康托爾[德]G.Cantor1845－1918

集合論是德國著名數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的.牛頓與萊布尼茲在十七世紀(jì)創(chuàng)立了微積分并獲得飛速發(fā)展.十九世紀(jì)初，出現(xiàn)了一場重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的運(yùn)動，集合論由此產(chǎn)生.十八世紀(jì)，由于無窮概念沒有精確的定義，使微積分理論遇到嚴(yán)重的邏輯困難.中世紀(jì)：如果從兩個(gè)同心圓的圓心出發(fā)畫射線，那么射線就在兩個(gè)圓的點(diǎn)與點(diǎn)之間建立一一對應(yīng).兩個(gè)圓之間的對應(yīng)關(guān)系圓與直線的對應(yīng)關(guān)系集合的概念與運(yùn)算確界與連續(xù)性公理區(qū)間與鄰域映射集合的比較1.集合的定義將具有某種特定性質(zhì)的對象的全體稱為集合.組成集合的對象稱為元素.或者集合的表示法(1)枚舉法：(2)描述法：集合的關(guān)系子集：相等：空集：

為前5個(gè)素?cái)?shù)

所具有的特征例如數(shù)集的表示自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)平面

“數(shù)是人類在精神上制造出來的最抽象的概念.”

2.集合運(yùn)算交集差集并集或給定兩個(gè)集合A,B,定義下列運(yùn)算:補(bǔ)集

且

且

交換律3.集合的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合律分配律對偶律

笛卡兒積：4.直積

例1

實(shí)數(shù)的性質(zhì)1）有序性2）連續(xù)性或完備性數(shù)集的上界與上確界

（supremum的縮寫）.連續(xù)性公理：一個(gè)非空有上界的實(shí)數(shù)集必有上確界.

連續(xù)性公理：一個(gè)非空有下界的實(shí)數(shù)集必有下確界.微積分的基礎(chǔ)是極限理論，而連續(xù)性公理是極限理論的基石.

（infimum的縮寫）.例2討論有限集與無限集的上下界和上下確界，并判斷上下確界是否在集合內(nèi).和

上界：7以及比7更大的數(shù)下界：2以及比2更小的數(shù)

上界：1以及比1更大的數(shù)下界：小于或等于零的數(shù)

有限區(qū)間開區(qū)間閉區(qū)間半開閉區(qū)間1.區(qū)間和

無限區(qū)間全體實(shí)數(shù)的集合無限開區(qū)間無限閉區(qū)間和和

2.鄰域鄰域:以點(diǎn)a為中心的任何開區(qū)間，記作：

鄰域中心鄰域半徑去心鄰域:左鄰域:右鄰域:

它是滿射但非單射例3數(shù)軸上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離

結(jié)論：兩個(gè)有限集是等勢的，當(dāng)且僅當(dāng)它們的元素個(gè)數(shù)相等.

所有偶數(shù)與自然數(shù)是“一樣多”的！