5.9正弦定理、余弦定理解三角形復(fù)習(xí)(1)正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即S△ABC＝absinCS△ABC＝acsinBS△ABC＝bcsinA一、復(fù)習(xí)

正弦定理正弦定理可以用來(lái)解兩種類型的三角問(wèn)題：

(1)已知兩角和隨意一邊，可以求出其他兩邊和一角；(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，可以求出三角形的其他的邊和角。一、復(fù)習(xí)

正弦定理

1.余弦定理是解三角形的又一重要工具c2=a2＋b2－2abcosC;b2=c2＋a2－2cacosB;a2=b2＋c2－2bccosA;b2＋c2－a22bccosA＝c2＋a2－b22cacosB＝a2＋b2－c22abcosC＝2.余弦定理可解以下兩種類型的三角形：（1）已知三邊；（2）已知兩邊及夾角.;;.二、復(fù)習(xí)

余弦定理在三角形中由已知的邊與角求出未知的邊與角，稱為解三角形.三個(gè)獨(dú)立的條件確定一個(gè)三角形.（1）已知兩角一邊；ABCabc（2）已知兩邊及其中一邊的對(duì)角；ABCabc（3）已知三邊；(余弦定理)ABCabc（4）已知兩邊及夾角.(余弦定理)ABCabc例題講解例1在中，已知，求b（保留兩個(gè)有效數(shù)字）.

解：∵且一、已知兩角、一邊（正弦定理）A、A、S三角形唯一例2在中，已知，求。例題講解解：由

得

∵在中

∴A為銳角

二、已知兩邊、一邊所對(duì)的角（正弦定理）BACba例3在中，已知，求。例題講解解：由

得

∵在中

∴B

為銳角或鈍角

二、已知兩邊、一邊所對(duì)的角（正弦定理）BACbaB1在中，已知，那么_____。練習(xí):二、已知兩邊、一邊所對(duì)的角（正弦定理）A.有一個(gè)解B.有兩個(gè)解C.無(wú)解D.不能確定2：在ABC中，已知a＝7，b＝10，

c＝6，求A、B和C.解：b2＋c2－a22bc∵cosA＝＝0.725，∴A≈44°a2＋b2－c22ab∵cosC＝＝0.8071，∴C≈36°,∴B＝180°－(A＋C)≈100°.∵sinC＝≈0.5954,∴C≈36°或144°(舍).csinA

a()三、已知三邊（余弦定理）ABCOxy

3：ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、

(－2，8)、(4，1)，求A.解法一：∵AB＝√[6-(-2)]2+(5-8)2=√73,BC＝√(-2-4)2+(8-1)2=√85,AC＝√(6-4)2+(5-1)2=2√5,cosA＝＝,2ABACAB2＋AC2－BC22√365∴∴A≈84°.COxy

3：ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、

(–2，8)、(4，1)，求A.解法二：∴A≈84°.∴cosA＝

＝＝.AB·ACABAC(–8)×(–2)＋3×(–4)√73·2√52√365∵AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4).BA解：在AOB中，∵|a–b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos120°

＝61,∴|a–b|＝√61.

4：已知向量a、b夾角為120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、

|a＋b|及a＋b與a的夾角.a－ba＋bBbACa120°O∴a＋b

＝√21.∴∠COA即a＋b與a的夾角約為49°.∵cos∠COA＝≈0.6546,a

2＋a＋b

2–b

22aa＋b

4：已知向量a、b夾角為120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、

|a＋b|及a＋b與a的夾角.a－ba＋bBbACa120°O在OAC中，∵|a+b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos60°

＝21,練習(xí)：（1）在中，一定成立的等式是（

）

C（2）在中，已知，則B等于（）A.30oB.60oC.120oD.60o

或120o

D一、復(fù)習(xí)

正弦定理練習(xí)：（3）在任一中，求證：