q交BA于M點(diǎn)，則P→M→Q為球P的路線．再作Q關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)Q1連結(jié)PQ1交AD于N點(diǎn)，則Q→N→P為球Q的路線．由對(duì)稱性，知P1A=PA，Q1A=QA．∠3＝∠1＝∠2＝∠4．PM+MQ=P1M+MQ＝P1Q，QN+NP＝Q1N+NP=Q1P．因此，要證P→M→Q與Q→N→P的路線長相等，即證明PM+MQ＝QN+NP．也就是要證P1Q=Q1P．在△P1AQ與△PAQ1中，∵P1A＝PA，QA＝Q1A，∠P1AQ＝∠3+∠BAQ＝∠2+∠BAQ＝90°，而∠PAQ1=∠PAD+∠4=∠PAD+∠1=90°，∴∠P1AQ＝∠PAQ1，∴△P1AQ≌△PAQ1（邊，角，邊），∴P1Q=Q1P．所以P→M→Q與Q→N→P的路線長相等．例6A、B、C三個(gè)村莊在一條東西向的公路沿線上，如圖8，AB=2千米，BC＝3千米．在B村的正北方有一個(gè)D村，測(cè)得∠ADC＝45°．今將△ACD區(qū)域規(guī)劃為開發(fā)區(qū)，除其中4平方千米的水塘外，均作為建筑或綠化用地．試求這個(gè)開發(fā)區(qū)的建筑及綠化用地的面積是多少平方千米？解如圖8，作Rt△ADB關(guān)于DA所在直線的軸對(duì)稱圖形Rt△ADB1，易知Rt△ADB≌Rt△ADB1．作Rt△CDB關(guān)于DC所在直線的軸對(duì)稱圖形Rt△CDB2，易知Rt△CDB≌Rt△CDB2．延長B1A，B2C相交于E，則B1DB2E是正方形．設(shè)BD＝x，則B1D=DB2＝B2E＝EB1=x，AB1=AB=2，CB2＝CB=3，AC=5．∴AE＝x－2，CE＝x－3．在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理，得AE2+CE2＝AC2，即（x－2）2+（x－3）2＝（2+3）2．整理，得x2－5x－6=0，分解因式（x－6）（x+1）=0．∵x＞0，則x+1＞0，∴x－6＝0，x＝6，即DB＝6（千米）．由于已知開發(fā)區(qū)中有4平方千米的水塘，所以這個(gè)開發(fā)區(qū)的建筑及綠化用地面積是15－4＝11（平方千米）．例7單位正方形周界上任意兩點(diǎn)之間連一條曲線，如果它把這個(gè)正方形分成兩個(gè)面積相等的部分．試證這個(gè)曲線長度不小于1．提示分三種情況討論．（1）“周界任兩點(diǎn)”在正方形一組對(duì)邊上，如圖9（a），顯然結(jié)論成立即l≥1．（2）“周界任意兩點(diǎn)”在正方形一組鄰邊上，可連對(duì)角線MN，如圖9（b）．曲線l必與對(duì)角線相交，（如若不然，與這曲線平分正方形面積不苻）．從N開始的第一個(gè)交點(diǎn)設(shè)為P，關(guān)于MN的對(duì)稱圖形為，這時(shí)。而A，B1為正方形一組