第三章扭轉(zhuǎn)

Chapter3Torsion第三章扭轉(zhuǎn)(Torsion)

§3-1扭轉(zhuǎn)的概念和實例(Conceptsandexampleproblemoftorsion)

§3-2扭轉(zhuǎn)內(nèi)力的計算(Calculatinginternalforceoftorsion)§3-3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)(Torsioninthin—wallcirculartube)

§3-4圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力分析及強度條件(Analyzingstressofcircularbars&strengthcondition)§3-8開口和閉合薄壁截面桿的自由扭轉(zhuǎn)(Freetorsionofopenandclosedthin-walledmembers)§3-5圓桿在扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件(Torsionaldeformationofcircularbars&stiffnesscondition)§3-6密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形(Calculationofthestressanddeformationinclose-coiledhelicalsprings)§3-7非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)

(Torsionofnoncircularprismaticbars)

§3-1扭轉(zhuǎn)的概念及實例

(Conceptsandexampleproblemoftorsion)一、工程實例(Exampleproblems)MeMe二、受力特點(Characterofexternalforce)桿件的兩端作用兩個大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶.三、變形特點(Characterofdeformation)桿件的任意兩個橫截面都發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動.

§3-2扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力的計算(Calculatinginternalforceoftorsion)從動輪主動輪從動輪一、外力偶矩的計算

(Calculationofexternalmoment)Me—作用在軸上的力偶矩(N·m)P—軸傳遞的功率(kW)

n—軸的轉(zhuǎn)速(r/min)nMe2Me1Me3Me在n-n截面處假想將軸截開取左側(cè)為研究對象二、內(nèi)力的計算(Calculationofinternalforce)1.求內(nèi)力(Calculatinginternalforce)截面法(Methodofsections)TMeMeMex??nnMeMe?xTMe?xT采用右手螺旋法則,當力偶矩矢的指向背離截面時扭矩為正,反之為負.2.扭矩符號的規(guī)定(Signconventionfortorque)3.扭矩圖(Torquediagram)用平行于桿軸線的坐標x表示橫截面的位置;用垂直于桿軸線的坐標T表示橫截面上的扭矩,正的扭矩畫在x軸上方,負的扭矩畫在x

軸下方.

Tx+_Me4ABCDMe1Me2Me3n例題1一傳動軸如圖所示,其轉(zhuǎn)速n=300r/min,主動輪A輸入的功率為P1=500kW.若不計軸承摩擦所耗的功率,三個從動輪輸出的功率分別為P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW.試做扭矩圖.解:計算外外力偶偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3n計算CA段內(nèi)任任橫一一截面面2-2截面上上的扭扭矩.假設(shè)T2為正值值.結(jié)果為為負號號,說明T2應(yīng)是負負值扭扭矩由平衡衡方程程ABCDMe1Me3Me222同理,在BC段內(nèi)BCxMe2Me3T2Me4Me2xABCD同理,在BC段內(nèi)在AD段內(nèi)1133注意：：若假假設(shè)扭扭矩為為正值值,則扭矩矩的實實際符符號與與計算算符號號相同同.Me4Me1Me3Me2Me2Me4T1T3作出扭扭矩圖圖4774.5N·m9549N·m6366N·m+_從圖可可見,最大扭扭矩在在CA段內(nèi).§3-3薄壁圓圓筒的的扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)(Torsionofthin-walledcylindricalVessels)1.實驗前前（1）畫縱縱向線線,圓周線線;（2）施加一一對外外力偶偶.一、應(yīng)應(yīng)力分分析(Analysisofstress)薄壁圓筒：壁厚（r0—圓筒的平均半徑）dxx

Me

Me2.實驗后后（1）圓筒筒表面面的各各圓周周線的的形狀狀、大大小和和間距距均未未改變變，只只是繞繞軸線線作了了相對對轉(zhuǎn)動動；（2）各縱縱向線線均傾傾斜了了同一一微小小角度度；（3）所有矩矩形網(wǎng)網(wǎng)格均均歪斜斜成同同樣大大小的的平行行四邊邊形.3.推論(Inference)（1）橫截截面上上無正正應(yīng)力力，只只有切應(yīng)應(yīng)力；；（2）切應(yīng)應(yīng)力方方向垂垂直半半徑或或與圓周周相切切.dxδ圓周各各點處處切應(yīng)應(yīng)力的的方向向于圓圓周相相切,且數(shù)值值相等等,近似的的認為為沿壁壁厚方方向各各點處處切應(yīng)力力的數(shù)數(shù)值無無變化化.MeMeABDC此式為為薄壁壁圓筒筒扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時橫橫截面面上切切應(yīng)力力的計計算公公式.4.推導(dǎo)公公式(Derivationofformula)薄壁筒筒扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時橫橫截面面上的的切應(yīng)應(yīng)力均均勻分分布,與半徑徑垂直直,指向與與扭矩矩的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向一一致.Tττxdydzdxyz二、切切應(yīng)力力互等等定理理(ShearingStressTheorem)ττ1.在單元元體左左、右右面（（桿的的橫截截面））只有有切應(yīng)應(yīng)力,其方向向于y軸平行行.兩側(cè)面面的內(nèi)內(nèi)力元元素dydz大小相相等,方向相相反,將組成成一一個力力偶.由平衡衡方程程其矩為為(dydz)dxxydydzzdxττ2.要滿足足平衡衡方程程在單元元體的的上、、下兩兩平面面上必必有大大小相相等，，指向向相反反的一一對內(nèi)內(nèi)力元元素它們組組成力力偶，，其矩矩為此力偶偶矩與與前一一力偶偶矩數(shù)量相相等而而轉(zhuǎn)向向相反反，從從而可可得(dydz)dx3.切應(yīng)力力互等等定理理(Shearingstresstheorem)單元體體兩個個相互互垂直直平面面上的的切應(yīng)應(yīng)力同同時存存在,且大小小相等等,都指相相（或或背離離）該該兩平平面的的交線線.4.純剪切切單元元體(Elementinpureshear)單元體體平面面上只只有切切應(yīng)力力而無無正應(yīng)應(yīng)力,則稱為為純剪剪切單單元體體.MeMel式中,r為薄壁壁圓筒筒的外外半經(jīng)經(jīng).三、剪剪切胡胡克定定律(Hooke’slawforshear)由圖所所示的的幾何何關(guān)系系得到到薄壁圓筒的的扭轉(zhuǎn)試驗驗發(fā)現(xiàn),當外力偶Me在某一范圍圍內(nèi)時,與Me（在數(shù)值上等等于T）成正比.三個彈性常常數(shù)的關(guān)系系TO從T與之間的線性性關(guān)系,可推出與間的線性關(guān)系系.該式稱為材材料的剪切胡克定定律(Hooke’slawforshear)G–剪切彈性模模量O思考題：指指出下面圖圖形的切應(yīng)應(yīng)變2切應(yīng)變?yōu)榍袘?yīng)變?yōu)?變形幾何關(guān)關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系

觀察變形提出假設(shè)變形的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式deformationgeometricrelation

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformulaExaminethedeformationthenproposethehypothesis

physicalrelationstaticrelation§3-4圓桿扭轉(zhuǎn)的的應(yīng)力分析析·強度條件(Analyzingstressofcircularbars&strengthcondition)1.變形現(xiàn)象(Deformationphenomenon)（1）軸向線線仍為直線線,且長度不變變；（2）橫截面仍為為平面且與與軸線垂直直；一、變形幾幾何關(guān)系(GeometricalRelationshipofDeformation)（3）徑向線保持持為直線,只是繞軸線旋轉(zhuǎn).2.平面假設(shè)(Planeassumption)變形前為平平面的橫截截面,變形后仍保保持為平面面.aabbdxO1O23.幾何關(guān)系(Getricalrelationship)傾角是橫截面圓圓周上任一一點A處的切應(yīng)變變,d是b-b截面相對于于a-a截面象剛性性平面一樣樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動的一個個角度.經(jīng)過半徑O2D上任一點G的縱向線EG也傾斜了一一個角度r,也就是橫截截面半徑上上任一點E處的切應(yīng)變變TTdADG'ρρD'GE同一圓周上上各點切應(yīng)應(yīng)力均相同,且其值與成正比,與半徑垂直直.二、物理關(guān)關(guān)系(PhysicalRelationship)由剪切胡克克定律aabATTdxDbDO1O2GG'ρρrOdAdAρρT三、靜力關(guān)關(guān)系(StaticRelationship)1.公式的建立立(Establishtheformula)結(jié)論ρρ代入物理關(guān)關(guān)系中得到到式中：T—橫截面上的的扭矩—求應(yīng)力的點點到圓心的的距離Ip—橫截面對圓圓心的極極慣性矩Wt稱作抗扭截截面系數(shù)，，單位為mm3或m3.2.的計算(Calculationofmax)

rOTdAdAρρρmax（1）實心圓圓截面dO3.極慣性矩矩和抗扭截面面系數(shù)的的計算(calculatingthepolarmomentofinertia§ionmodulusundertorsion)ρdρODdρdρ（2）空心圓圓截面其中例題2圖示空心心圓軸外外徑D=100mm,內(nèi)徑d=80mm,M1=6kN·m,M2=4kN·m,材料的切切變模量量G=80GPa.（1）畫軸的扭扭矩圖；；（2）求軸的最最大切應(yīng)應(yīng)力,并指出其其位置.M1M2ABCll解:（1）畫軸的的扭矩圖圖Me1Me2ABCllBC段1Me2CT1T1+Me2=02Me2CMe1BT2T2+Me2-Me1=0T2=2kN·mAB段（+）（-）T1=-4kN·m最大扭矩矩發(fā)生在在BC段Tmax=4kN·m4kN·m2kN·m+_T（2）求軸的的最大切切應(yīng)力,并指出其其位置max最大切應(yīng)應(yīng)力發(fā)生生在截面面的周邊邊上,且垂直于于半徑.M1M2ABCllmax1.數(shù)學(xué)表達達式(Mathematicalformula)四、強度度條件(StrengthCondition)2.強度條件的應(yīng)用(Applicationofstrengthcondition)強度校核(Checktheintensity)設(shè)計截面(Determinetherequireddimensions)確定許可載荷(Determinetheallowableload)ABC解：作軸的扭扭矩圖MeAMeBMeC22kN·m14kN·m+_分別校核核兩段軸軸的強度度例題3圖示階梯梯圓軸,AB段的直徑徑d1=120mm,BC段的直徑徑d2=100mm.扭轉(zhuǎn)力偶偶矩為MA=22kN·m,MB=36kN·m,MC=14kN·m.已知材料料的許用用切應(yīng)力力[]=80MPa,試校核該軸軸的強度度.因此,該軸滿足足強度要要求.例題4實心圓軸軸1和空心圓圓軸2（圖a、b）材料,扭轉(zhuǎn)力偶偶矩M和長度l均相等,最大切應(yīng)應(yīng)力也相相等.若空心圓圓軸的內(nèi)內(nèi)外徑之之比=0.8,試求空心心圓截面面的外徑徑和實心心圓截面面直徑之之比及兩兩軸的重重量比.ll(a)(b)分析：設(shè)設(shè)實心圓圓截面直直徑為d1,空心圓截截面的內(nèi)內(nèi)、外徑徑分別為為d2、D2;又扭轉(zhuǎn)力力偶矩相相等，則則兩軸的的扭矩也也相等，，設(shè)為T.已知：dd2D2因此解得兩軸材料料、長度度均相同同,故兩軸的的重量比比等于兩兩軸的橫橫截面面面積之比比在最大切切應(yīng)力相相等的情情況下空空心圓軸軸比實心心圓軸輕輕,即節(jié)省材材料.1.圓軸扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時的變變形是用用相對扭扭轉(zhuǎn)角來度量的的§3-5桿在扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時的變變形·剛度條件件(Torsionaldeformationofcircularbars&stiffnesscondition)一、扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變形(Torsionaldeformation)其中d代表相距距為dx的兩橫截截面間的的相對扭扭轉(zhuǎn)角.長為l的一段桿桿兩端面面間的相相對扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角可按下式式計算3.剛度條件件（Stiffnesscondition)2.單位長度度扭轉(zhuǎn)角角(Angleoftwistperunitlength)—扭轉(zhuǎn)角GIp稱作抗扭剛度稱作許可單位長度扭轉(zhuǎn)角(Allowableangleoftwistperunitlength)例題5圖示等直桿,已知直徑d=40mm,a=400mm,材料的剪切彈性性模量G=80GPa，DB=1°.試求：（1）AD桿的最大切應(yīng)力力;（2）扭轉(zhuǎn)角CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me解：畫扭矩圖計算外力偶矩MeDB=CB+DC=1°Tmax=3Me（1）AD桿的最大切應(yīng)力（2）扭轉(zhuǎn)角CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me例題6某汽車的主傳動動軸是用40號鋼的電焊鋼管管制成,鋼管外徑D=76mm,壁厚d=2.5mm,軸傳遞的轉(zhuǎn)矩Me=1.98kN·m,材料的許用切應(yīng)應(yīng)力[]=100MPa,切變模量為G=80GPa,軸的許可扭角[′]=2/m.試校核軸的強度和剛度.DddMeMe解：軸的扭矩等等于軸傳遞的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩軸的內(nèi)、外徑之之比由強度條件由剛度條件DddMeMe將空心軸改為同同一材料的實心心軸,仍使max=96.1MPad=47.2mm實心軸的直徑為兩軸材料、長度度均相同,故兩軸重量比等等于兩軸的橫截截面積比，在最大切應(yīng)力相相等的情況下空空心圓軸比實心心圓軸輕,即節(jié)省材料.其截面面積為空心軸的截面面面積為例題7兩端固定的圓截截面桿AB,在截面C處受一個扭轉(zhuǎn)力力偶矩Me的作用,如圖所示.已知桿的抗扭剛剛度GIp,試求桿兩端的支支反力偶矩.CMeabABl解:去掉約束,代之以約束反力力偶矩這是一次超靜定定問題,須建立一個補充方程ACBMeMeAMeBC截面相對于兩固固定端A和B的相對扭轉(zhuǎn)角相相等.桿的變形相容條條件是CMeabABlCMeabABl（1）變形幾何方程程（2）由物理關(guān)系建建立補充方程解得ACBMeMeAMeB?AC=BC例題8圖示一長為l的組合桿,由不同材料的實實心圓截面桿和和空心圓截面桿桿組成,內(nèi)外兩桿均在線線彈性范圍內(nèi)工工作,其抗扭剛度GaIpa、GbIpb.當此組合桿的兩兩端各自固定在在剛性板上,并在剛性板處受受一對矩為Me的扭轉(zhuǎn)力偶的作作用試求分別作作用于內(nèi)、外桿桿上的扭轉(zhuǎn)偶矩矩.MeMelAB解：列平衡方程程這是一次超靜定定問題.變形相容條件是是內(nèi)、外桿的扭轉(zhuǎn)變形應(yīng)相相同.變形幾何方程是是物理關(guān)系是MeMeMelABMaMb代入變形幾何方方程,得補充方程MbMaMeMeMelAB彈簧的螺旋角5°,且D>>d,這樣的的彈簧簧稱為為密圈圈螺旋旋彈簧簧.推導(dǎo)這這種彈簧簧的應(yīng)應(yīng)力與與變形形的計計算公公式.§3-6密圈螺螺旋彈彈簧的的應(yīng)力力和變變形(Calculationofthestressanddeformationinclose-coiledhelicalsprings)一、彈彈簧絲絲橫截截面上上的應(yīng)應(yīng)力1.內(nèi)力的的計算算(Calculationofinternalforce)F(Calculationofthestressonspringwirecrosssection)簧絲的的橫截截面上上有兩兩個內(nèi)內(nèi)力分分量即即FSTFPF作為近近似計計算,通?？煽陕匀トヅc剪剪力FS相應(yīng)的的,且D/d很大時時,還可略略去簧圈曲曲率的的影響響,所以簧簧桿橫橫截面面上最最大切切應(yīng)力力為2.應(yīng)力的的計算算(Calculationofstress)為便于于分析析,將桿的的斜度度視為0°截面法法公式修修正的的原因因:（1）當D/d較小,會引起起很大大的誤誤差;（2）假定定剪切切引起起的切切應(yīng)力力是均均勻分分布的的.式中c為彈簧簧指數(shù)數(shù),k為曲度度系數(shù)數(shù),可查教教材中中的表表3.13.強度條條件(Strengthcondition)FSTFPF若只考考慮簧簧桿扭扭轉(zhuǎn)的的影響響，可可得簧簧桿內(nèi)內(nèi)的應(yīng)應(yīng)變能能為二、彈彈簧的的變形形(Deformationofthespring)1.應(yīng)變能能的計計算(Calculationofstrainenergy)3.功能原原理Vε=W(Work-energyprinciple)當彈簧簧的變變形為為l時，外外力所所做的的功為為FFOll2.外力做做的功功(Workoftheexternalforce)c—彈簧剛剛度例題9某柴油油機的的氣閥閥彈簧簧,簧圈平平均半半經(jīng)R=59.5mm,簧絲橫橫截面面直徑徑d=14mm,有效圈圈數(shù)n=5.材料的的[]=350MPa,G=80GPa,彈簧工工作時時總壓壓縮變變形（（包括括預(yù)壓壓變形））為l=55mm試校核核彈簧簧的強強度.解：求求出彈彈簧所所受的的壓力力F為由R及d求出查表3.1查處彈彈簧的的曲度度系數(shù)數(shù)k=1.17彈簧滿滿足強強度要要求.§3-7非圓截截面桿桿的扭扭轉(zhuǎn)(Torsionofnoncircularprismaticbars)非圓桿桿,如矩形形截面面桿扭扭轉(zhuǎn)后后橫截截面將將發(fā)生生翹曲(warping)而不再再是平平面.一、基基本概概念(Basicconcepts)（2）若桿桿的兩兩端受受到約約束而而不能能自由由翹曲曲，則則相鄰鄰兩橫橫截面面的翹翹曲程程度不不同,這將在在橫截截面上上引起起附加加的正正應(yīng)力力.這一情情況稱稱為約束扭扭轉(zhuǎn)(constrainttorsion).（1）等直直非圓圓桿在在扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時橫橫截面面雖發(fā)發(fā)生翹翹曲(warping)，但當?shù)鹊戎睏U桿在兩兩端受受外力力偶作作用，且端面面可以以自由由翹曲曲時，，其相相鄰兩兩橫截截面的的翹曲曲程度度完全全相同同.橫截面面上仍仍然只只有切切應(yīng)力力而沒沒有正正應(yīng)力力.這一情情況稱稱為純扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)(puretorsion)，或自由扭扭轉(zhuǎn)(freetorsion).bhT矩形截截面扭扭轉(zhuǎn)時時,橫截面面切應(yīng)應(yīng)力如如圖所所示,邊緣上上各點點的切切應(yīng)力力形成成與邊邊界相相切的的順流流.整個橫橫截面面上的的最大