/廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的一個等價命題陳守仁摘要:本文基用于康托集合論的基本概念,提出并證明廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的一個等價命題：任意可數(shù)集N(1）的任一次冪集P(N)k（k＞1）中的任一元素都是A類元素（冪集和A類元素的含義見文中“預(yù)備知識”）。關(guān)鍵詞：廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，等價命題,基數(shù)（勢），羃集，不可判定。一、預(yù)備知識本文假設(shè)讀者對集合的基本概念，包括集合的基數(shù)（勢)等都已清楚，只把羃集[1］的概念及康托的羃集基數(shù)定理扼要地介紹一下,因為此概念是本文的關(guān)鍵。設(shè)M為任一集合,M的一切子集所構(gòu)成的集合稱為M的羃集,用表示。根據(jù)康托證明的結(jié)果,，(表示集合M的基數(shù)或勢），這就是羃集基數(shù)定理。一個集合可以有任意多次羃集，比如說可數(shù)集N,我們用表示N的第k次羃集,（這里ｋ是記號，不要把k看成指數(shù))。根據(jù)羃集基數(shù)定理，可數(shù)集Ｎ各次羃集的基數(shù)構(gòu)成遞增序列如下：（k≥0)從該序列看出，除了可數(shù)集N和不可數(shù)集外,其他的無限集還有無窮多個，可數(shù)集N是基數(shù)最小的無限集，比不可數(shù)集基數(shù)還大的無限集有無窮多個。本文規(guī)定:任意可數(shù)集N的任意相鄰兩次冪集的基數(shù)差一級，比如說比大一級,后面的定義1和定義2中所說的正整數(shù)級和正小數(shù)級，都以此為標(biāo)準(zhǔn)，那里所說的“一級”，即指N的相鄰兩次冪集的基數(shù)之差；另外還規(guī)定任意有限集的基數(shù)比任意可數(shù)集的基數(shù)低一級。在N的任一次羃集中,當(dāng)k≥１時,的元素都是集合。例如，根據(jù)羃集的定義，其元素都是N的子集。Ｎ的子集包括有限子集（用n1表示）和可數(shù)子集（用n２表示）兩種，由于比低一級(本文規(guī)定），因此比低兩級，又因＝，故比低一級［1]。由此可見，中元素的基數(shù)都比低.下面分兩種情況討論：定義１：設(shè)為任意可數(shù)集N的任一次羃集,為其任一元素，若比低一級的正整數(shù)倍,就稱比低正整數(shù)級，此時稱為的A類元素。如Ｎ的有限子集和可數(shù)子集都是的A類元素.定義2:設(shè)為任意可數(shù)集N的任一次羃集，為其任一元素，若比低一級的正小數(shù)(指一個自然數(shù)加上一個正的純小數(shù))倍，就稱比低正小數(shù)級，此時稱為的B類元素。此類元素為筆者假想的，舉不出實例來。有了這些預(yù)備知識，就可以對廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)進(jìn)行探討了。二、命題介紹連續(xù)統(tǒng)假設(shè)這個命題，是在十九世紀(jì)八十年代，由德國數(shù)學(xué)家康托提出來的，分狹義和廣義兩種。所謂狹義的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，就是說不存在介于a（可數(shù)集的勢)和c(不可數(shù)集的勢）之間的勢；所謂廣義的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，就是說在任意可數(shù)集Ｎ的任意相鄰的兩次羃集和之間不存在具有中間勢的集合，也就是說，不存在一個集合，其基數(shù)滿足不等式＜<［2]（k為任意非負(fù)整數(shù))。自從此命題提出以來，引起了很多數(shù)學(xué)家的興趣，但從未有人將其證出或否定。19００年希爾伯特做題為“數(shù)學(xué)問題”的演說時，將此命題列為23個難題的第一個.從此以后，此命題引起更多人的興趣，但從未有人將其解決。到了20世紀(jì)中葉，著名數(shù)學(xué)家哥德爾和科恩證明此命題在集合論范圍內(nèi)是“不可判定”的[２］,也就是說,此命題既不能證出，也不能否定。筆者對此命題探討已久,現(xiàn)提出此命題的一個等價命題及其證明。三、廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的探討引理一設(shè)Ａ、B為任意兩個集合，若,則≥.證法一：設(shè)為B中任一元素，由于，所以.但A中至少有一元素，否則就有，與矛盾,這時A中元素不少于B中元素，即≥。證法二：假設(shè)≥不成立，則只有一種可能，這時B中至少有一元素，否則B中元素就不多于A中元素，和A<B矛盾，但XＢ?A又和的假設(shè)矛盾,因此不能成立，則只能是≥。引理二若A和Ｂ都是無界集合(無上界且無下界），且集合A處處稠密無空隙，若，則。證:若不成立,則必有以下三種可能：(一）,(二),（三）。茲分別討論如下：若,根據(jù)引理一，就有≤,這和的假設(shè)矛盾，因此不成立。若,則及同時成立，根據(jù)引理一,≤及≥也同時成立，又根據(jù)康托伯恩斯坦定理［１］，就有,這也和的假設(shè)矛盾，所以也不能成立。若,但因假設(shè)集合A處處稠密無空隙，故此種可能不存在。在此引理中,集合無界（無上界及下界）及集合A處處稠密無空隙這兩個條件是不可缺少的，否則引理二就不成立.請看以下三個反例:例１、設(shè)集合A為1至１００的所有自然數(shù)，集合B為１０1至500的所有自然數(shù),顯然,但（）。由于這兩個集合是有界集合,不滿足引理二中集合無界這一條件,因此引理二在此例中不成立。例2、設(shè)集合A為小于0的所有有理數(shù),集合B為大于0的所有實數(shù)，很明顯，但不成立（）.由于集合Ａ有上界無下界，集合B有下界無上界,不滿足引理二中集合無上界且無下界這一條件，所以引理二在此例中不成立。例３、設(shè)集合A為全體無理數(shù)，集合B為全體有理數(shù)，顯然,但(）。因為集合A不滿足引理二中處處稠密無空隙這一條件，因此引理二在此例中不成立。如果集合Ａ為全體實數(shù),則，引理二就能成立。在任意可數(shù)集N的任一次羃集中，當(dāng)k>１時,的基數(shù)就大于實數(shù)集的基數(shù)，即大于,就能保證集合（ｋ>1）處處稠密無空隙,因此在N的任一次羃集中,只要k＞1時,就能保證引理二成立（即，因）。引理三設(shè)（ｋ≥１)為N的任一次羃集,為的任一元素，則比至少低一級。證：設(shè)（k≥１）是可數(shù)集N的任一次羃集，為其任一元素,根據(jù)羃集的定義,必為的某一子集，即,根據(jù)引理一，就有≤,但比低一級(本文的規(guī)定[1]），所以比至少低一級。在證明定理一之前，先聲明一下，我們只在一維空間探討，所有被涉及的集合都是既無上界且無下界的無界集合，否則引理二就無法應(yīng)用，廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)就無法探討。定理一、廣義的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立的充要條件為：任意可數(shù)集N的任一次羃集（ｋ＞１）中的任一元素都是A類元素.證:（一）條件的必要性如果廣義的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立，則在任意可數(shù)集Ｎ的任一次羃集（k＞１)中都不含B類元素?，F(xiàn)在假設(shè)此命題對某一個可數(shù)集N０及某一個自然數(shù)k0不成立，即在N０的第k０次冪集中含有一個B類元素。根據(jù)B類元素的定義，比低正小數(shù)級,不能和的任一次冪集等勢。否則的話,假如和的第ｋ1次冪集等勢（ｋ１＜ｋ0，因根據(jù)引理三，比至少低一級），即＝，則比低級；而為自然數(shù),亦即比低正整數(shù)級，因此為的A類元素，和為的B類元素之假設(shè)矛盾.既不能和的任一次冪集等勢，則一定介于的某兩個相鄰的冪集的基數(shù)之間，這就意味著在某一個可數(shù)集的某兩個相鄰冪集之間出現(xiàn)了中間集（即具有中間勢的集合)，廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)被否定,這就和假設(shè)矛盾。必要性證畢。(二）條件的充分性設(shè)(ｋ〉1）是任意可數(shù)集N的任一次羃集，為其任一元素,且為的A類元素，即比低正整數(shù)級，則在此情況下，廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立?，F(xiàn)在假設(shè)此命題對某一個可數(shù)集和某一個自然數(shù)ｋ0不成立,即在的兩個相鄰羃集（k0＞1）和之間存在具有中間勢的集合。下面分兩種情況討論:a)（k0〉1）和之間只有一個中間集,滿足不等式：＜<,根據(jù)引理二,就有（因時引理二成立）,因此為的一個子集.根據(jù)羃集的定義,為的一個元素，由于為的Ａ類元素，所以比低正整數(shù)級。若比低一級，則=;若比低兩級,則＝；其它依此類推.不論那種情況,都和<<的假設(shè)矛盾，即假設(shè)的中間集不存在。b）（k0＞1）和之間的中間集不只一個，也可采取a)的證法，只不過同樣的證法重復(fù)數(shù)次,逐個將那幾個中間集否掉。定理證畢。由上面的論證可以看出，定理一中的條件當(dāng)k>１時是充分必要的。下面再看一下，當(dāng)k=1時定理一是否還成立？k=1時，定理一中條件的必要性不成立。請看下面的例子：例4、設(shè)有某一個可數(shù)集,在中含有一個B類元素，除此之外，在任意可數(shù)集N的任一次羃集（k≥１，N≠Ｎ1)中,都不含B類元素，則在此條件下,廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立.證:根據(jù)假設(shè)條件和定理一的條件充分性，當(dāng)ｋ>１時，廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)在任意可數(shù)集N（包括N1）中成立,即在N的任意相鄰兩次冪集和（k〉1）之間，皆不存在具有中間勢的集合。下面在討論k=１時的情況。根據(jù)假設(shè)，為中的B類元素，但根據(jù)引理三,比至少低一級，故不會成為和之間的中間勢；又因在中只有這一個B類元素，其它元素皆是A類元素,由于的元素皆是Ｎ1的子集，或為N1的有限子集，或為N1的可數(shù)子集,這些元素的基數(shù)皆比低正整數(shù)級，皆不會成為和之間的中間勢，即和之間沒有中間勢.對于任意可數(shù)集N（Ｎ≠Ｎ1）來說，由于假設(shè)在Ｎ的任一次羃集（k＞1）中都不含B類元素，故在中也不含B類元素。用同樣證法可證明和之間沒有中間勢。所以在任意可數(shù)集N(包括N1）的任意相鄰兩次冪集和（k≥1)之間,皆不存在具有中間勢的集合，即廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立.由例4可以看出，定理一中條件的必要性在k=１時不成立。下面再討論ｋ=1時定理一條件的充分性.當(dāng)ｋ=1時,引理二對不成立，即N不成立（因為任意不可數(shù)集不能保證包含任意可數(shù)集，如引理二的反例３,在此情形下就不能用引理二來證明定理一條件的充分性。當(dāng)定理一的條件滿足時，用例４的證法可以證明和之間沒有中間勢，因此定理一條件的充分性當(dāng)k=1時也能成立?？傊?，定理一的條件當(dāng)k〉１時是充分必要的，當(dāng)ｋ=1時只充分不必要。這樣，我們就得到了廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的一個等價命題：任意可數(shù)集Ｎ的任一次冪集(k>１）中的任一元素Xk都是A類元素。從定理一可知，只要證出在任意可數(shù)集N的任一次冪集(ｋ>１)中皆不含B類元素，或者證出在某一個可數(shù)集N０的某一次羃集（k0〉1）中含有一個B類元素，都可以徹底解決此命題（證出或否定）。注解(1）任一個可數(shù)集共有不可數(shù)個子集，其中有限子集共有可數(shù)個，可數(shù)子集共有不可數(shù)個,可見可數(shù)集至少有不可數(shù)個。因此討論有關(guān)可數(shù)集的命題時,必須證明該命題對任意可數(shù)集皆成立。注解（2）在一般講述集合論的書中，都