第第#頁(yè)高中數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)一、立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納第一章空間幾何體（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1）多面體——由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)體—-把一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)形成的封閉幾何體。其中，這條定直線(xiàn)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體的軸。（2）柱，錐，臺(tái)，球的結(jié)構(gòu)特征1。棱柱1。1棱柱—-有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.1。2相關(guān)棱柱幾何體系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的關(guān)系:①②I四棱柱I底面為平行四邊形平行六面體I側(cè)棱垂直于底面I直平行六面體I底面為矩形長(zhǎng)方體底面為正方形打正四棱柱側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等正方體*??長(zhǎng)方體底面為正方形打正四棱柱側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等正方體1。3棱柱的性質(zhì)：側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等，側(cè)面與對(duì)角面是矩形.1。4長(zhǎng)方體的性質(zhì)：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的平方和；【如圖】（了解）長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線(xiàn)與過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱所成的角分別是，那么，；（了解）長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線(xiàn)與過(guò)頂點(diǎn)A的相鄰三個(gè)面所成的角分別是,則,。1.5側(cè)面展開(kāi)圖：正n棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是由n個(gè)全等矩形組成的以底面周長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)為鄰邊的矩形。1。6面積、體積公式：（其中c為底面周長(zhǎng)，h為棱柱的高）2.圓柱2。1圓柱--以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.2。2圓柱的性質(zhì):上、下底及平行于底面的截面都是等圓；過(guò)軸的截面（軸截面）是全等的矩形。2.3側(cè)面展開(kāi)圖：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是以底面周長(zhǎng)和母線(xiàn)長(zhǎng)為鄰邊的矩形。2.4面積、體積公式:S圓柱側(cè)=；S圓柱全=，V圓柱=S底h=（其中r為底面半徑，h為圓柱高）3.棱錐3。1棱錐—-有一個(gè)面是多邊形,其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。正棱錐——如果有一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心,這樣的棱錐叫做正棱錐。3.2棱錐的性質(zhì)：平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；正棱錐中六個(gè)元素，即側(cè)棱、高、斜高、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影、斜高在底面的射影、底面邊長(zhǎng)一半，構(gòu)成四個(gè)直角三角形。）（如上圖：為直角三角形）3。3側(cè)面展開(kāi)圖：正n棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是有n個(gè)全等的等腰三角形組成的。3?4面積、體積公式：S正棱錐側(cè)=，S正棱錐全=,V棱錐=。（其中c為底面周長(zhǎng)，側(cè)面斜高,h棱錐的高）4。圓錐4。1圓錐--以直角三角形的一直角邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐。4。2圓錐的性質(zhì)：平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；軸截面是等腰三角形；如右圖：如右圖：.4。3圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是以頂點(diǎn)為圓心，以母線(xiàn)長(zhǎng)為半徑的扇形。4。4面積、體積公式：S圓錐側(cè),S圓錐全=，V圓錐=（其中r為底面半徑,h為圓錐的高，1為母線(xiàn)長(zhǎng)）5?棱臺(tái)5。1棱臺(tái)—-用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面與底面之間的部分稱(chēng)為棱臺(tái)。5?2正棱臺(tái)的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；正棱臺(tái)的兩個(gè)底面以及平行于底面的截面是正多邊形；如右圖：四邊形都是直角梯形棱臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成棱錐研究?如右圖：，注意考慮相似比.5。3棱臺(tái)的表面積、體積公式：側(cè),，（其中是上，下底面面積，h為棱臺(tái)的高）6?圓臺(tái)6。1圓臺(tái)-—用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái).6。2圓臺(tái)的性質(zhì)：圓臺(tái)的上下底面，與底面平行的截面都是圓；圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形；圓臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成圓錐來(lái)研究。如右圖：,注意相似比的應(yīng)用.圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán)；6.4圓臺(tái)的表面積、體積公式:，V圓臺(tái)（其中r,R為上下底面半徑,h為高）7.球7.1球--以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球?；蚩臻g中，與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球;7。2球的性質(zhì):球心與截面圓心的連線(xiàn)垂直于截面;（其中，球心到截面的距離為d、球的半徑為R、截面的半徑為r）7。3球與多面體的組合體：球與正四面體，球與長(zhǎng)方體,球與正方體等的內(nèi)接與外切.注:球的有關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的問(wèn)題解決。7。4球面積、體積公式：（其中R為球的半徑）例：（06年福建卷）已知正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，且球的體積為,則正方體的棱長(zhǎng)為（二）空間幾何體的三視圖與直觀(guān)圖投影：區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。三視圖-—是觀(guān)察者從三個(gè)不同位置觀(guān)察同一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形；正視圖——光線(xiàn)從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖；側(cè)視圖——光線(xiàn)從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖;正視圖——光線(xiàn)從幾何體的上面向下面正投影,得到的投影圖；注:（1）俯視圖畫(huà)在正視圖的下方，“長(zhǎng)度"與正視圖相等;側(cè)視圖畫(huà)在正視圖的右邊，“高度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖。（簡(jiǎn)記為“正、側(cè)一樣高，正、俯一樣長(zhǎng)，俯、側(cè)一樣寬”。（2）正視圖，側(cè)視圖，俯視圖都是平面圖形，而不是直觀(guān)圖。直觀(guān)圖：3.1直觀(guān)圖——是觀(guān)察著站在某一點(diǎn)觀(guān)察一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形。直觀(guān)圖通常是在平行投影下畫(huà)出的空間圖形。3。2斜二測(cè)法：stepl：在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy，（即取）；step2:畫(huà)直觀(guān)圖時(shí)，把它畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸，取，它們確定的平面表示水平平面；step3:在坐標(biāo)系中畫(huà)直觀(guān)圖時(shí)，已知圖形中平行于數(shù)軸的線(xiàn)段保持平行性不變，平行于x軸（或在x軸上）的線(xiàn)段保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸（或在y軸上）的線(xiàn)段長(zhǎng)度減半。結(jié)論：一般地，采用斜二測(cè)法作出的直觀(guān)圖面積是原平面圖形面積的倍.解決兩種常見(jiàn)的題型時(shí)應(yīng)注意：（1）由幾何體的三視圖畫(huà)直觀(guān)圖時(shí)，一般先考慮“俯視圖”.（2）由幾何體的直觀(guān)圖畫(huà)三視圖時(shí)，能看見(jiàn)的輪廓線(xiàn)和棱畫(huà)成實(shí)線(xiàn)，不能看見(jiàn)的輪廓線(xiàn)和棱畫(huà)成虛線(xiàn).第二章點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系（一）平面的基本性質(zhì)平面—-無(wú)限延展，無(wú)邊界1.1三個(gè)定理與三個(gè)推論公理1：如果一條直線(xiàn)上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么直線(xiàn)在平面內(nèi)。用途：常用于證明直線(xiàn)在平面內(nèi).圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言:公理2:不．共．線(xiàn)．的三點(diǎn)確定一個(gè)平面。圖形語(yǔ)言：推論1:直線(xiàn)與直線(xiàn)外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面。圖形語(yǔ)言：推論2：兩條相交直線(xiàn)確定一個(gè)平面。圖形語(yǔ)言:推論3：兩條平行直線(xiàn)確定一個(gè)平面.圖形語(yǔ)言：用途：用于確定平面。公理3：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們還有公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直線(xiàn)（兩個(gè)平面的交線(xiàn)）.用途：常用于證明線(xiàn)在面內(nèi)，證明點(diǎn)在線(xiàn)上。圖形語(yǔ)言:符號(hào)語(yǔ)言：形語(yǔ)言,文字語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化：（二）空間圖形的位置關(guān)系1?？臻g直線(xiàn)的位置關(guān)系:1。1平行線(xiàn)的傳遞公理:平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。符號(hào)表述：1。2等角定理:如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。異面直線(xiàn):（1）定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)--異面直線(xiàn)；（2）判定定理：連平面內(nèi)的一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線(xiàn)與這個(gè)平面內(nèi)不過(guò)此點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)。圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：異面直線(xiàn)所成的角:（1）范圍:;（2）作異面直線(xiàn)所成的角：平移法.如右圖，在空間任取一點(diǎn)0,過(guò)0作，則所成的角為異面直線(xiàn)所成的角。特別地，找異面直線(xiàn)所成的角時(shí)，經(jīng)常把一條異面直線(xiàn)平移到另一條異面直線(xiàn)的特殊點(diǎn)（如線(xiàn)段中點(diǎn)，端點(diǎn)等）上,形成異面直線(xiàn)所成的角。2。直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系:圖形語(yǔ)言:3。平面與平面的位置關(guān)系：（三）平行關(guān)系（包括線(xiàn)面平行，面面平行）1。線(xiàn)面平行：定義：直線(xiàn)與平面無(wú)公共點(diǎn)。判定定理：（線(xiàn)線(xiàn)平行線(xiàn)面平行）【如圖】性質(zhì)定理：（線(xiàn)面平行線(xiàn)線(xiàn)平行）【如圖】判定或證明線(xiàn)面平行的依據(jù)：（i）定義法（反證）：（用于判斷）；（ii）判定定理：“線(xiàn)線(xiàn)平行面面平行"（用于證明）；（iii）“面面平行線(xiàn)面平行"（用于證明）；（4）（用于判斷）；線(xiàn)面斜交：直線(xiàn)與平面所成的角（簡(jiǎn)稱(chēng)線(xiàn)面角）：若直線(xiàn)與平面斜交,則平面的斜線(xiàn)與該斜線(xiàn)在平面內(nèi)射影的夾角。【如圖】于0,則A0是PA在平面內(nèi)的射影，則就是直線(xiàn)PA與平面所成的角。范圍：,注：若，則直線(xiàn)與平面所成的角為；若，則直線(xiàn)與平面所成的角為。3.面面平行：①定義：;判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么兩個(gè)平面互相平行;符號(hào)表述：【如下圖①】圖①圖②推論:一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相平行符號(hào)表述：【如上圖②】判定2：垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行.符號(hào)表述：。【如右圖】判定與證明面面平行的依據(jù)：（1）定義法；（2）判定定理及推論（常用）（3）判定2面面平行的性質(zhì)：（1）（面面平行線(xiàn)面平行）；（2）;（面面平行線(xiàn)線(xiàn)平行）（3）夾在兩個(gè)平行平面間的平行線(xiàn)段相等?！救鐖D】（四）垂直關(guān)系（包括線(xiàn)面垂直，面面垂直）1。線(xiàn)面垂直定義:若一條直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)，則這條直線(xiàn)垂直于平面符號(hào)表述：若任意都有,且，則。判定定理：（線(xiàn)線(xiàn)垂直線(xiàn)面垂直）性質(zhì)：（1）（線(xiàn)面垂直線(xiàn)線(xiàn)垂直）；（2）；證明或判定線(xiàn)面垂直的依據(jù)：（1）定義（反證）；（2）判定定理（常用）；（3）（較常用）；（4）;（5）（面面垂直線(xiàn)面垂直）常用;三垂線(xiàn)定理及逆定理:（1）斜線(xiàn)定理:從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線(xiàn)段與斜線(xiàn)段中，（1）斜線(xiàn)相等射影相等;（2）斜線(xiàn)越長(zhǎng)射影越長(zhǎng)；（3）垂線(xiàn)段最短。【如圖】；（II）三垂線(xiàn)定理及逆定理：已知，斜線(xiàn)PA在平面內(nèi)的射影為OA,,若，則垂直射影垂直斜線(xiàn)，此為三垂線(xiàn)定理；若，則垂直斜線(xiàn)垂直射影，此為三垂線(xiàn)定理的逆定理；三垂線(xiàn)定理及逆定理的主要應(yīng)用:（1）證明異面直線(xiàn)垂直；（2）作、證二面角的平面角；（3）作點(diǎn)到線(xiàn)的垂線(xiàn)段；【如圖】面面斜交二面角：（1）定義：【如圖】范圍：作二面角的平面角的方法：（1）定義法；（2）三垂線(xiàn)法（常用）；（3）垂面法。面面垂直（1）定義：若二面角的平面角為,則；（2）判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直.（線(xiàn)面垂直面面垂直）（3）性質(zhì):①若，二面角的一個(gè)平面角為，貝y；（面面垂直線(xiàn)面垂直）；。④

二、立體幾何常見(jiàn)題型歸納例講1、概念辨析題:(1)此題型一般出現(xiàn)在填空題,選擇題中，解題方法可采用排除法,篩選法等。(2)對(duì)于判斷線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系,線(xiàn)面關(guān)系，面面關(guān)系等方面的問(wèn)題，必須在熟練掌握有關(guān)的定理和性質(zhì)的前提下，利用長(zhǎng)方體,正方體，實(shí)物等為模型來(lái)進(jìn)行判斷。你認(rèn)為正確的命題需要證明它，你認(rèn)為錯(cuò)誤的命題必須找出反例。(3)相關(guān)例題:課本和報(bào)紙上出現(xiàn)很多這樣的題型,舉例說(shuō)明如下：例：(04年北京卷)設(shè)m,n是兩條不同的直線(xiàn)，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)說(shuō)法：①;②;③，說(shuō)法正確的序號(hào)是:2、證明題。證明平行關(guān)系，垂直關(guān)系等方面的問(wèn)題。(1)基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：請(qǐng)根據(jù)以上知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，寫(xiě)出相關(guān)定理的圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言。請(qǐng)根據(jù)以上知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，寫(xiě)出相關(guān)定理的圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言。11(2)相關(guān)例題：例1(06廣州市高一質(zhì)量抽測(cè))如右圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F為棱AD、AB的中點(diǎn).求證：EF〃平面CBR；求證：B]D]丄平面CAA1C1例2。如圖，已知矩形ABCD中，AB=10,BC=6，將矩形沿對(duì)角線(xiàn)BD把厶ABD折起，使A移到點(diǎn)，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上.(I)求證::求證：平面平面；求三棱錐的體積(答案：)

二面角）和空間幾何體的表面積、體積3、計(jì)算題.包括空間角（異面直線(xiàn)所成的角，線(xiàn)面角的計(jì)算。二面角）和空間幾何體的表面積、體積（1）對(duì)于空間角和空間距離的計(jì)算，關(guān)鍵是做好“三步曲”stepl：找；step2:證；step3:計(jì)算.1。1求異面直線(xiàn)所成的角：解題步驟：一找（作）：利用平移法找出異面直線(xiàn)所成的角；（1）可固定一條直線(xiàn)平移另一條與其相交；（2）可將兩條一面直線(xiàn)同時(shí)平移至某一特殊位置.常用中位線(xiàn)平移法二證：證明所找（作）的角就是異面直線(xiàn)所成的角（或其補(bǔ)角）。常需要證明線(xiàn)線(xiàn)平行三計(jì)算：通過(guò)解三角形,求出異面直線(xiàn)所成的角;1。2求直線(xiàn)與平面所成的角：關(guān)鍵找“兩足”：垂足與斜足解題步驟：一找：找（作）出斜線(xiàn)與其在平面內(nèi)的射影的夾角（注意三垂線(xiàn)定理的應(yīng)用）；二證：證明所找（作）的角就是直線(xiàn)與平面所成的角（或其補(bǔ)角）（常需證明線(xiàn)面垂直）；三計(jì)算：常通過(guò)解直角三角形，求出線(xiàn)面角。1。3求二面角的平面角解題步驟：一找:根據(jù)二面角的平面角的定義,找（作）出二面角的平面角；二證:證明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定義法,三垂線(xiàn)法,垂面法）；三計(jì)算:通過(guò)解三角形,求出二面角的平面角。（2）對(duì)于幾何體的表面積、體積的計(jì)算，關(guān)鍵是搞清量與量之間關(guān)系，熟練應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算。已知三視圖，求幾何體體積.平面圖形直觀(guān)圖面積與原圖形面積的互相轉(zhuǎn)化。（3）相關(guān)例題：例1。如圖,四棱錐P—ABCD的底面ABCD為正方形，